显示找到的11个结果中的1-10个。
共有n个正k色对象的非空多集集合的个数T（n，k）；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=n，按行读取。
+10
35
1, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 8, 5, 0, 5, 23, 33, 15, 0, 7, 56, 141, 144, 52, 0, 11, 127, 492, 848, 675, 203, 0, 15, 268, 1518, 3936, 5190, 3396, 877, 0, 22, 547, 4320, 15800, 30710, 32835, 18270, 4140, 0, 30, 1072, 11567, 57420, 154410, 240012, 216006, 104656, 21147
评论
T（n，k）定义为n，k>=0。三角形只包含k≤n的项。T（n，k）=0表示k>n。
在只有一种颜色（k=1）的情况下，每个多组单色对象都由其大小完全描述，并且大小集合对应于整数分区。在所有对象（k=n）具有不同颜色的情况下，每个多集集合都是一个集分区。
配方奶粉
T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*C（k，i）*A075196号（n，k-i）。
例子
T（3,1）=3:{{1}，{1}。
T（3,2）=8:{{1}，{1}，{2}}，}，1,2}，2,2}。
T（3,3）=5:{{1}，{2}，}3}。
三角形T（n，k）开始于：
1;
0, 1;
0, 2, 2;
0, 3, 8, 5;
0, 5, 23, 33, 15;
0, 7, 56, 141, 144, 52;
0, 11, 127, 492, 848, 675, 203;
0, 15, 268, 1518, 3936, 5190, 3396, 877;
0, 22, 547, 4320, 15800, 30710, 32835, 18270, 4140;
...
MAPLE公司
使用（numtheory）：
A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n＝0，1，加上（A（n-j，k）*
加法（d*二项式（d+k-1，k-1），d=除数（j），j=1..n）/n）
结束：
T： =（n，k）->加（A（n，k-i）*（-1）^i*二项式（k，i），i=0..k）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..12）；
数学
A[n_，k_]：=A[n，k]=如果[n==0，1，和[A[n-j，k]*和[d*二项式[d+k-1，k-1]，{d，除数[j]}]，{j，1，n}]/n]；T[n_，k_]：=和[A[n，k-i]*（-1）^i*二项式[k，i]，{i，0，k}]；表[表[T[n，k]，{k，0，n}]，{n，0，12}]//展平(*Jean-François Alcover公司2016年2月20日之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
主对角线和下对角线给出：A000110号,A255951型,A255952型,A255953型,A255954型,2005年2月,255956英镑,A255957型,A255958型,A255959型,A255960型.
1/Product_{k>=1}（1-x^k）^（k+1）的展开。
（原名M1601）
+10
34
1, 2, 6, 14, 33, 70, 149, 298, 591, 1132, 2139, 3948, 7199, 12894, 22836, 39894, 68982, 117948, 199852, 335426, 558429, 922112, 1511610, 2460208, 3977963, 6390942, 10206862, 16207444, 25596941, 40214896, 62868772, 97814358
评论
此外，a（n）=整数n的分区数，其中k+1是k=1，2，3，…的不同类型的部分k。。。。
此外，a（n）=2种颜色的n个对象的分区数。这些是集合分区，n个对象没有标记，而是使用两种颜色进行着色。对于大小k的每个子集，有k+1不同的可能性，i=0..k白色和k-i黑色对象。
此外，a（n）=具有2个颜色的n个节点的简单未标记图的数量，其组件是完整图-杰弗里·克雷策2012年9月27日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；见练习7.99，第484页和第548-549页。
链接
P.J.Cameron，一些整数序列，离散数学。，75 (1989), 89-102; 另见“图论与组合数学1988”，编辑B.Bollobas，《离散数学年鉴》。，43 (1989), 89-102.
卡洛斯·A·弗洛伦蒂诺，完备指数演算与置换多项式，arXiv:2105.13049[math.CO]，2021。提到这个序列。
P.A.MacMahon，方程组根的对称函数回忆录，菲尔翻译。伦敦皇家学会，181（1890），481-536；科尔。论文II，32-87。
R.P.斯坦利，平面划分的共轭迹和迹《组合理论》，第A14 53-65卷，1973年，特别是第64页。
配方奶粉
b（n）=n+1的EULER变换。
a（n）~泽塔（3）^（13/36）*exp（1/12-Pi^4/（432*Zeta（3））+Pi^2*n^（1/3）/（3*2^（4/3）*Zeta=A074962号=1.2824271291…是Glaisher-Kinkelin常数和Zeta（3）=A002117号= 1.202056903... . -瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月7日
通用公式：exp（总和{k>=1}（σ_1（k）+σ_2（k））*x^k/k）-伊利亚·古特科夫斯基，2018年8月11日
例子
我们将n的分区中的每个和k表示为k个相同的对象。然后我们给每个物体上色。我们不考虑彩色物体的顺序。
a（3）=14，因为我们有：www；wwb；白细胞压积；bbb；ww+w；ww+b；wb+w；白细胞+b；bb+w；bb+b；w+w+w；w+w+b；w+b+b；b+b+b，其中两种颜色是黑色b和白色w-杰弗里·克雷策2012年9月27日
a（3）=14，因为我们有：3；3'; 3''; 3'''; 2 + 1; 2 + 1'; 2' + 1; 2' + 1'; 2'' + 1; 2'' + 1'; 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 1'; 1 + 1' + 1'; 1'+1'+1'，其中不同种类的部分k被指定为k、k'、k''等-乔格·阿恩特2015年3月9日
2种颜色的4个对象的a（4）=33=5+9+6+8+5分区为：
4=1+1+1+1整数分区的5个分区：
01:{{b}，{b}，{b{，{b2}}
02:{{b}，{b}，{b{，{w}}
03：{{b}，{b}，{w}，}
04:{{b}、{w}、}w}和{w}}
05:{{w}，{w}
整数分区4=1+1+2的9个分区：
06：{{b}，{b}，{b，b}}
07:{{b}，{w}，}
08:{{w}，{w}，{b，b}}
09:{{b}，{b}，{w，b}}
10:｛｛b｝，｛w｝，｛w，b｝｝
11：{{w}，{w}，{w，b}}
12:｛｛b｝，｛b｝，｛w，w｝｝
13:{{b}，{w}，}
14:{{w}，{w}，{w，w}}
整数分区4=2+2的6个分区：
15:{{b，b}，{b，b}}
16：{{b，b}，{w，b}}
17：{{b，b}，{w，w}}
18：{{w，b}，{w，b}}
19：{{w，b}，{w，w}}
20:{{w，w}，{w，w}}
4=1+3的整数分区为8个分区：
21：{{b}，{b，b，b}}
22：{{w}，{b，b，b}}
23：{{b}，{w，b，b}}
24：{{w}，{w，b，b}}
25：{{b}，{w，w，b}}
26：{{w}，{w，w，b}}
27：{{b}，{w，w，w}}
28：{{w}，{w，w，w}}
4=4的整数分区为5个分区：
29:｛｛b，b，b，b｝｝
30:{{w，b，b，b}}
31：{{w，w，b，b}}
32：{{宽，宽，宽}}
33：{{宽，宽，宽}}
一些人看到数字分区，其他人看到集合分区。。。
（结束）
从以下示例中可以明显看出阿洛伊斯·海因茨a（n）枚举了两类n个元素的多集合的多集合划分。在只有一种类型的情况下，这就简化为通常的数值分区情况。如果所有n个元素都是不同的，那么这就简化为集合分区的情况-迈克尔·索莫斯2015年3月9日
有一个（3）=14个平面分区，6个分区，迹线为3；共7条，记录道4；共8条，记录道5；等。见上述斯坦利练习7.99的公式-沃尔夫迪特·朗2015年3月9日
由2种颜色的3个对象组成的a（3）=14=4+6+4分区为：
对于3＝1+1+1的整数分区，有4个分区：
01:{{b}，{b}，{b{}}
02:{{b}，{b}，{w}}
03:{{b}、{w}、}
04:{{w}，{w}
整数分区3=1+2的6个分区：
05：{{b}，{b，b}}
06：{{w}，{b，b}}
07:{{b}，{w，b}}
08:{{w}，{w，b}}
09:{{b}，{w，w}}
10:{{w}，{w，w}}
整数分区3=3的4个分区：
11:{{b，b，b}}
12:{{w，b，b}}
13:{{w，w，b}}
14:{{w，w，w}}
由2种颜色的2个对象组成的a（2）=6=3+3分区为：
2=1+1的整数分区有3个分区：
01:{{b}，{b}}
02：｛｛b｝，｛w｝｝
03:{{w}，{w}}
2=2的整数分区有3个分区：
04:{{b，b}}
05：{{w，b}}
06:{{w，w}}
2种颜色的1个对象的a（1）=2分区为：
1=1的整数分区有2个分区：
01:{{b}}
02:{{w}}
a（0）=1：空分区，因为空和为0。
1: 2
2: 3, 3
3: 4, 6, 4
4: 5, 9, 6, 8, 5
5: 6, ?, ?, ?, ?, ?, 6
6: 7, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, 7
我们能找到一个递归关系吗？（结束）
MAPLE公司
mul（（1-x^i）^（-i-1），i=1..80）；系列（%，x，80）；系列列表（%）；
#第二个Maple项目：
带有（numtheory）：etr:=proc（p）local b；b： =proc（n）选项记忆；局部d，j；如果n=0，则1加（加（d*p（d），d=除数（j））*b（n-j），j=1..n）/n fi结束：a:=etr（n->n+1）：seq（a（n），n=0..40）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月8日
数学
etr[p_]：=模[{b}，b[n_]：=b[n]=模[}d，j}，如果[n==0，1，Sum[Sum[d*p[d]，{d，除数[j]}]*b[n-j]，{j，1，n}]/n]]；b] ；a=etr[#+1&]；表[a[n]，{n，0，40}](*Jean-François Alcover公司2015年11月23日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=波尔科夫（prod（i=1，n，（1-x^i+x*O（x^n））^-（i+1）），n）
G.f.：乘积{j>=1}1/（1-x^j）^二项式（j+4,4）。
+10
9
1, 5, 30, 145, 660, 2777, 11160, 42805, 158490, 568050, 1980607, 6735380, 22402610, 73022755, 233692345, 735350970, 2278153310, 6956560935, 20958613740, 62354061740, 183332498533, 533074229590, 1533842417185, 4369816273820, 12332669124455, 34495668855729
评论
一般来说，如果g.f=product_{j>=1}1/（1-x^j）^二项式（j+k-1，k-1），k>=1，则log（a（n））~（1+1/k）*k^（1/（k+1））*Zeta（k+1。
配方奶粉
G.f.：乘积_{j>=1}1/（1-x^j）^C（j+4,4）。
a（n）~Pi^（49/288）*exp（25/144-105*泽塔（3）/（8*Pi^2）+5*泽塔'（-3）/12+29299*泽塔*n（1/6）/（768*3（1/2））-2625*3（1/2）*7（1/6*7^（1/6）*泽塔（5）^2*n^（1/3）/（16*Pi^9）-47474375*3^ 69000*7^（1/3）*泽塔（5）^3*n^（1/3）/Pi^14+7^/Pi^9+45*7^（2/3）*Zeta（5）*n^=A074962号=1.2824271291…是Glaisher-Kinkelin常数，Zeta（3）=A002117号=1.202056903…，泽塔（5）=A013663号=1.036927755…和Zeta’（-3）=（（伽马+对数（2*Pi）-11/6）/30-3*Zeta‘（4）/Pi^4）/4=0.0053785763577743。
MAPLE公司
使用（numtheory）：
a： =proc（n）选项记忆；局部d，j`如果`（n=0，1，
加法（加法（d*二项式（d+4,4），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
序列（a（n），n=0..50）；#阿洛伊斯·海因茨之后
数学
nmax=50；系数列表[级数[积[1/（1-x^j）^二项式[j+4，4]，{j，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
1, 3, 12, 38, 117, 330, 906, 2367, 6027, 14873, 35892, 84657, 196018, 445746, 997962, 2201438, 4792005, 10300950, 21889368, 46012119, 95746284, 197344937, 403121547, 816501180, 1640549317, 3271188702, 6475456896, 12730032791, 24861111315, 48246729411, 93065426256
评论
a（n）也是具有3个颜色的n个节点的未标记简单图的数量，其分量是完全图。
n分为3类第1部分、6类第2部分、10类第3部分……的（整数）分区数。。。，（k+2）*（k+1）/2种k部分-乔格·阿恩特2014年12月7日
一般来说，g.f.1/prod（n>=1，（1-x^k）^m（k））给出了（整数）分区的数量，其中有m（k）种部分k-乔格·阿恩特2015年3月10日
链接
卡洛斯·A·弗洛伦蒂诺，完备指数演算与置换多项式，arXiv:2105.13049[math.CO]，2021。提到这个序列。
配方奶粉
G.f.：乘积{i>=1}1/（1-x^i）^二项式（i+2,2）。
3、6、10、15…的EULER变换。
一般来说，对于k个颜色的分区数，生成函数是Product_{i>=1}1/（1-x^i）^二项式（i+k-1，k-1）。
a（n）~Pi^（1/8）*exp（1/8+3^4*5^2*泽塔（3）^3/（2*Pi^8）-31*泽塔/2）*泽塔（3）*n^（1/2）/（2^（1/2）*Pi^2）+2^（7/4）*Pi*n^（3/4）/（3^（5/4）*5^（1/4）））/（a^（3/2）*2^=A074962号=1.2824271291…是Glaisher-Kinkelin常数和Zeta（3）=A002117号= 1.202056903... . -瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月8日
例子
我们将n的分区中的每个和k表示为k个相同的对象。然后我们给每个物体上色。我们不考虑彩色物体的顺序。
a（2）=12，因为我们有：ww；wg；wb；gg；国标；bb；w+w；w+g；w+b；g+g；g+b；b+b，其中3种颜色为白色w、灰色g和黑色b。
MAPLE公司
使用（numtheory）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
d*二项式（d+2,2），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
数学
nn=30；p=乘积[1/（1-x^i）^二项式[i+2,2]，{i，1，nn}]；系数列表[系列[p，{x，0，nn}]，x]
G.f.：乘积{j>=1}1/（1-x^j）^二项式（j+3,3）。
+10
8
1, 4, 20, 80, 305, 1072, 3622, 11676, 36450, 110240, 324936, 935076, 2635338, 7285560, 19795370, 52930360, 139462956, 362471020, 930186694, 2358867240, 5915606398, 14680528648, 36073675792, 87816701332, 211891552280, 506981067168, 1203337174120, 2834401172172
配方奶粉
G.f.：产品{j>=1}1/（1-x^j）^C（j+3,3）。
a（n）~泽塔（5）^（829/3600）*exp（11/72-泽塔（3）/（4*Pi^2）+泽塔'（-3）/6-121*Zeta（3）^2/（360*Zeta（2/5）*泽塔（5）^（1/5））-11*皮^4*泽塔^（11/5））+11*泽塔（3）*n^（2/5）/（6*2^（4/5）*泽塔）/（A^（11/6）*2^（971/1800）*5^（1/2）*Pi*n^（2629/3600）），其中A=A074962号=1.2824271291…是Glaisher-Kinkelin常数，Zeta（3）=A002117号=1.202056903…，泽塔（5）=A013663号=1.036927755…和Zeta’（-3）=（（伽马+对数（2*Pi）-11/6）/30-3*Zeta‘（4）/Pi^4）/4=0.0053785763577743。
MAPLE公司
使用（numtheory）：
a： =proc（n）选项记忆；局部d，j`如果`（n=0，1，
加法（加法（d*二项式（d+3,3），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
序列号（a（n），n=0..50）；#阿洛伊斯·海因茨之后
数学
nmax=50；系数列表[级数[积[1/（1-x^j）^二项式[j+3，3]，{j，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
1, 1, 6, 38, 305, 2777, 28784, 330262, 4152852, 56601345, 829656124, 12992213830, 216182349617, 3804599096781, 70540645679070, 1373192662197632, 27982783451615363, 595355578447896291, 13193917702518844859, 303931339674133588444, 7263814501407389465610
评论
对于n的每个整数分区，将大小k的每个部分视为一个盒子，其中包含k个颜色最多为n的球。零件之间的顺序，尤其是相同尺寸的零件之间的次序并不重要-奥利维尔·杰拉德2016年8月26日
配方奶粉
a（n）=[x^n]乘积{k>=1}1/（1-x^k）^二项式（k+n-1，n-1）-伊利亚·古特科夫斯基2021年5月9日
例子
第一个术语的插图，按零件数量、零件尺寸和零件最小颜色等排序。
:
a（1）=1：
{{1}}:
a（2）=6=3+3:
{{1,1}},{{1,2}},{{2,2}},
{{1},{1}},{{1},{2}},{{2},{2}}
:
a（3）=38=10+18+10：
{{1,1,1}},{{1,1,2}},{{1,1,3}},{{1,2,2}},{{1,2,3}},{{1,3,3}},
{{2,2,2}},{{2,2,3}},{{2,3,3}},{{3,3,3}},
{{1},{1,1}},{{1},{1,2}},{{1},{1,3}},{{1},{2,2}},{{1},{2,3}},{{1},{3,3}},
{{2},{1,1}},{{2},{1,2}},{{2},{1,3}},{{2},{2,2}},{{2},{2,3}},{{2},{3,3}},
{{3},{1,1}},{{3},{1,2}},{{3},{1,3}},{{3},{2,2}},{{3},{2,3}},{{3},{3,3}},
{{1},{1},{1}},{{1},{1},{2}},{{1},{1},{3}},{{1},{2},{2}},{{1},{2},{3}},{{1},{3},{3}},
{{2},{2},{2}},{{2},{2},{3}},{{2},{3},{3}},{{3},{3},{3}}}}
MAPLE公司
使用（numtheory）：
A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add（d*
二项式（d+k-1，k-1），d=除数（j）*A（n-j，k），j=1..n）/n）
结束：
a： =n->a（n，n）：
数学
A[n_，k_]：=A[n，k]=如果[n==0，1，Sum[Sum[d*二项式[d+k-1，k-1]，{d，除数[j]}]*A[n-j，k]，{j，1，n}]/n]；a[n_]：=a[n，n]；表[a[n]，{n，0，20}](*Jean-François Alcover公司，2015年11月11日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
囊性纤维变性。A209668型（盒子是按大小排序的，而不是按给定大小中的内容排序：大小相同的盒子之间的顺序很重要。），
1, 6, 42, 238, 1260, 6174, 28784, 128046, 548832, 2275372, 9166311, 35987028, 138069505, 518758758, 1912300908, 6926911674, 24688892511, 86685575466, 300137463682, 1025683381758, 3462381505989, 11553577667100, 38134513479591, 124575624677088, 402986660479024
配方奶粉
G.f.：产品{j>=1}1/（1-x^j）^C（j+5,5）。
MAPLE公司
使用（numtheory）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，add（add(
d*二项式（d+5,5），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
seq（a（n），n=0..30）；
1, 7, 56, 364, 2198, 12292, 65240, 330262, 1608866, 7575967, 34636896, 154235319, 670752411, 2855122319, 11917598512, 48858820584, 197008297955, 782223365518, 3061514606822, 11822306812232, 45080137355687, 169865159676365, 632916329409504, 2333298558227399
配方奶粉
G.f.：产品{j>=1}1/（1-x^j）^C（j+6,6）。
MAPLE公司
使用（numtheory）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
d*二项式（d+6,6），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
seq（a（n），n=0..30）；
1, 8, 72, 528, 3582, 22512, 134040, 760896, 4152852, 21897408, 112037852, 558049096, 2713386758, 12907891432, 60190937724, 275575683576, 1240483837374, 5496780654912, 24002417723284, 103380586347376, 439565299059250, 1846430027348704, 7667597264015436
配方奶粉
G.f.：产品{j>=1}1/（1-x^j）^C（j+7,7）。
MAPLE公司
使用（numtheory）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
d*二项式（d+7,7），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
seq（a（n），n=0..30）；
1, 9, 90, 735, 5535, 38619, 254949, 1604007, 9696150, 56601345, 320465367, 1765647477, 9492925152, 49918029894, 257225030010, 1301005101360, 6467982571350, 31645832177880, 152542319368640, 725110153435170, 3401929848645540, 15764621508983883, 72206209735787754
配方奶粉
G.f.：产品{j>=1}1/（1-x^j）^C（j+8,8）。
MAPLE公司
使用（numtheory）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
d*二项式（d+8,8），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
seq（a（n），n=0..30）；
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