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前n个立方体的总和;或第n个三角形数的平方。 (原名M4619 N1972)
+10 186
0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081
评论
n X n菱形中平行四边形的数量。-马蒂·德克雷恩(Matti DeCraene(AT)rug.ac.be),2000年5月14日
第n个三角数T(n)=Sum_{r=1..n}r=n(n+1)/2满足以下关系:(i)T(n”)+T(n-1)=n^2和(ii)T(n-)-T(n-1*(n+1)/2)^2-Lekraj Beedassy公司2004年5月14日
{0,1,…,n}中的四元组整数的数量,不重复,其最后一个分量严格大于其他分量。{1,…,n}中的四元组整数的数目,重复,其最后一个分量大于或等于其他分量。
{0,1,…,n}不重复的二元子集的有序对数。
具有重复的{1,…,n}的2元多子集的有序对数。
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=(1+2+3+…+n)^2。
a(n)是通过已知n维黎曼流形(M,g)的所有二阶导数来了解其黎曼度量g所需的参数数量;尽管要知道曲率张量R需要(由于对称性)(n^2)*(n^2-1)/12个参数,但需要一个较小的数(和一个4维金字塔数)-乔纳森·沃斯邮报2006年5月5日
n个不同字母(ABCD…)的排列数,每个字母出现两次,分别带有4个和n-4个固定点-零入侵拉霍斯2006年11月9日
偏移量1=[1,8,19,18,6,…]的二项式变换-加里·亚当森2008年12月3日
该序列与A000330号通过a(n)=n*A000330号(n) -和{i=0..n-1}A000330号(i) :这是恒等式n*(n*(d*n-d+2)/2)-Sum_{i=0..n-1}i*(d*1i-d+2,/2=n*(n+1)*(2*d*n-2*d+3)/6中的情况d=1-布鲁诺·贝塞利2010年4月26日,2012年3月1日
对于正整数S(k,n)的幂和:=Sum_{j=1..n}j^k,一个有递推项S(k、n)=(n+1)*S(k-1,n)-Sum_{l=1..n{S(k-1,l),n>=1,k>=1。
Ibn al-Haytham将其用于k=4,以计算抛物面内部的体积。请参阅Strick参考,其中显示了他使用的技巧,以及W.Lang链接。
这个技巧立即推广到任意幂k。对于k=3:a(n)=(n+1)*A000330号(n) -和{l=1..n}A000330号(l) ,这与Berselli之前评论中给出的公式一致。(结束)
关于之前的贡献,另请参见Matem@ticamente公司在Links字段中,此注释以类似的顺序重复出现(n次方的部分和)-布鲁诺·贝塞利2013年6月24日
对于k=1到n,k^3的第r次连续求和的公式是(6*n^2+r*(6*n+r-1)*(n+r)!)/((r+3)*(n-1)!),(H.W.古尔德)-加里·德特利夫斯2014年1月2日
请注意,这个序列及其公式是尼科马库斯已知的(也可能是尼科马库斯发现的),比伊本·海瑟姆早800年-查尔斯·格里特豪斯四世,2014年4月23日
此序列中除了0和1之外没有多维数据集-阿尔图·阿尔坎2016年7月2日
同时也给出了完全二部图K_{n+1,n+1}中无弦圈的个数-埃里克·韦斯特因2018年1月2日
a(n)是乘法表[0..n]X[0..n]中元素的总和-米歇尔·马库斯2021年5月6日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第813页。
Avner Ash和Robert Gross,《总结》,普林斯顿大学出版社,2016年,第62页,等式(6.3),k=3。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,第110页及其后。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第155页。
约翰·H·康威和R·K·盖伊,《数字之书》,哥白尼出版社,第36、58页。
Clifford Pickover,“数字的奇迹,数学、思维和意义的冒险”,牛津大学出版社,2001年,第325页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
H.K.Strick,Geschichten aus der Mathematik II,Spektrum Spezial 3/11,第13页。
D.Wells,《你是数学家》,“计算矩形中的矩形数”,第8H题,第240页;254,企鹅图书1995。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
马塞尔·伯杰,与地理学家的邂逅,第二部分《美国数学学会通告》,第47卷,第3期,(2000年3月),第326-340页。[关于米哈伊尔·格罗莫夫的作品。]
比卡什·查克拉博蒂,无词证明:自然数幂和,arXiv:2012.11539[math.HO],2020年。
萨米恩·艾哈迈德·汗,多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。(2020)第33卷第2期,第265-282页。
Seon-Hong Kim和Kenneth B.Stolarsky,尼科马赫恒等式的翻译和推广,J.国际顺序。(2024年),第27卷,第6期,第24.6.3条。见第1页。
配方奶粉
a(n)=(n*(n+1)/2)^2=A000217号(n) ^2=和{k=1..n}A000578号(k) ,即1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2。
总尺寸:(x+4*x^2+x^3)/(1-x)^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=总和(总和(1+总和(6*n))),重新表述中的公式A000578号.-Xavier Acloque,2003年1月21日
这个序列可以从通式n*(n+1)*(n+2)*(n+3)**(n+k)*(n*(n+k)+(k-1)*k/6)/((k+3)/6) k=1时-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月17日
G.f.:x*f(3,3;1;x)-保罗·巴里2008年9月18日
和{k>0}1/a(k)=(4/3)*(Pi^2-9)-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月20日
a(n)=求和{i=1..n}求和{j=1..nneneneep求和{k=1.n}最大值(i,j,k)-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年2月26日
a(n)=-总和{j=1..3}j*斯特林1(n+1,n+1-j)*斯特林2(n+3-j,n)-米尔恰·梅卡2014年1月25日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*(3-4*log(2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月13日
例如:x*(4+14*x+8*x^2+x^3)*exp(x)/4。
Dirichlet g.f.:(zeta(s-4)+2*zeta(s3)+zeta(s2))/4。(结束)
a(n)=n*二项(n+2,3)+二项(n+2,4)+二项式(n+1,4)-托尼·福斯特三世2017年11月14日
另一个身份:。。。,a(3)=(1/2)*(1*(2+4+6)+3*(4+6)+5*6)=36,a(4)=(1/2)*(1*(2+4+6+8)+3*(4+6+8)+5*(6+8)+7*(8))=100,a(5)=(1/2)*(1*(2+4+6+8+10)+3*(4+6+8+10)+5*(6+8+10)+7*(8+10)+9*(10))=225-J.M.贝戈2022年8月27日
前面的注释将a(n)表示为所有n X n乘法表数组项的总和。
例如,对于n=4:
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
此数组和可以拆分为以下内容:
+---+---------------+
| 0 | 1 2 3 4 | (0+1)*(1+2+3+4)
| +---+-----------+
| 0 | 2 | 4 6 8 | (1+2)*(2+3+4)
| | +---+-------+
| 0 | 3 | 6 | 9 12 | (2+3)*(3+4)
| | | +---+---+
| 0 | 4 | 8 |12 |16 | (3+4)*(4)
+---+---+---+---+---+
这种行+列总和被Ramanujan和其他人用来对Lambert级数求和。(结束)
例子
G.f.=x+9*x^2+36*x^3+100*x^4+225*x^5+441*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年8月29日
MAPLE公司
a: =n->(n*(n+1)/2)^2:
seq(a(n),n=0..40);
数学
f[n]:=n^2(n+1)^2/4;数组[f,39,0](*罗伯特·威尔逊v2012年11月16日*)
表[CycleIndex[{1,2,3,4},{3,2,1,4},{1,4,3,2},},3,4,1,2}},s]/。表[s[i]->n,{i,1,2}],{n,0,30}](*杰弗里·克雷策2014年6月18日*)
线性递归[{5,-10,10,-5,1},{0,1,9,36,100},20](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*)
系数列表[系列[-((x(1+4 x+x^2))/(-1+x)^5),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=(n*(n+1)/2)^2
(岩浆)[(n*(n+1)/2)^2:n in[0..50]]//韦斯利·伊万·赫特2014年6月6日
(哈斯克尔)a000537=a000290。a000217号--莱因哈德·祖姆凯勒2015年3月26日
(GAP)列表([0..40],n->(n*(n+1)/2)^2)#穆尼鲁·A·阿西鲁,2018年12月5日
(Python)
交叉参考
囊性纤维变性。A000332号,A000566号,A035287号,A039623号,A053382号,A053383号,A059376美元,A059827美元,A059860号,A085582号,A127777号,A176271号.
1, 2, 1, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 1, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 1, 2, 3, 4
例子
.A000027号| _,2,___,4,5,_____,7,8,9,_______,11,12,13,14,_________,16,...
.A002260号| 1, 1,2, 1,2,3, 1,2,3,4, 1,2,3,4,5,
. --------+-------------------------------------------------------------
.a(n)|1,2,2,4,5,1,2,3,7,8,9,1,2,4,4,11,12,13,14,12,3,4,5,16,17,。。。
数学
表[If[OddQ[Sqrt[8n+1]],范围[(Sqrt[0n+1]-1)/2],n],{n,50}]//展平(*哈维·P·戴尔2019年6月1日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a256188 n=a256188_列表!!(n-1)
a256188_list=f 0[1..]a002260_tabl其中
f k xs(zs:zss)=us++zs++f(k+1)vs zss
其中(us,v:vs)=splitAt k xs
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