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1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 4, 1, 0, 1, 10, 6, 1, 0, 5, 14, 21, 8, 1, 0, 1, 23, 47, 36, 10, 1, 0, 7, 28, 90, 108, 55, 12, 1, 0, 1, 49, 147, 258, 205, 78, 14, 1, 0, 1, 46, 249, 520, 595, 346, 105, 16, 1, 0, 1, 75, 360, 978, 1437, 1185, 539, 136, 18, 1
评论
为了澄清我们的术语：如果a是为n>=1定义的整数序列，那么T是a的卷积三角形（或者T是a中的分区变换），并且根据下面的Maple函数定义的变换应用于a，则返回T。在生成的下三角矩阵T中，即在a的卷合三角形中，T（n，1）=a（n）对于n>=1。
注意，T是基于（0，0）的，卷积三角形的第一列总是1，0，0。。。主对角线是1,1,1,1。。。如果a（1）=1。真正卷积三角形（即没有列0和行0的卷积三角形）的基于（1，1）的子三角形通常用于代替卷积三角形，但不适合卷积三角形的某些应用。
链接
Donald E.Knuth，卷积多项式，arXiv:math/9207221[math.CA]；《数学杂志》2.1（1992），第4期，第67-78页。
例子
三角形T（n，k）开始：
[0] 1;
[1] 0, 1;
[2] 0, 2, 1;
[3] 0, 3, 4, 1;
[4] 0, 1, 10, 6, 1;
[5] 0, 5, 14, 21, 8, 1;
[6] 0, 1, 23, 47, 36, 10, 1;
[7] 0, 7, 28, 90, 108, 55, 12, 1;
[8] 0, 1, 49, 147, 258, 205, 78, 14, 1;
[9] 0, 1, 46, 249, 520, 595, 346, 105, 16, 1;
MAPLE公司
P矩阵：=proc（dim，a）局部n，k，m，g，m，a；
如果n＝0，则返回[1]fi；
A:=[序列（A（i），i=1..尺寸-1）]；
M:=矩阵（尺寸，形状=三角形[下]）；M[1，1]：=1；
对于m从2到dim do
M[M，M]：=M[M-1，M-1]*A[1]；
k从m-1乘以-1到2 do
M[M，k]：=加（A[i]*M[M-i，k-1]，i=1..M-k+1）
od od；M端：
a:=n->如果是素数（n），则n其他1 fi:P矩阵（10，a）；
#或者，作为行多项式的系数：
P:=proc（n，x，a）选项记忆；ifelse（n=0，1，
x*加（a（n-k）*P（k，x，a），k=0..n-1））结束：
Pcoeffs:=过程（n，a）序列（coeff（P（n，x，a），x，k），k=0..n）结束：
seq（Pcoeffs（n，a），n=0..9）；
#或者，逐项：
`if`（k=0，`if`（n=0，1，0），`if'（k=1，`if `（n=0.，0，a（n）），
（q->添加（T（j，q，a）*T（n-j，k-q，a，j=0..n））（iquo（k，2）））结束：
seq（seq（T（n，k，a），k=0..n），n=0..9）；
数学
PMatrix[dim_，a_]：=模块[{n，k，m，g，m，a}，如果[n==0，返回[1]；A=阵列[A，dim-1]；M=数组[0&，｛dim，dim｝]；M[1,1]]=1；对于[m=2，m<=dim，m++，m[[m，m]]=m[[m-1，m-1]]*A[[1]]；对于[k=m-1，k>=2，k---，m[[m，k]]=Sum[A[i]]*m[[m-i，k-1]]，{i，1，m-k+1}]]；M] ；
a[n_]：=如果[PrimeQ[n]，n，1]；
nmax=10；
PM=P矩阵[nmax+1，a]；
T[n_，k_]：=PM[[n+1，k+1]]；
黄体脂酮素
（Python）
def ConvTriangle（dim:int，a）->列表[list[int]]：
if callable（a）：#缓存输入序列。
A=[i在范围（1，dim）内的A（i）]
其他：
A=A
打印（“输入：”，A）
C=[[0代表范围（m+1）中的k]代表范围（dim）中的m]
C[0][0]=1
对于范围（1，dim）内的m：
C[m][m]=C[m-1][m-1]*A[0]
对于范围（m-1，0，-1）中的k：
C[m][k]=总和（对于范围（m-k+1）中的i，A[i]*C[m-i-1][k-1]）
返回C
从sympy导入isprime，flature
def a（n）：如果isprime（n）else为1，则返回n
打印（展平（ConvTriangle（10，a））
平方数组A（n，k），n>=0，k>=0（通过反对偶读取），其中k列是连分式1/（1-x-x^2/（1-2*x-2*x^2/（1-3*x-3*x^2/（1-4*x-4*x^ 2/（1-…）））的k次幂的展开式。
+10
7
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 5, 5, 0, 1, 4, 9, 14, 15, 0, 1, 5, 14, 28, 44, 52, 0, 1, 6, 20, 48, 93, 154, 203, 0, 1, 7, 27, 75, 169, 333, 595, 877, 0, 1, 8, 35, 110, 280, 624, 1289, 2518, 4140, 0, 1, 9, 44, 154, 435, 1071, 2442, 5394, 11591, 21147, 0, 1, 10, 54, 208, 644, 1728, 4265, 10188, 24366, 57672, 115975, 0
评论
A（n，k）是Bell数与其自身的k次卷积的第n项-阿洛伊斯·海因茨2019年2月12日
配方奶粉
k列的G.f:（1/（1-x-x^2/（1-2*x-2*x^2/（1-3*x-3*x^3/（1-4*x-4*x^2/（1-…））））^k，一个连分数。
例子
k列的G.f:A_k（x）=1+k*x+k*（k+3）*x^2/2+k*。。。
方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
0, 2, 5, 9, 14, 20, ...
0, 5, 14, 28, 48, 75, ...
0, 15, 44, 93, 169, 280, ...
0, 52, 154, 333, 624, 1071, ...
MAPLE公司
A： =proc（n，k）选项记忆`if`（n=0，1，`if`（k=0，0，
`如果`（k=1，加上（A（n-j，k）*二项式（n-1，j-1），j=1..n），
（h->添加（A（j，h）*A（n-j，k-h），j=0..n））（iquo（k，2）））
结束时间：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2018年5月31日
数学
表[函数[k，级数系数[1/（1-x+连续分数k[-i x^2，1-（i+1）x，{i，1，n}]）^k，{x，0，n}][j-n]，{j，0，11}，{n，0，j}]//展平
S_n中避免{bar2}413{bar5}的排列数（即413的每次出现都包含在24135的出现中）。
+10
6
1, 1, 2, 5, 14, 43, 144, 525, 2084, 9005, 42288, 215111, 1179738, 6937765, 43504598, 289356385, 2031636826, 14995775647, 115943399636, 936138957225, 7872233481696, 68788474572625, 623323010473012, 5846701373312019, 56677763478164422, 567011396405398185
评论
如果置换p没有顺序同构于q的子序列，那么它就避免了模式q。例如，如果置换p不具有A<c<b的子序列abc，那么它避免了模式132。
Barred模式避免考虑避免模式的排列，除非在特殊情况下。给定一个条状图案q，我们可以形成两种图案，q1=q的无条状字母序列，q2=q的所有字母序列。
如果p中q1的每个实例都嵌入到p中q2的副本中，置换p就避免了条状模式q。换句话说，p避免了q1，除非在特殊情况下，q1的副本是q2副本的子序列。
例如，如果q=5{bar1}32{bar4}，那么q1=532和q2=51324。如果为了减少p中长度为3的子序列acd，p避免q，则可以找到字母b和e，以便p的子序列abcode具有b<d<c<e<a。（结束）
配方奶粉
G.f.：（（x^2-4）/（U（0）*（x+1）-x^3+4*x）-1）/（1+x），其中U（k）=k*（2*k+3）*x^2+x-2-（2-x+2*k*x）*（2+3*x+2*k*x）*（k+1）*x^2/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月28日
G.f.：1/（G（0）-x），其中G（k）=1-x/（1-x*（2*k+1）/（1-x/（1-x*（2*k+2）/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月14日
G.f.：1/（G（0）-x），其中G（k）=1-x/（1-x*（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月2日
G.f.：1/（Q（0）-x），其中Q（k）=1-（k+1）*x-（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月3日
MAPLE公司
读取（“bVATTER14”）；#http://faulty.valpo.edu/lpudwell/maple/bVATTER14
对于从1到n的dof（[[2，1]，[4，0]，[1,0]，[3，0]、[5，1]]，{op（置换（n））}）；nops（%）；打印（%）；日期：#R.J.马塔尔2009年5月29日
#另一个Maple项目：
使用（组合）：
invtr:=proc（p）局部b；b： =proc（n）选项记忆；
`如果`（n<1，1，加上（b（n-i）*p（i-1），i=1..n+1））结束
结束时间：
a： =n->invtr（n->bell（n））（n-1）：
数学
invtr[p_]：=模[{b}，b[n_]：=b[n]=如果[n<1，1，和[b[n-i]*p[i-1]，{i，1，n+1}]]；b] ；a[n_]：=发票[BellB][n-1]；表[a[n]，{n，1，30}](*Jean-François Alcover公司2016年1月31日之后阿洛伊斯·海因茨*)
a（n）=[x^n]（1/（1-x-x^2/（1-2*x-2*x^2/（1-3*x-3*x^3/（1-4*x-4*x^2/（1-…））））^n。
+10
4
1, 1, 5, 28, 169, 1071, 7034, 47538, 329249, 2331424, 16856915, 124387286, 936799582, 7204759238, 56634639780, 455560907508, 3755017488657, 31763254337955, 276141607672244, 2470749459597450, 22777862470135279, 216542289861590847, 2123786397875045480, 21490054470340915524, 224275454800219674782
评论
a（n）是贝尔数与其自身的n倍卷积的第n项-阿洛伊斯·海因茨2019年2月12日
MAPLE公司
b： =proc（n，k）选项记忆`if`（n=0，1，`if`（k=0，0，
`如果`（k=1，加上（b（n-j，k）*二项式（n-1，j-1），j=1..n），
（h->添加（b（j，h）*b（n-j，k-h），j=0..n））（iquo（k，2）））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
数学
表[级数系数[1/（1-x+连续分数k[-k x^2，1-（k+1）x，{k，1，n}]）^n，{x，0，n}]，{n，0，24}]
搜索在0.006秒内完成
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