显示找到的44个结果中的1-10个。
64, 96, 29, 216, 43, 192, 413, 67, 69, 219, 77, 595, 485, 424, 224, 115, 480, 381, 536, 715, 453, 795, 501, 171, 173, 712, 368, 187, 189, 2211, 1085, 904, 699, 237, 723, 245, 1512, 1048, 267, 1925, 283, 285, 576, 291, 2709, 939, 317, 640, 1635, 3773, 355, 1805
数学
q[n_]：=最后/@FactorInteger[n]=={2，2}；lst=选择[Range[3*8！]，q[#]&]；a=表[lst[[n+1]]-lst[[n]]，{n，1，长度[lst]-1}]
差异[Select[Range[200]，PrimeOmega[#]==2&&SquareFreeQ[#]&]^2](*哈维·P·戴尔2024年8月5日*）
n阶阿贝尔群的个数；n分解成素数幂的次数。
（原名M0064 N0020）
+10
130
1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 11, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1
评论
等价地，具有n个共轭类的阿贝尔群的数量-迈克尔·索莫斯2010年8月10日
a（n）只依赖于n的素数签名（参见。A025487号). 所以a（24）=a（375）因为24=2^3*3和375=3*5^3都有质数签名（3，1）。
还有n个元素是域的直积的环的数目；这些是n个元素没有幂零的交换环；同样地，交换环中每个元素x都有一个k>0，使得x^（k+1）=x-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月20日
此外，根据Molnár的一个定理（参见[Molnаr]），2*n+1阶（非同构）阿贝尔群的数量等于r^n通过交叉的非同构格Z分片的数量，其中“交叉”是r^n中的一个单位立方体，其在每个面上都附加了另一个单位立方（Z，r分别是整数和实数）。（参见[Horak]。）-L.埃德森·杰弗里2012年11月29日
Zeta（k*s）是数字的特征函数的狄利克雷生成函数，该特征函数是k次幂（k=1 inA000012号，k=2英寸A010052号，k=3英寸A010057号，参见arXiv:1106.4038第3.1节）。k上的无穷乘积（此处）是表示数n=product_i（b_i）^（e_i），其中所有指数e_i是不同的，且>=1。示例：a（n=4）=2:4^1=2^2。a（n=8）=3:8^1=2^1*2^2=2^3。a（n=9）=2:9^1=3^2。a（n=12）=2:12^1=3*2^2。a（n=16）=5:16^1=2*2^3=4^2=2^2*4^1=2^4。如果e_i是集合{1,2}，我们得到A046951号表示为数字和正方形乘积的表示数-R.J.马塔尔2016年11月5日
Kendall和Rankin证明了每m存在{n:a（n）=m}的密度-查尔斯·格里特豪斯四世2024年7月14日
参考文献
史蒂文·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第274-278页。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第XIII.12节，第468页。
J.S.Rose，群论课程，剑桥大学。大学出版社，1978年，见第7页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
A.Speiser，《Gruppen von endlicher Ordnung的模具理论》，第4页。Auflage，Birkhäuser，1956年。
链接
Tak-Shing T.Chan和Y.-H.Yang，极n复和n双复奇异值分解与主成分追踪《IEEE信号处理汇刊》（2016年12月15日第24期第64卷）；DOI:10.1109/TSP.2016.261217。
B.Horvat、G.Jaklic和T.Pisanski，关于哈密顿群的个数，arXiv:math/0503183[math.CO]，2005年。
配方奶粉
与a（p^k）相乘=k的分区数=A000041号（k） ；如果（m，n）=1，则a（mn）=a（m）a（n）。
a（n）=产品{j=1..n（n）}A000041号（e（j）），n>=2，如果
n=乘积_{j=1.n（n）}素数（j）^e（j），n（n）=A001221号（n） ●●●●。参见Richert参考，引用A.Speiser关于有限群的书（德语，第51页，大写）-沃尔夫迪特·朗2011年7月23日
根据对称群的循环指数：Product_{q=1..m}[z^{v_q}]z（S_v）1/（1-z），其中v是n的素因式分解中任何素数的最大指数，v_q是素因子的指数，z（S_v）是v元素上对称群的周期指数-马尔科·里德尔2014年10月3日
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}a（n）/n^s=Product_{k>=1}zeta（ks）[Kendall]-阿尔瓦尔·伊比亚斯2014年11月5日
渐近平均值：lim_{n->oo}（1/n）*Sum_{k=1..n}a（k）=A021002型.（结束）
例子
a（1）=1，因为平凡群{e}是唯一的1阶群，它是阿贝尔群；或者，因为将1分解为素数幂的唯一因子是空乘积。
对于任何素数p，a（p）=1，因为素数幂的唯一因式分解是p=p^1，并且（根据拉格朗日定理）只有一组素数阶p；它与（Z/pZ，+）同构，因此是阿贝尔的。
a（8）=3，因为8=2^3，因此a（8”=pa（3）=A000041号（3） 从分区（3）、（2，1）和（1，1，1）中取=3，得到8:8、4*2和2*2*2的3个因式分解。
a（36）=4，因为36=2^2*3^2，因此从分区（2）和（1，1）中a（36，）=pa（2）*pa（2。
（结束）
MAPLE公司
with（combint）：readlib（ifactors）：对于n从1到120，do ans：=1：对于i从1到nops（ifactor（n）[2]），do ans：=ans*numbpart（ifacters（n）[2][i][2]）od:printf（`%d，`，ans）：od：#詹姆斯·塞勒斯2000年12月7日
数学
f[n_]：=时间@@PartitionsP/@Last/@因子整数@n; 数组[f，107](*罗伯特·威尔逊v2006年9月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）A000688号（n） =局部（f）；f=系数（n）；prod（i=1，matsize（f）[1]，numbpart（f[i，2]））\\迈克尔·B·波特2010年2月8日
（PARI）a（n）=我的（f=系数（n）[，2]）；触头（i=1，#f，数字部分（f[i]））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月16日
（鼠尾草）
定义a（n）：
F=系数（n）
返回范围（len（F））中i的prod（[number_of_displays（F[i][1]）]）
（哈斯克尔）
a000688=产品。地图a000041。a124010_低
（Python）
来自sympy import factorint，npartitions
从数学导入prod
定义A000688号（n） ：return prod（映射（npartitions，factorint（n）.values（）））#柴华武2022年1月14日
交叉参考
囊性纤维变性。A000001号,A021002型,A060689号,A000041号,A000961号,A001055号,A005361号,A034382号,A046054号,A046055美元,A046056号,A046101号,A050360型,A055653号,A057521号,2018年1月72日（二等分），A101876号（四边形），A124010型,A050361号,A051532级,A129667号（Dirichlet逆）。
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 7, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 5, 6, 2, 9, 2, 10, 4, 4, 4, 11, 2, 4, 4, 8, 2, 9, 2, 6, 6, 4, 2, 12, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 13, 2, 4, 6, 14, 4, 9, 2, 6, 4, 9, 2, 15, 2, 4, 6, 6, 4, 9, 2, 12, 7, 4, 2, 13, 4, 4, 4, 8, 2, 13, 4, 6, 4, 4, 4, 16, 2, 6, 6, 11, 2, 9, 2, 8, 9, 4, 2, 15, 2, 9, 4, 12, 2, 9, 4, 6, 6, 4, 4, 17
评论
因此，这个序列（而不是A046523)可用于查找a（n）的值仅依赖于n的素数签名的序列，即仅依赖n的因式分解中素数指数的多集。（End）
例子
1有素数签名（），这是第一个不同的素数签名。因此，a（1）=1。
2具有素数签名（1），即（1）之后的第二个不同素数签名。因此，a（2）=2。
3具有素数签名（1），2也是如此。因此，a（3）=a（2）=2。
4有素数签名（2），在（）和（1）之后是第三个不同的素数签名。因此，a（4）=3。（结束）
对于n=2，A046523号（2） =2，这在（第一素数）之前从未遇到过，因此我们为（2）分配到目前为止未使用的最少的数字，即2，因此a（2）=2。
对于n=4，A046523（4） =4，在（素数的第一个平方）之前没有遇到，因此我们为（4）分配到目前为止未使用的最少的数字，即3，因此a（4）=3。
对于n=5，A046523号（5） =2，因为在n=2时第一次遇到，所以我们设置a（5）=a（2）=2。
对于n=6，A046523（6） =6，之前没有遇到过（第一个半素数pq具有不同的p和q），因此我们为（6）分配了迄今为止未使用的最少的数字，即4，因此a（6）=4。
对于n=8，A046523号（8） =8，在（素数的第一个立方体）之前没有遇到，因此我们为（8）分配到目前为止未使用的最少的数字，即5，因此a（8）=5。
对于n=9，A046523号（9） =4，与n=4时第一次遇到的情况一样，因此a（9）=3。
（结束）
计算序列的算法的（粗略）描述：
假设我们想计算[1..20]中n的a（n）。
我们设置了一个由20个元素组成的向量，值为0，数字m=1，这是我们尚未检查的最小值，c=0是我们迄今为止发现的不同素数签名的数量。
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
我们检查m的素数签名，看它是（）。我们用1增加c，并将所有元素设为20，素数签名（）设为1。在此过程中，我们调整了m。这得出：
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]. 我们没有检查的最小值是m=2。2具有质数签名（1）。我们用1增加c，并将所有元素设为20，素数签名（1）设为2。在此过程中，我们调整了m。这得出：
[1, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0]
我们检查m=4的素数签名，发现其素数签名是（2）。我们用1增加c，并用素数签名（2）将所有数字设为20，设为3。这提供了：
[1, 2, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0]
类似地，在m=6之后，我们得到
[1,2,2,3,2,4,2,0,3,4,2,2,0,2,4,1,4,4,0,2,0]，在m=8之后，我们得到：
[1，2，2，3，2，4，2，5，3，4，2，0，2，4，4，0，2，0]，在m=12之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,6,2,4,4,0,2,6,2,0]，在m=16之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,6,2,4,4,7,2,6,2,0]，在m=20之后，我们得到：
[1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 7, 2, 6, 2, 8]. 现在，m>20，所以我们停下来。（结束）
上述方法效率低下，因为步骤“将所有元素a（n）设置为n=Nmax，素数签名s（n）=s[c]设置为c”需要将所有整数分解为Nmax（或至少将其签名计算后与s[c]进行比较）。在每m=1..Nmax上只运行一次，计算它的素数签名s（m），将它与它的“秩”（=列表的新大小）一起添加到有序列表中，并将该秩赋给a（m）会更有效。素数签名列表比[1..Nmax]短得多。还可以使用m'（m）：=最小的n，其素数签名为m（计算速度比搜索签名快）作为s（m）的代表，并设置a（m）：=a（m'（m））。那么，除了要计算的序列之外，只需要一个计数器（到目前为止看到的素数签名数）作为辅助变量就足够了-M.F.哈斯勒，2019年7月18日
MAPLE公司
当地a046523，a；
对于1 do
返回a；
返回-1；
结束条件：；
结束do：
数学
带有[{nn=120}，函数[s，表[Position[按键@s，k_/；MemberQ[k，n]][[1，1]]，{n，nn}]]@Map[#1->#2&@@#&，Transpose@{Values@#，Keys@#}]&@PositionIndex@Table[Times@@MapIndexed[Prime[First@#2]^#1&，Sort[FactorInteger[n][[All，-1]]，Greater]]-Boole[n==1]，{n，nn}](*迈克尔·德弗利格，2017年5月12日，第10版*）
黄体脂酮素
（PARI）查找（ps，vps）={for（k=1，#vps，if（vps[k]==ps，return（k））；）；}
lisps（nn）={vps=[]；对于（n=1，nn，ps=vecsort（factor（n）[，2]））；ips=find（ps，vps）；如果（！ips，vps=concat（vps，ps）；ips=#vps），print1（ips，“，”）；}\\米歇尔·马库斯2015年11月15日；编辑人M.F.哈斯勒2019年7月16日
（PARI）
rgs_transform（invec）={my（occurrences=Map（），outvec=vector（length（invec）），u=1）；对于（i=1，length，invec，if（mapisdefined（occurements，invec[i]），my（pp=mapget（occursions，invec[i]；
write_to_bfile（start_offset，vec，bfilename）={对于（n=1，长度（vec），write（bfilename，（n+start_offset）-1，“”，vec[n]）；}
写入to_b文件（1，rgs_transform（向量（100000，n，A046523号（n） ），“b101296.txt”）；
交叉参考
由该序列获得的值确定的等价类的有限个（>=2）的并集的序列（即大卫·A·科内斯2017年5月12日配方奶粉）：A001358号(A001248号U型A006881号，值3和4），A007422号（值1、4、5），A007964号(2, 3, 4, 5),A014612号(5, 6, 9),A030513型(4, 5),A037143号(1, 2, 3, 4),A037144号(1, 2, 3, 4, 5, 6, 9),A080258号(6, 7),A084116美元(2, 4, 5),A167171号(2, 4),A217856型(6, 9).
48, 80, 112, 162, 176, 208, 272, 304, 368, 405, 464, 496, 567, 592, 656, 688, 752, 848, 891, 944, 976, 1053, 1072, 1136, 1168, 1250, 1264, 1328, 1377, 1424, 1539, 1552, 1616, 1648, 1712, 1744, 1808, 1863, 1875, 2032, 2096, 2192, 2224, 2349, 2384, 2416, 2511
数学
最大=500000；A178739号=DeleteCase[Union[Table[Prime[p]Prime[q]^4 Boole[p！=q]，{p，PrimePi[max/16]}，{q，PrimePi[max/2]}]，0]；采取[A178739号, 50] (*阿隆索·德尔·阿特2012年8月5日*）
黄体脂酮素
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；对于素数（p=2，（lim\2）^（1/4），t=p^4；对于素数（q=2，lim\t，如果（p==q，next）；列表（v，t*q））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月20日
四个素数的乘积，其中三个素数是不同的（p^2*q*r）。
+10
33
60, 84, 90, 126, 132, 140, 150, 156, 198, 204, 220, 228, 234, 260, 276, 294, 306, 308, 315, 340, 342, 348, 350, 364, 372, 380, 414, 444, 460, 476, 490, 492, 495, 516, 522, 525, 532, 550, 558, 564, 572, 580, 585, 620, 636, 644, 650, 666, 693, 708, 726
例子
a（1）=60，因为60=2*2*3*5，并且有三个不同的素因子。
数学
pefp[{a，b，c}]：={a^2bc，ab^2c，abc^2}；模块[{upto=800}，选择[Flatten[pefp/@Subsets[Prime[Range[PrimePi[upto/6]]]，{3}]//并集，#<=upto&]](*哈维·P·戴尔2018年10月2日*）
黄体脂酮素
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t，x，y，z）；对于素数（p=2，lim^（1/4），t=lim\p^2；forprime（q=p+1，sqrtint（t）），forprime，（r=q+1，t\q，x=p^2*q*r；y=p*q^2*r；listput（v，x）；如果（y<=lim，则列表输入（v，y）；z=p*q*r^2；如果（z<=lim，listput（v，z）））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月15日
（PARI）是（n）=vecsort（因子（n）[，2]~）==1，1，2]\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年10月19日
两个完全不同的素数平方和一个不同素数（p^2*q^2*r）的乘积。
+10
20
180, 252, 300, 396, 450, 468, 588, 612, 684, 700, 828, 882, 980, 1044, 1100, 1116, 1300, 1332, 1452, 1476, 1548, 1575, 1692, 1700, 1900, 1908, 2028, 2124, 2156, 2178, 2196, 2205, 2300, 2412, 2420, 2450, 2475, 2548, 2556, 2628, 2844, 2900, 2925, 2988
例子
180 = 2^2 * 3^2 * 5, 252 = 2^2 * 3^2 * 7, 300 = 2^2 * 3 * 5^2, ...
数学
f[n_]：=排序[Last/@FactorInteger[n]]=={1，2，2}；选择[Range[3000]，f]
黄体脂酮素
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；对于素数（p=2，sqrt（lim\12），对于素数来说（q=p+1，sqrt（lim\ p^2\2），t=（p*q）^2；对于素数（r=2，lim\t，if（p==r|q==r，next）；列表（v，t*r））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月19日
36, 100, 196, 225, 256, 441, 484, 676, 1089, 1156, 1225, 1444, 1521, 2116, 2601, 3025, 3249, 3364, 3844, 4225, 4761, 5476, 5929, 6561, 6724, 7225, 7396, 7569, 8281, 8649, 8836, 9025, 11236, 12321, 13225, 13924, 14161, 14884, 15129
配方奶粉
求和{n>=1}1/a（n）=（P（2）^2-P（4））/2+P（8）=0.0678286…，其中P是素数zeta函数-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月3日
36, 72, 100, 108, 144, 180, 196, 200, 216, 225, 252, 288, 300, 324, 360, 392, 396, 400, 432, 441, 450, 468, 484, 500, 504, 540, 576, 588, 600, 612, 648, 675, 676, 684, 700, 720, 756, 784, 792, 800, 828, 864, 882, 900, 936, 968, 972, 980, 1000, 1008, 1044
评论
不是平方自由，不是非平凡素数幂，也不在{平方自由}乘以{非平凡素数幂}。
参考文献
CRC标准数学表和公式，第30版，（1996）第102-105页。
数学
选择[Range@1050，And[Length@#>1，Total@Boole@Map[#>1&，#[[All，-1]]>1]&@FactorInteger@#&](*迈克尔·德弗利格2017年4月25日*）
dstdpQ[n_]：=长度[Select[Sqrt[#]&&@Divisors[n]，PrimeQ]]>1；选择[范围[1100]，dstdpQ](*哈维·P·戴尔2020年1月15日*）
黄体脂酮素
（PARI）是（n）=my（f=vecsort（因子（n）[，2]，4））#f> 1&&f[2]>1\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月15日
扩展
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2000年4月3日
至少有两个因子的数在其正则素因式分解中具有相等的指数。
+10
17
6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 42, 46, 51, 55, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 69, 70, 74, 77, 78, 82, 84, 85, 86, 87, 90, 91, 93, 94, 95, 100, 102, 105, 106, 110, 111, 114, 115, 118, 119, 120, 122, 123, 126, 129, 130, 132, 133, 134, 138, 140, 141, 142
数学
t[n_]：=系数整数[n][[All，2]；s=选择[Range[400]，Union[t[#]]==排序[t[#]]&](*A130091型*)
对k进行计数，使（k的素因子数以多重数计算）减去（k的不同素因子数）=2。
+10
14
8, 24, 27, 36, 40, 54, 56, 88, 100, 104, 120, 125, 135, 136, 152, 168, 180, 184, 189, 196, 225, 232, 248, 250, 252, 264, 270, 280, 296, 297, 300, 312, 328, 343, 344, 351, 375, 376, 378, 396, 408, 424, 440, 441, 450, 456, 459, 468, 472, 484, 488
评论
这个序列的渐近密度是（6/Pi^2）*（和{p素数}1/（p^2*（p+1））+和{p<q素数}1/（p*（p+1*q*（q+1）））=（1/zeta（2））*（2*p（3）+和{k>=4}（-1）^（k+1）*（k-1）*p（k）+3158…，其中p是素数zeta函数。（结束）
数学
选择[Range[500]，PrimeOmega[#]-PrimeNu[#]==2&]
黄体脂酮素
（PARI）是（n）=我的（f=系数（n）[，2]）；向量（f）==#f+2\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年8月1日
（哈斯克尔）
a195086 n=a195086_列表！！（n-1）
a195086_list=过滤器（（==2）。a046660）[1..]
交叉参考
囊性纤维变性。A001221号,A001222号,A025487号,A057521号,A060687号,A195069号,A195087号,1998年1月,A195089号,A195090型,A195091号,A195092号,A195093型,A046660号,A257851型,61256元,A264959型.
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