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素数对{p，q}（p>q）与3（p-q）-1和3（p-q+1）都是素数，使得p+（1+（n mod 2））q=n。
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10
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 5, 2, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 3, 2, 3
评论
猜想：对于所有奇数n>4676和偶数n>30986，a（n）>0。
这个猜想已经在n到5*10^7的情况下得到了验证。它暗示了哥德巴赫猜想、勒莫猜想和孪生素数猜想。
例子
a（11）=1，因为11=5+2*3，并且3（5-3）-1=5和3（5-3+1=7都是素数。
a（16）=2，因为16=11+5=13+3，3（11-5）-1，3（11-5）+1，3（13-3）-1，三（13-3）+1都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[n-（1+Mod[n，2]）Prime[k]==True&&PrimeQ[3]，
{k，1，素数Pi[（n-1）/（2+模式[n，2]）]}]
做[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100000}]
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n%2，a奇（n），a偶（n））
aOdd（n）=我的（s）；对于素数（q=2，（n-1）\3，my（p=n-2*q）；if（isprime（n-2*q）&isprim（3*n-9*q-1）&isprime（3*n-9*q+1），s++））；秒
a偶数（n）=我的（s）；对于素数（q=2，n/2，if（isprime（n-q）&isprime；秒
用6x-1、6x+1、6y+1和6y+5全素数写n=x+y（x，y>0）的方法的数量。
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6
0, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 2, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 5, 4, 4, 2, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 7, 5, 5, 3, 4, 9, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 7, 6, 6, 3, 7, 7, 6, 6, 4, 6, 6, 5, 6, 4, 7, 6, 7, 2, 3, 7, 7, 7, 5, 3, 5, 5, 7, 8, 5, 8, 8, 4, 5, 4, 10, 10, 6, 6, 2, 9, 6, 9, 7, 1, 8, 4, 5, 7, 3, 9, 5, 3
评论
猜想：对于所有n>1，a（n）>0。
已验证n到10^9。这意味着有无穷多个孪生素数和无穷多个近亲素数，因为长度为m-2的区间[m！+2，m！+m]不包含任何整数m>1的素数。
例子
a（92）=1，因为92=40+52，6*40+1，6*52+1和6*52+5都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[6k-1]==True&&PrimeQ=6k+1]==True&&PrimeQ[6（n-k）+1]==True&&PrimeQ（6（n-k）+5]==真，1，0]，{k，1，n-1}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
在3x-2、3x+2和2xy+1均为素数的情况下，写入n=x+y（x>0，y>0）的方式数
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6
0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 1, 4, 1, 1, 5, 4, 1, 2, 5, 5, 3, 8, 3, 6, 5, 5, 4, 4, 2, 4, 5, 3, 1, 8, 3, 4, 4, 1, 2, 8, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 7, 1, 3, 6, 5, 7, 3, 3, 8, 2, 4, 5, 2, 6, 10, 7, 1, 5, 5, 6, 8, 6, 4, 5, 5, 7, 5, 4, 4, 11, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 3, 1, 12, 8
评论
猜测：对于所有n>7，a（n）>0。
已验证n到10^8。这意味着有无限多的近亲素数。
孙志伟还提出了其他一些类似的猜想，例如，他猜想任何整数n>17都可以用2x-3、2x+3和2xy+1全素数写成x+y（x>0，y>0），而每个整数n>28都可以用x+1、2y-1和2xy+1全素写成x+y（x>0，y>0）。
这两个猜想都得到了n到10^9的验证-毛罗·佛罗伦萨2023年8月6日
例子
a（25）=1，因为25=13+12，其中3*13-2、3*13+2和2*13*12+1=313都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[如果[PrimeQ[3k-2]==True&&PrimeQ[3]==True&&PrimQ[2k（n-k）+1]==真，1，0]，{k，1，n-1}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，1000}]
apQ[{a_，b_}]：=全部真[{3a-2，3a+2，2a*b+1}，素数Q]；表[Count[Flatten[Permutations/@IntegerPartitions[n，{2}]，1]，_？（apQ[#]&）]，{n，100}]（*程序使用Mathematica版本10中的AllTrue函数*）(*哈维·P·戴尔，2018年6月9日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A220431号,A023200型,A046132号,A218867型,A219055型,A220419型,A220413型,A220272型,A219842型,A219864型,A219923型.
用p、2p+1和（p-1）^2+q^2写2n=p+q（q>0）的方法的数量
+10
5
0, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 5, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 2, 1, 2, 2, 5, 1, 2, 4, 3, 4, 4, 3, 5, 4, 4, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 4, 2, 6, 4, 4, 4, 2, 2, 5, 6, 3, 2, 3, 5, 5, 4, 3, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 5, 3, 1, 2, 5, 3, 4
评论
猜想：对于所有n>1，a（n）>0。
已验证n到2*10^8。这意味着有无限多的Sophie Germain素数。
请注意，张明志（1990年之前）问，任何大于1的奇数是否可以用x^2+y^2素数写成x+y（x，y>0），参见A036468号.
孙志伟也做出了以下相关推测：
（1） 任何整数n>2都可以写成x+y（x，y>=0），其中3x-1、3x+1和x^2+y^2-3（n-1 mod 2）都是素数。
（2） 不在20、40、270之间的每个整数n>3都可以写成x+y（x，y>0），其中3x-2、3x+2和x^2+y^2-3（n-1模2）都是素数。
（3） 任何整数n>4都可以写成x+y（x，y>0），其中2x-3，2x+3和x^2+y^2-3（n-1模2）都是素数。此外，每n=10,11，。。。可以写成x+y（x，y>=0），其中x3，x+3和x^2+y^2-3（n-1模2）都是素数。
（4） 任何整数n>97都可以写成p+q（q>0），其中p，2p+1，n^2+pq都是素数。此外，每个整数n>10都可以写成p+q（q>0），其中p，p+6，n^2+pq都是素数。
（5） 与8和18不同的每个整数n>3都可以写成x+y（x>0，y>0），其中3x-2，3x+2和n^2-xy都是素数。
所有猜想在10^9之前都得到了验证-毛罗·佛罗伦萨2023年9月21日
参考文献
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，第2版，Springer，纽约，2004年，第161页。
例子
a（16）=1，因为32=11+21，其中11，2*11+1=23和（11-1）^2+21^2=541都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[p]==True&&PrimeQ[2p+1]==True&&PrimeQ[（p-1）^2+（2n-p）^2]==True，1，0]，{p，1，2n-1}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，1000}]
交叉参考
囊性纤维变性。A005384号,A005385美元,A036468号,A220455型,A220431号,A218867型,A219055型,A220419型,A220413型,A220272型,19842年2月,A219864型,1992年2月3日.
用6x-1、6x+1、6y-1和6y+1全素数写n=x+y（0<x<y<n）的方法的数量。
+10
4
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 6, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 4, 4, 1, 3, 1, 3, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 2, 5, 2, 5, 2, 3, 1, 2, 3, 5, 2, 4, 0, 0, 3, 1, 6, 2, 3, 3, 1, 5, 1, 5, 3, 3, 3, 1, 4, 2, 3, 3, 0, 3, 3, 3, 4, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 2, 3
评论
推测：如果n>200不在211、226、541、701之间，则a（n）>0。
这基本上是根据与A219157型由于n=x+y，对于一些正整数x和y，具有6x-1,6x+1,6y-1,6y+1，所有素数当且仅当6n=p+q，对于一些孪生素数对{p，p-2}和{q，q+2}。
类似地，推测与A218867型意味着任何整数n>491都可以写成x+y（0<x<=y<n），其中6x+1、6x+5、6y+1和6y+5都是素数；以及与之相关的推测A219055型意味着不在2729和4006之间的任何整数n>1600都可以写成x+y（0<x<=y<n），其中2x-3、2x+3、2y-3和2y+3都是素数。
例子
a（9）=1，因为9=2+7，其中6*2-1、6*2+1、6*7-1和6*7+1都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[6k-1]==True&&PrimeQ=6k+1]==True&&PrimeQ[6（n-k）-1]==True&&Prime Q[6（n-k）+1]==真，1，0]，{k，1，（n-1）/2}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=和（x=1，（n-1）\2，isprime（6*x-1）&&isprime\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月28日
用2x-3、2x+3、6y+1和6y+5全素数写n=x+y（x，y>0）的方法的数量
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2
0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 5, 3, 6, 5, 4, 6, 3, 5, 4, 3, 6, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 7, 5, 2, 3, 6, 4, 5, 4, 5, 7, 6, 9, 5, 4, 9, 5, 4, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 8, 5, 8, 8, 3, 7, 5, 3, 5, 3, 5, 4, 9, 6, 4, 9, 7, 5, 8, 7, 8, 6, 9, 8, 2, 7, 7, 5, 6, 2, 10, 6, 3
评论
猜想：对于所有n>4，a（n）>0。
已验证n到10^8。这意味着有无限多的表亲素数，也有无限多性感素数。
例子
a（5）=1，因为5=4+1，2*4-3，2*4+3，6*1+1和6*1+5都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[2k-3]==True&&PrimeQ[2]==True&&PrimerQ[6（n-k）+1]==True-&PrimeQ[6（n-k）+5]==真，1，0]，{k，1，n-1}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
奇数素数对{p，q}（p>q）的数目，使得p+（1+（n mod 2））q=n和（（p-1-（n mod2））/q）=（（q+1）/p）=1，其中（-）表示勒让德符号。
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1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 0, 0, 0, 0
评论
对于任何整数m，将s（m）定义为最小的正整数s，以便每个n=s，s+1，。。。有素数p>q>2，其中p+（1+（nmod2））q=n和（p-（1+）（nmod3））m）/q）=（q+m）/p）=1。如果这样的正整数s不存在，那么我们将s（m）设置为0。
孙志伟有以下一般猜想：s（m）总是正的。特别是，s（0）=1239，
s（1）=1470，s（-1）=2192，s（2）=1034，s（-2）=1292，
s（3）=1698，s（-3）=1788，s，
s（5）=1490，s（-5）=2558，s（6）=1115，s（-6）=1572，
s（7）=1550，s（-7）=932，s（8）=825，s（-8）=2132，
s（9）=1154，s（-9）=1968，s（10）=1880，s（-10）=1305，
s（11）=1052，s（-11）=1230，s（12）=2340，s（-12）=1428，
s（13）=2492，s（-13）=2673，s（14）=1412，s（-14）=1638，
s（15）=1185，s（-15）=1230，s（16）=978，s（-16）=1605，
s（17）=1154，s（-17）=1692，s（18）=1757，s（-18）=2292，
s（19）=1230，s（-19）=2187，s（20）=2048，s（-20）=1372，
s（21）=1934，s（-21）=1890，s（22）=1440，s（-232）=1034，
s（23）=1964，s（-23）=1322，s（24）=1428，s（-24）=2042，
s（25）=1734，s（-25）=1214，s，（26）=1260，s（-26）=1230，
s（27）=1680，s（-27）=1154，s（28）=1652，s（-25）=1808，
秒（29）=1112，秒（-29）=1670，秒（30）=1820，s（-30）=1284。
注意，s（1）=1470意味着a（n）>0代表所有n=14701471，。。。s（0）=1239与以下猜想有关奥利维尔·杰拉德和孙志伟。
如果我们将a（n）定义中的（p-1-（n mod 2））/q）=（（q+1）/p）=1替换为（p-1）/q”=（（q+1）/p）=1，那么新的a（n。
例子
a（14）=1，因为14=11+3，其中（11-1）/3）=（3+1）/11）=1。
a（31）=1，因为31=17+2*7，其中（17-2）/7）=（（7+1）/17）=1。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[n-（1+Mod[n，2]）Prime[k]]==True&&JacobiSymbol[n-
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，10000}]
用p>q和p，q，6q-1，6q+1写n=p+q+（n模2）q的方法的数量
+10
1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 3, 1, 1, 3, 4, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 3, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 3, 3, 0, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 0, 2, 3
评论
猜想：对于所有偶数n>=8070和奇数n>=18680，a（n）>0。
这个猜想统一了孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和勒莫猜想。已验证n到10^7。
孙志伟还提出了以下猜想：任何整数n>=6782都可以写成p+q+（n mod 2）q，其中p>q和p，q，q-6，q+6都是素数，任何整数n>=4410都可以写为p+q＋（n mod2）q和p>q，q，2q-3，2q+3都是质数，任何大于16140的整数n>=16140可以写成p+q+（n mode 2）q，其中p>q和p、q、3q-2、3q+2都是素。
例子
a（31）=1，因为31=17+2*7带有6*7-1和6*7+1双素数。
a（32）=1，因为32=29+3带有6*3-1和6*3+1双素数。
数学
a[n]：=a[n]=Sum[If[PrimeQ[6Prime[k]-1]==True和PrimeQ[6Prime[k]+1]==True和PrimeQ[n-（1+Mod[n，2]）Prime[k]]==True，1，0]，｛k，1，PrimePi[（n-1）/（2+Mod[n，2]）]｝]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
用x^18+3*y^18素数写2n-1=x+y（x，y>=0）的方法数
+10
1
1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 5, 4, 1, 2, 4, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 4, 2, 4, 3, 6, 3, 2, 4, 2, 5, 6, 4, 5, 4, 5, 5, 8, 7, 4, 7, 7, 6, 7, 4, 6, 7, 5, 6, 3, 11, 7, 1, 5, 3, 5, 6, 6, 10, 4, 13, 12, 9, 4, 9, 10, 5, 8, 3, 6, 7, 5, 4, 8, 13, 6, 3, 5, 5, 11, 6, 13, 4, 9, 10, 8, 12, 11, 8, 7, 10, 8, 7, 8, 8
评论
猜想：每n=1,2,3，….，a（n）>0，。。。。此外，任何大于2092的奇数都可以写成x+y（x，y>0），其中x-3、x+3和x^18+3*y^18都是素数。
已验证n到2*10^6。
孙志伟还提出了以下一般猜想：对于每个正整数m，任何足够大的奇数n都可以写成x+y（x，y>0），其中x3，x+3和x^m+3*y^m都是素数（因此有无穷多个素数以x^m+3*y^ m的形式存在）。特别是，对于m=1，2，3，4，5，6，18，任何大于1的奇数都可以用x^m+3*y^m素数写成x+y（x，y>0），而对于m=1,2，3任何奇数n>15都可以用x-3，x+3*y*m素数写成x+y（x，y>0）。
我们的计算表明，对于每m=7，。。。，20分别大于32、10、24、30、48、36、72、146、48、48、152、2、238、84的任何奇数都可以用x^m+3*y^m素数写为x+y（x，y>0）。
例子
a（3）=1，因为2*3-1=5=1+4，1^18+3*4^18=206158430209素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[k^18+3*（2n-1-k）^18]==真，1，0]，{k，0，2n-1}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
交叉参考
囊性纤维变性。A220554型,A036468号,A220455型,A220431号,A218867型,A219055型,20419年2月,A220413型,A220272型,19842年2月,A219864型,A219923型.
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