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a（n）=H_n（3,2），其中H_n是第n个超算子。
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3, 5, 6, 9, 27, 7625597484987
评论
H_n（x，y）递归定义为：
H_0（x，y）=y+1；
H_1（x，0）=x；
H_2（x，0）=0；
当n＞2时，H_n（x，0）＝1；
对于整数n>0和y>0，H_n（x，y）=H_{n-1}。
因此：
H_0（x，y）=y+1是y上的后继函数；
H_1（x，y）=x+y是加法；
H_2（x，y）=x*y是乘法；
H_3（x，y）=x^y是指数；
H_4（x，y）=x^^y是四分位（高度为y的指数塔x^x^…）；
...
通过递归公式扩展到负序超运算符：
H_0（x，y）=H_{-1}（x，H_0（x，y-1））=H_{-1}（x，y）。
因此：
对于每个非负n，H_{-n}（x，y）=H_0（x、y）。
此函数是Ackermann函数变量，因为它满足上述递归关系（请参见A046859号).
其他等效于H_n（x，y）的超运算符号包括：
方括号或方框：a[n]b；
康威链箭：a->b->n-2；
Knuth向上箭头：a“向上箭头”（n-2）b；
标准Caret:a^（n-2）b。
在引入H_n表示法之前，这个序列被命名为“3 agg-op-n 2，其中二元聚集运算符agg-op_n是零化、加法、乘法、幂运算、超幂运算……”-丹尼·罗拉布2015年10月14日
下一学期是3^3^^3（7625594784987）-宋嘉宁2018年12月25日
参考文献
约翰·H·康威和R·K·盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，第60页。
例子
a（0）=H_0（3,2）=2+1=3；
a（1）=H_1（3,2）=3+2=5；
a（2）=H_2（3,2）=3*2=3+3=6；
a（3）=H_3（3,2）=3^2=3*3=9；
a（4）=H_4（3,2）=3^^2=3^3=27；
a（5）=H_5（3,2）=3^^2=3^^3=3^（3^3）=7625597484987。
交叉参考
各种x，y的H_n（x，y）：A001695号（2，n），该序列（3,2；几乎3,3），A067652号（2,3；几乎2,4），A141044号(1,1),A175796号（n，2），A179184号(0,0),A189896号（n，n），A213619型（n，H_n（n，n）），A253855型（4.2；几乎4.4），A255176型(2,2),A255340型(4,3),A256131型（10，2；几乎10，10），A261143型(1,2),A261146型（n，3）-Natan Arie Consigli女士和丹尼·罗拉布2015年10月14日至26日
扩展
第一项修正和超运算符表示法由实现丹尼·罗拉布2015年10月14日
弱Ackermann数：H_n（n，n），其中H_n是第n个超算子。
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链接
M.H.Löb和S.S.Wainer，数论函数的层次结构。我《数学逻辑档案》13:1-2（1970），第39-51页。
配方奶粉
a（n）=H_n（n，n），其中H_n是由n索引的超运算。
例子
a（0）=suc（0）=0+1=1，因为第零超运算是后继的。
a（1）=1+1=2，因为第一个超运算是加法。
a（2）=2*2=4，因为第二个超运算是乘法。
a（3）=3^3=27，因为第三个超运算是指数运算。
a（4）=4^4^4,4^4=4^（4^4）=4（4^256），因为第四次超手术是四分之一。术语太大，无法包括在内：log_2（a（4））=2^513。
简化Ackermann函数（Ackermann-Péter函数的主对角线）。
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评论
下一项是2^（2^，2^）（2^16））-3，它太大，无法显示在数据行中。
阿克曼数的另一个版本是序列1^1，2^^2，3^^3，4^^^4，5^^^5。。。，开始于1，4，3^3^3。。。（其中塔内3的数量为3^3^3=7625597484987）。。。[康威和盖伊]。这一增长速度太快，无法进入OEIS。
一个增长更快的序列是Conway-Guy序列1，2->2，3->3->3，4->4->4。。。，这与前面注释中n≤3的顺序一致，但第四项远大于4^^^4。
A189896号=成功（0），1+1，2*2，3^3，。。。，也称为阿克曼数，是上述序列的较弱版本。
众所周知，阿克曼函数是可计算（可使用while/for循环的组合来实现）函数的简单例子，但不是原始递归（仅可使用for循环来实现）函数。
原始Ackermann函数f定义为：
{
{f（0，y，z）=y+z；
{f（1，y，0）=0；
{f（2，y，0）=1；
{f（x，y，0）=x；
{f（x，y，z）=f（x-1，y，f（x、y，z-1））
{
这里我们有f（1，y，z）=y*z，f（2，y，z）=y^z。
阿克曼函数变量是满足上述递归关系的三参数函数。
例子：
超运算函数H（x，y，z）满足原函数的递推关系，但具有以下初始值：
{
{H（0，y，z）=y+1；
{H（1，y，0）=y；
{H（2，y，0）=0；
{H（n，y，0）=1。
{
Ackermann函数族可以通过省略三参数函数的“y”变量来简化，方法是使它们具有两个参数。
然后，一个双参数Ackermann函数将是满足递归关系的函数：f（x，z）=f（x-1，f（x）z-1））。
最常见的例子是Ackermann-Péter函数，定义如下：
{
｛A（0，y）＝y+1；
{A（x+1,0）=A（x，1）；
{A（x+1，y+1）=A（x，A（x+1，y））
{
这里我们有A（0，y-1）=y=2[0]（y-1+3）-3。
假设A（x-1，y-1）=2[x-1]（y-1+3）-3。
通过对正x的归纳：
因为2[x]2=4（参见A255176型)我们有A（x，0）=A（x-1,1）=2[x-1]4-3=2[x-2]2[x-1]2-3=2[x-1]3-3。
通过对正y的归纳，我们可以得出以下结论：
A（x，y）=A（x-1，A（x、y-1））=2[x-1]（2[x]（y-1+3）-3+3）=3=2[x-1]2[x'（y-1＋3）-3=2[x]。
*
如果f是一个3参数（2参数）的Ackermann函数，则Ack（n）=f（n，n，n）（f（n），n））称为简化的Ackerman函数。“阿克曼数”是Ack（n）的值。
这里我们有a（n）=a（n，n）=2[n]（n+3）-3。
（结束）
参考文献
Conway，J.H.和Guy，R.K.，《数字之书》。纽约：Springer-Verlag，第60页，1996年。
G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
H.Hermes、Aufzaehlbarkeit、Entscheidbarkeit和Berechenbarkeit:Einfuehrung in die Theorye der rekursiven Funktitonen（第三版，Springer，1978），第83-89页。
H.Hermes，同上，第二版，也有英文版本（Springer，1969），ch.13
配方奶粉
A（0，y）：=y+1，A（x+1，0）：=A（x，1），A（x+1，y+1）：=A（x，A（x1，y））；
a（n）=a（n，n）。
a（n）=2[n]（n+3）-3=H_n（2，n+3。（结束）
例子
a（0）=2[0]（0+3）-3=1；
a（1）=2[1]（1+3）-3=3；
a（2）=2[2]（2+3）-3=7；
a（3）=2[3]（3+3）-3=61；
a（4）=2[4]（4+3）-3=2^（2^（265536））-3。（结束）
H_n（n，2），其中H_c（a，b）是带算子c的超运算函数。
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配方奶粉
a（n）=H_n（n，2）
H_c（a，b）={b+1，如果c=0；a，如果c=1，b=0；0，如果c=2，b=0.；1，如果c>=3，b=0；H_{c-1}
例子
a（0）=H_0（0，2）=2+1=3
a（1）=H_1（1,2）=1+2=3
a（2）=H_2（2，2）=2*2=4
a（3）=H_3（3，2）=3^2=9
a（4）=H_4（4，2）=4^^2=4^4=256
a（5）=H_5（5，2）=5^^2=5^5=5^5^5 5^5=~10^（10^（2184.1257…））
黄体脂酮素
（Python）
定义H（a，b，c）：
如果c==0：返回b+1
如果c==1和b==0：返回a
如果c==2且b==0：返回0
如果c>=3且b==0：返回1
返回H（a，H（a、b-1、c）、c-1）
对于范围（5）中的n：打印（H（n，2，n））
当n>=2时，a（0）=a（1）=2，然后a（n）=4。
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2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4
评论
101/450的十进制展开。
同时列出最小的n个复合物。
超算子聚合b[n]c是n复合的，如果b，c是正的非右恒等元。
标识元素包括：
Hyper-0（zeration）：无。
超1（加法）：0。
Hyper-2（乘法）：1。
Hyper-3（指数运算）：1。
超n（n>2）：1。
2+sqrt（1/5）=2+squart（5）/5的持续部分扩张-埃尔莫·奥利维拉，2024年8月6日
配方奶粉
a（n）=a[n]b，其中a，b是正的最小非右恒等元。
镀锌：4/（1-x）-2*（1+x）。
例如：4*exp（x）-2*（1+x）。（结束）
例子
a（0）=2，因为1是zeration中最小的非恒等元，1[0]1=2；
a（1）＝2，因为1是除此之外最小的非同一元素，并且1[1]1＝2；
a（2）=4，因为2是乘法中最小的非单位元，2[2]2=4；
a（3）=4，因为2是指数运算中最小的非恒等元，2[2]2=4；
a（4）=4，因为2是滴定中最小的非同一元素，2[2]2=4；
等。
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