显示找到的31个结果中的1-10个。
1, 10385, 40486, 13367790, 1645333506, 6692367336, 11796759175
评论
b已知的基b中的Wieferich素数(b的乘法顺序mod这些素数(也包括这些素数^2))(如果顺序是p-1,那么b是mod这个素数的本原根(但不是mod这个素^2),参见A055578号)
2 1093 (364), 3511 (1755)
3 11 (5), 1006003 (1006002)
4 1093 (182), 3511 (1755)
5 2 (1), 20771 (10385), 40487 (40486), 53471161 (13367790), 1645333507 (1645333506), 6692367337 (6692367336), 188748146801 (11796759175)
6 66161 (66160), 534851 (106970), 3152573 (788143)
7 5 (4), 491531 (245765)
8 3 (2), 1093 (364), 3511 (585)
9 2 (1), 11 (5), 1006003 (503001)
10 3 (1), 487 (486), 56598313 (56598312)
11 71 (70)
12 2693 (2692), 123653 (123652)
13 2 (1), 863 (862), 1747591 (873795)
14 29 (28), 353 (352), 7596952219 (7596952218)
15 29131 (29130), 119327070011 (59663535005)
16 1093 (91), 3511 (1755)
17 2 (1), 3 (2), 46021 (7670), 48947 (24473), 478225523351 (478225523350)
18 5 (4), 7 (3), 37 (36), 331 (110), 33923 (33922), 1284043 (428014)
19 3 (1), 7 (6), 13 (12), 43 (42), 137 (68), 63061489 (63061488)
20 281 (140), 46457 (46456), 9377747 (9377746), 122959073 (122959072)
21 2 (1)
22 13 (3), 673 (224), 1595813 (797906), 492366587 (246183293), 9809862296159 (44999368331)
23 13 (6), 2481757 (827252), 13703077 (13703076), 15546404183 (7773202091), 2549536629329 (2549536629328)
24 5 (2), 25633 (6408)
这些阶n将满足Phi_n(b)可被p^2整除,其中Phi是分圆多项式。(通常,Phi_n(b)是平方自由的,但这些都是例外;即,如果p^2除以Phi_n(b)(除了p=2、n=2和b==3(mod 4)的情况),则p是以b为底的Wieferich素数。)
(结束)
黄体脂酮素
(PARI)v=[2,20771,40487,53471161,1645333507,6692367337,188748146801];对于(k=1,#v,print1(znorder(Mod(5,v[k]^2)),“,”)
设p是第n个基-5个Wieferich素数(A123692号). a(n)是p-1的值除以5的乘法顺序(mod p^2)。
+20 2
黄体脂酮素
(PARI)v=[2,20771,40487,53471161,1645333507,6692367337,188748146801];对于(k=1,#v,my(ord=znorder(Mod(5,v[k]^2)));打印1((v[k]-1)/ord,“,”)
维埃弗里奇素数:素数p,使得p^2除以2^(p-1)-1。
+10 167
评论
序列被认为是无限的。
约瑟夫·西尔弗曼(Joseph Silverman)证明了abc猜想意味着序列中有无限多的素数-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月9日
Graves和Murty(2013)改进了Silverman的结果,表明对于任何固定的k>1,abc猜想意味着有无限多的素数==1(mod k)不在序列中-乔纳森·桑多2013年1月21日
在1977年的一篇论文中,威尔斯·约翰逊引用了劳伦斯·华盛顿的一项建议,指出了数字的二进制表示中的重复,这些数字比已知的两个威弗里奇素数少一;即1092=10001000100(基数2);3510=110110110110(基数2)。也许值得注意的是,1092=444(以16为基数)和3510=6666(以8为基数),因此这些数字是各自基数中单位数的小倍数。这在数学上是否重要似乎还不清楚-约翰·布莱斯·多布森2007年9月29日
这些素数也除以调和数H的分子(floor((p-1)/4))H.Eskandari(hamid.r.Eskandari(AT)gmail.com),2010年9月28日
如果q是素数,q^2除以素数指数Mersenne数,那么q一定是Wieferich素数。两个已知的维埃弗里奇素数都不能划分梅森数。请参阅以下链接中的Will Edgington的Mersenne页面-达兰·吉尔,2013年4月4日
还有其他素数q>=p吗,q^2除以2^(p-1)-1,其中p是素数-托马斯·奥多夫斯基2014年11月22日。任何这样的q都必须是Wieferich素数-马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月25日
设r_1、r_2、r_3。。。,r_i是多项式X^((p-1)/2)-(p-3)的根的集合!*X^((p-3)/2)-(p-5)!*X ^((p-5)/2)-…-1.那么p是一个Wieferich素数,当p除以和{k=1,p}(r_k^((p-1)/2))(参见Jakubec,1994年的例子2)-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年5月27日
设U_n(P,Q)是第一类Lucas序列,e是Legendre符号(D/P),P是不除2QD的素数,其中D=P^2-4*Q。然后,一个素数P,使得U_(P-e)==0(mod P^2)称为“与该对(P,Q)相关联的Lucas-Wieferich素数”。维埃弗里奇素数是与这对(3,2)相关联的卢卡斯-维埃弗里希素数(参见McIntosh,Roettger,2007,第2088页)-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich),2016年5月27日
如果丢番图方程p^x-2^y=d在正整数(x,y)中有多个解,并且(p,d)不是对(3,1),(3,-5),(3,13)或(5,-3)中的一个,那么p是这个序列的一个项(参见Scott,Styer,2004,定理2的推论)-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年6月18日
奇素数p,使得Chi_(D_0)(p)!=1和Lambda_p(Q(sqrt(D_0))!=1,其中D_0<0是虚二次域Q(sqrt(1-p^2))的基本判别式,Chi和Lambda是Iwasawa不变量(参见Byeon,2006,命题1(i))-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年6月25日
如果q是奇素数,k,p是p=2*k+1,k==3(mod 4),p==-1(mod q)和p=/=-1(mod q^3)(雅库贝克,1998,推论2给出p==-5(mod q^)和p=/=-5(mod q ^3))的素数,其乘法阶为q模k=(k-1)/2,q除以实分圆域q(Zeta_p+(Zeta_p)^(-1))的类数,那么q是这个序列的一个项(参见Jakubec,1995,定理1)-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年6月25日
的主要条款A077816号(参见Agoh、Dilcher、Skula,1997年,推论5.9)。
p=素数(n)在序列中,如果存在整数k,使得T(n,k)=2,其中T=A258787型.(结束)
猜想:一个整数n>1,使得n^2除以2^(n-1)-1必须是Wieferich素数-托马斯·奥多夫斯基2016年12月21日
上述猜想相当于不存在“魏氏伪素数”(WPSP)的说法。虽然已知存在多个碱基b>1而不是2的碱基b WPSP(参见示例A244752号),没有已知的base-2 WPSP。由于复合物成为碱-2 WPSP的两个必要条件是,两者都是碱-2费马伪素数(A001567号)它的所有素因子都是维埃弗里奇素数(参见。A270833型),如中的注释所示A240719型,似乎第一个碱基-2 WPSP(如果存在)可能非常大。这似乎得到了以下猜测的支持:复合物的属性是2015年5月67日和,共A270833型相互“独立”,通过观察256517元随着n的增加,在x轴平行线y=2处似乎变得“不太稠密”。文献中建议,在某个数x以下可能存在对数(log(x))Wieferich素数的渐近性,这是一个增长到无穷大的函数,但增长速度非常慢。考虑到上述限制,WPSP的数量可能会增长得更慢,这意味着如果存在这样的数量,那么可能远远超出暴力搜索在可预见的未来可能达到的极限。因此,我猜想这个猜想可能是错误的,但反驳或反例的发现可能是非常困难的问题-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2019年1月18日
以德国数学家亚瑟·约瑟夫·阿尔温·威弗里奇(Arthur Josef Alwin Wieferich,1884-1954)的名字命名。a(1)=1093由Waldemar Meissner于1913年发现。a(2)=3511是由N.G.W.H.Beeger于1922年发现的-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月5日
参考文献
Richard Crandall和Carl Pomerance,《素数:计算视角》,Springer,NY,2001年;见第28页。
理查德·盖伊(Richard K.Guy),《数论中未解决的问题》(Unsolved Problems in Number Theory),A3。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第91页。
Yves Hellegouarch,“Fermat Wiles的数学邀请”,Dunod,2eme版,第340-341页。
佩斯·尼尔森(Pace Nielsen),《威弗里奇素数,启发式,计算》(Wieferich primes,heuristics,calculations),《抽象艾默尔》(Abstracts Amer)。数学。Soc.,33(#1,20912),#1077-11-48。
保罗·里本博伊姆(Paulo Ribenboim),《素数记录》(The Book of Prime Number Records)。Springer-Verlag,纽约州,第二版,1989年,第263页。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》,企鹅图书,纽约,1986年,第163页。
链接
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勒内基,调和数的扩展同余,arXiv:1902.05258[math.NT],2019年。
Lorenz Halbeisen和Norbert Hungerbuehler,组合函数的数论方面,《数论和离散数学笔记》5(1999)138-150。(秒,pdf格式)
斯坦尼斯拉夫·雅库贝克,高斯周期的同余《数论杂志》,第48卷,第1期(1994年),第36-45页。
D.H.Lehmer,关于费马商,以二为基数,数学。公司。,第36卷,第153号(1981年),第289-290页。
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A.Wieferich等人,祖姆莱兹滕·费马陈定理《数学杂志》,第136卷(1909年),第293-302页。
MAPLE公司
wieferich:=proc(n)local nsq,remain,bin,char:if(not isprime(n))then RETURN(“not prime”)fi:nsq:=n^2:remain:=2:bin:=convert(convert,n-1,binary),string):remain:=(remain*2)mod nsq:bin:=substring(bin,2.length(bin)):while(lengthmod nsq fi:remain:=(remain^2)mod nsq:bin:=substring(bin,2..length(bin)):od:if(bin=“1”)then remain:=(remain*2)mod-nsq fi:if remain=1 then RETURN(“Wieferich prime”)fi:RETURN:(“non-Wieferichprime”
数学
选择[Prime[Range[50000]],Divisible[2^(#-1)-1,#^2]&](*哈维·P·戴尔2011年4月23日*)
选择[Prime[Range[50000]],PowerMod[2,#-1,#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2016年5月25日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
导入数据。列表(元素索引)
a001220 n=a001220_列表!!(n-1)
a001220_list=地图(a000040.(+1))$elemIndices 1 a196202_list
(PARI)
N=10^4;默认值(primelimit,N);
forprime(n=2,n,如果(Mod(2,n^2)^(n-1)==1,print1(n,“,”));
(Python)
从sympy导入质数
从gmpy2导入powmod
A001220号_如果powmod(2,p-1,p*p)==1,则list=[p代表p in(prime(n)代表n in range(1,10**7))
(GAP)过滤([1..50000],p->IsPrime(p)和(2^(p-1)-1)mod p^2=0)#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年4月3日
(岩浆)[p:p在PrimesUpTo(310000)|IsZero((2^(p-1)-1)mod(p^2))中]//文森佐·利班迪2019年1月19日
交叉参考
囊性纤维变性。A001567号,A002323号,A077816号,A001008号,A039951号,A049094号,A126196号,A126197号,A178815号,A178844号,A178871号,A178900个,A246503型,A247208型,A269798型.
Mirimanoff素数:素数p,使得p^2除以3^(p-1)-1。
+10 44
评论
Dorais和Klyve证明了在9.7*10^14之前没有进一步的术语。
这些素数是根据Mirimanoff在1910年的著名结果命名的(见下文),对于费马最后定理的第一种情况的失败,指数p必须满足定义中规定的标准。勒奇(见下文)表明,这些素数也会除以调和数H的分子(floor(p/3))。这类似于Wieferich素数(A001220号)除以谐波数H((p-1)/2)的分子-约翰·布莱斯·多布森2014年3月2日,2015年4月9日
如果除了11和1006003之外没有其他项,那么丢番图方程a^w+a^x=3^y+3^z的唯一解(a,w,x,y,z)是(5,1,1,2,3)(参见Scott,Styer,2006,引理12)-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2020年12月10日
以俄罗斯数学家德米特里·塞米诺诺维奇·米里马诺夫(1861-1945)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
参考文献
保罗·里本博伊姆(Paulo Ribenboim),《费马大定理13讲》,施普林格出版社,1979年,第23、152-153页。
Alf van der Poorten,《费马大定理注释》,威利出版社,1996年,第21页。
链接
阿米尔·阿克巴里(Amir Akbary)和萨哈尔·西瓦什(Sahar Siavashi),已知最大的威弗里奇数,INTEGERS,18(2018),A3。见第5页的表1。
Chris K.Caldwell,费马商《主要词汇表》。
K.E.Kloss,一些数字理论计算《国家标准局研究杂志-B.数学和数学物理》,第69B卷,第4期(1965年10月至12月),第335-336页。
D.米里马诺夫,费尔马特郡,C.R.学院。科学。巴黎,第150卷(1910),第204-206页。修订为费尔马特郡《数学杂志》,第139卷(1911年),第309-324页。
数学
选择[Prime[Range[1000000]],PowerMod[3,#-1,#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯2019年5月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)
N=10^9;默认值(primelimit,N);
对于素数(n=2,n,如果(Mod(3,n^2)^(n-1)==1,打印1(n,“,”));
(Python)
从sympy导入质数
从gmpy2导入powmod
A014127号_list=[p表示p in(prime(n)表示n in(1,10**7)),如果powmod(3,p-1,p*p)==1]#柴华武2014年12月3日
a(n)是p^2除以n^(p-1)-1的最小素数p。
+10 40
2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3
评论
对于任意n,k>1,a(n^k)<=a(n)。
a(n)在{47,72,186,187,200,203,222,231,304,311,335,355,435,454,546,554,610,639,662,760,772,798,808,812,858,860,871,983,986,…}中的n当前未知-理查德·费希2021年7月15日
a(47)>1.4*10^14,a(72)>1.4x10^14(见费舍尔表格)。
对于所有非负整数n和k,a(n^(n^k))=a(n)(请参阅链接中的拼图762)。当且仅当mod(n,36)在集合{8,10,19,26,28,35}中时,a(n)=3-法里德·菲鲁兹巴赫特和贾汉格·科尔迪2014年11月1日
数学
表[p=2;而[!可除[n^(p-1)-1,p^2],p=NextPrime@p];p、 {n,33}](*迈克尔·德弗利格2016年11月24日*)
f[n_]:=块[{p=2},而[PowerMod[n,p-1,p^2]!=1,p=NextPrime@p];p] ;阵列[f,33](*罗伯特·威尔逊v2018年7月18日*)
扩展
a(34)-a(46)摘自Helmut Richter(Richter(AT)lrz.de),2004年5月17日
评论
多雷斯和克莱夫证明,在9.7*10^14之前,没有其他条款。
链接
阿米尔·阿克巴里(Amir Akbary)和萨哈尔·西瓦什(Sahar Siavashi),已知最大的威弗里奇数,INTEGERS,18(2018),A3。见第5页的表1。
数学
选择[Prime[Range[1000000]],PowerMod[7,#-1,#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯2019年5月17日*)
链接
阿米尔·阿克巴里(Amir Akbary)和萨哈尔·西瓦什(Sahar Siavashi),已知最大的威弗里奇数,INTEGERS,18(2018),A3。见第5页的表1。
数学
选择[Prime[Range[5*10^7]],Mod[13^(#-1)-1,#^2]==0&](*G.C.格鲁贝尔,2018年1月18日*)
素数p使得10^(p-1)==1(mod p^2)。
+10 19
评论
没有低于1.172*10^14的其他条款(截至2020年2月,参考费舍尔表格)。
Brillhart等人在论文中宣布了56598313-赫尔穆特·里希特2004年5月17日
参考文献
J.Brillhart、J.Tonascia和P.Weinberger,《论费马商》,A.O.L.Atkin和B.J.Birch的第213-222页,《数论中的计算机》编辑。纽约学术出版社,1971年。
理查德·盖伊(Richard K.Guy),《数论中未解决的问题》(Unsolved Problems in Number Theory),施普林格出版社,2004年,A3。
链接
阿米尔·阿克巴里(Amir Akbary)和萨哈尔·西瓦什(Sahar Siavashi),已知最大的威弗里奇数,INTEGERS,18(2018),A3。见第5页的表1。
塞缪尔·耶茨,声誉之谜,数学。Mag.51(1978),22-28。
数学
A045616Q=PrimeQ@#&&PowerMod[10,#-1,#^2]==1&;选择[范围[1000000],A045616Q](*郑焕敏2017年2月4日*)
选择[Prime[Range[34*10^5]],PowerMod[10,#-1,#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2018年4月10日*)
黄体脂酮素
(PARI)列表a(nn)=素数(p=2,nn,如果(Mod(10,p^2)^(p-1)==1,print1(p,“,”))\\米歇尔·马库斯2015年8月16日
(哈斯克尔)
导入数学。数字理论。模数(powerMod)
a045616 n=a045616_列表!!(n-1)
a045616_list=过滤器
(\p->powerMod 10(p-1)(p^2)==1)a000040_list'
交叉参考
囊性纤维变性。A001220号,A014127号,A123692号,A212583型,A123693号,A111027号,A128667号,A234810型,A242741型,A128668号,A244260号,A090968号,A242982型,A128669号,A039951号.
2, 3, 46021, 48947, 478225523351
评论
莫辛霍夫表示,截至2014年10月,没有其他条款。
链接
阿米尔·阿克巴里(Amir Akbary)和萨哈尔·西瓦什(Sahar Siavashi),已知最大的威弗里奇数,INTEGERS,18(2018),A3。见第5页的表1。
M.J.Mossinghoff,威弗里奇对和巴克序列,设计。密码。53 (2009), 149-163.
数学
选择[Prime[Range[5*10^6]],Mod[17^(#-1)-1,#^2]==0&](*G.C.格鲁贝尔2018年1月18日*)
扩展
质数478225523351是由理查德·费舍尔于2005年10月25日发现的
3, 7, 13, 43, 137, 63061489
评论
素数p使p除以p的费马商(以19为基数)。p与a的费马商表示整数q_p(a)=(a^(p-1)-1)/p,其中p是不除以整数a的素数。罗纳尔多(aga_new_ac(AT)hotmail.com),2005年1月20日
截至3.127*10^13,无其他条款。
参考文献
J.-M.De Konink,《法定法西斯》,条目43,第17页,《椭圆》,巴黎,2008年。
保罗·里本博伊姆(Paulo Ribenboim),《大素数小书》(The Little Book Of Big Primes),斯普林格·弗拉格(Springer-Verlag),纽约,1991年,第170页。
Roozbeh Hazrat,《数学:以问题为中心的方法》,施普林格出版社,2010年,第39、171页。[哈维·P·戴尔2011年10月17日]
链接
阿米尔·阿克巴里(Amir Akbary)和萨哈尔·西瓦什(Sahar Siavashi),已知最大的威弗里奇数,INTEGERS,18(2018),A3。见第5页的表1。
数学
NextPrim[n_]:=块[{k=n+1},While[!PrimeQ[k],k++];k] ;p=1;Do[p=NextPrim[p];如果[PowerMod[19,p-1,p^2]==1,打印[p]],{n,1,2*10^8}]
选择[Prime[Range[4*10^6]],PowerMod[19,#-1,#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2017年11月8日*)
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