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四分之一正方形:a(n)=地板(n/2)*天花板(n/2)。等效地,a(n)=楼层(n^2/4)。 (原名M0998 N0374)
+10 486
0, 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182, 196, 210, 225, 240, 256, 272, 289, 306, 324, 342, 361, 380, 400, 420, 441, 462, 484, 506, 529, 552, 576, 600, 625, 650, 676, 702, 729, 756, 784, 812
评论
b(n)=a(n+2)是在2个节点上有n条边的循环的多重图的数目[因此,b(n)的g.f.是1/((1-x)^2*(1-x^2))]。n个集合的2-覆盖数;也就是在行和列置换之前没有零列的2Xn二进制矩阵的数量-弗拉德塔·乔沃维奇2000年6月8日
a(n)也是n个顶点的无三角图可以具有的最大边数。对于n=2m,最大值由二部图K(m,m)实现;对于n=2m+1,最大值由二部图K(m,m+1)实现Avi Peretz(njk(AT)netvision.net.il),2001年3月18日
a(n)是3项的算术级数和可以从前n个自然数(从1开始)的集合中提取的任何平均数-桑蒂·斯帕达罗2001年7月13日
这也是Coxeter群A_{n-1}(对称群S_n)上(强)Bruhat序的序维数Nathan Reading(Reading(AT)math.umn.edu),2002年3月7日
设M_n表示n×n矩阵M(i,j)=2,如果i=j;如果(i+j)是偶数,则m(i,j)=1;m(i,j)=0,如果i+j是奇数,那么a(n+2)=det m_n-贝诺伊特·克洛伊特2002年6月19日
此外,从标准国际象棋的起始位置开始,相同颜色的棋子在同一个文件(列)中放置n个棋子的最少捕获次数。除第(6)项外,假定可用于捕获的棋盘和棋子数量足够大,以完成此任务-里克·L·谢泼德2002年9月17日
例如,a(2)=1和一次俘获可以产生“双倍兵”,a(3)=2和两次俘获足以产生三倍兵,等等(当然,为了在给定文件上放置三个或更多兵,还需要从起始位置开始进行其他未计算的非俘获兵移动。)-里克·L·谢泼德2002年9月17日
a(n+1)给出了n的非对称分区数,最多分为3部分,其中零用作填充。例如,a(6)=12,因为我们可以写5=5+0+0=0+5+0=4+1+0=1+0+4=3+2+0=2+3+0=2+2+2+1-乔恩·佩里2003年7月8日
a(n-1)给出了大于1的不同元素的数量,将n的非对称划分为最多3个部分,中间出现零作为填充。例如,5=5+0+0=0+5+0=4+1+0=1+4+0=1+0+0=1+0+4=3+2+0=2+3+0=2+0+3=2+2+1+2=2+1+1。其中,050140320230221131符合条件,a(4)=6-乔恩·佩里2003年7月8日
n阶拉丁方中最小临界集的推测大小(n≤8为真)-理查德·波恩,2003年6月12日和2003年11月18日
当K_n上的边可以以任何方式指定方向时,a(n)给出了完整图K_n的最大笔划数。“笔划”是有向图上的局部最大有向路径。示例:n=3,可以存在两个笔划,“x->y->z”和“x->z”,因此a(3)=2。n=4,存在四个最大冲程,即“u->x->z”和“u->y”以及“u-+z”和”x->y->z”,因此a(4)=4-Yasutoshi Kohmoto公司2003年12月20日
半长n+1且具有三个峰值的对称Dyck路径数。例如,a(4)=4,因为我们有U*DUU*DDDU*D、UU*DUU*DDU*DDD、UU*DDU*DUU*DD和UUU*DU*DDD,其中U=(1,1)、D=(1、-1)和*表示峰值-Emeric Deutsch公司2004年1月12日
形式为j+k<n+1的有效不等式的数量,其中j和k是正整数,j<=k,n>=0-里克·L·谢泼德2004年2月27日
此外,秩为2.-的非同构横向组合几何的个数Alexandr S.Radionov(rasmailru(AT)mail.ru),2004年6月2日
a(n+1)是n在Riordan数组(1/(1-x^2),x)下的变换-保罗·巴里2005年4月16日
1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, ... 指定您在“圣诞节的十二天”歌曲中第n天收到的任何礼物的最大份数。例如,在圣诞节的第五天,你有9只法国母鸡-阿隆索·德尔·阿特2005年6月17日
a(n+1)是具有最大边n的非相合整数边三角形的数目-大卫·W·威尔逊[评论于2006年9月26日更正]
由于所有整数n,m的n*m=A(n+m)-A(n-m),因此可以使用四分之一表对整数进行乘法运算-迈克尔·索莫斯2006年10月29日
序列是n阶拉丁方中最小强临界集的大小。-G.H.J.van Rees(vanrees(AT)cs.umanitoba.ca),2007年2月16日
周长为2n的多边形中的最大正方形数(最大面积)-塔尼亚·霍瓦诺娃2007年7月4日
对于n>=3,a(n-1)是带有n+3个珠子的手镯数量,其中2个是红色的,1个是蓝色的-华盛顿·邦菲姆2008年7月26日
a(n)给出了维数n的对称群S_3的非同构忠实表示的个数。S_3的任何忠实表示必须包含至少一个二维不可逆的副本,以及两个一维不可逆的任何组合-安德鲁·鲁宾斯基2011年1月20日
a(n+2)给出了改变“c”分的方法,让n=floor(c/5)来解释任务的5个重复性质,只使用便士、五分镍币和一角硬币(参见A187243号). -亚当·萨森2011年3月7日
a(n)是奇偶校验与n相反的正整数<n的和。
从序列中删除第一个0将导致序列b=0、1、2、4。。。这样,b(n)是与n具有相同奇偶校验的正整数<=n的和-彼得·卢什尼2011年7月6日
a(n-2)给出了具有n个顶点和n个区域的不同图的数量-埃里克·哈斯2011年10月18日
构造帕斯卡三角形的第n行(A007318号)从前一行开始,从行0=1开始。a(n)计算以这种方式计算三角形到第n行所需的加法总数,限制条件是复制一个项不算加法,并且帕斯卡三角形对称性不需要的所有加法都被复制项取代-道格拉斯·拉蒂默2012年3月5日
a(n)是n+1划分为正好2个部分的部分的正差之和-韦斯利·伊万·赫特2013年1月27日
a(n)是n元分次偏序集中可能的覆盖关系的最大数目。对于n=2m,这个界限是由两组m元素构成的偏序集实现的,“上”集中的每个点覆盖“下”集中的每一个点。对于n=2m+1,这个界限是通过上集中有m个节点的偏序集来实现的,该偏序集覆盖了下集中m+1个节点中的每个节点-本·布兰曼2013年3月26日
a(n+2)是n分为2类1和1类2的(整数)分区数-乔格·阿恩特,2013年5月17日
对于任意给定的素数p,有无穷多个a(n)可以被p整除,其中a(n”)出现在给定p的三个等距簇中,分别是a(n;a(2m*p+1)/p=p*m^2;a(2m*p+2)/p=p*m^2+m。集群之间的a(n)实例数为2*p-3-理查德·福伯格2013年6月9日
除了初始项之外,这是Stange符号中的椭圆麻烦制造序列R_n(1,2)(见表1,第16页)。对于其他椭圆麻烦制造序列R_n(a,b),请参阅下面的交叉引用-彼得·巴拉2013年8月8日
a(n+1)是序列的最小长度(不一定是不同项),该序列保证存在长度为n的(不一定连续)子序列,其中类似项连续出现。这也是有序集S的最小基数,它确保给定S的任何分区,都会有S的子集T,从而T上的诱导子分区避免了模式ac/b,其中a<b<c-埃里克·戈特利布2014年3月5日
此外,列表1..n+1中的元素数,对于任意两个元素{x,y},整数(x+y)/2位于范围]x,y[-罗伯特·威尔逊v2014年5月22日
以x≤n,0≤y≤x/2为边界的坐标平面区域内的晶格点数量(x,y)。对于a(11)=30,在下面的区域中正好有30个格点:
6| .
.| . |
5| .__+__+
.| . | | |
4| .__+__+__+__+
.| . | | | | |
3| .__+__+__+__+__+__+
.| . | | | | | | |
2| .__+__+__+__+__+__+__+__+
.| . | | | | | | | | |
1| .__+__+__+__+__+__+__+__+__+__+
.|. | | | | | | | | | | |
0|.__+__+__+__+__+__+__+__+__+__+__+_________
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 .. n个
0 0 1 2 4 6 9 12 16 20 25 30 .. a(n)-韦斯利·伊万·赫特2014年10月26日
a(n+1)是最大整数k,其中存在非负整数的n x n矩阵M,每行和每列的总和为k,因此不存在M的n个条目,所有条目都大于1,并且在同一行或同一列中不存在这两个条目-施瑞德2014年11月19日
在对于行k=1、2、…的具有行长度k的三角形形状T_N的平铺中。。。,N>=1(或者,对于行k,行长度N=1-k)具有矩形瓷砖,可以出现(N+1)类型的矩形(i,j),N>=i>=j>=1,以及通过交换i和j获得的换位形状)。参见上面2004年2月27日的评论里克·L·谢泼德。调查这一问题的动机来自于基瓦尔·Ngaokrajang在里面A247139号. -沃尔夫迪特·朗2014年12月9日
a(n+1)给出了n×n矩阵的最大独立元素数,该矩阵是对称的(主对角线为w.r.t),而对称的w.r.t.是主对角线上的。这种矩阵称为双对称矩阵。请参阅维基百科链接-沃尔夫迪特·朗2015年7月7日
a(n)是长度为3的2n+1的分区数,正好有两个偶数项(参见下面的示例)-约翰·M·坎贝尔2016年1月29日
a(n)是所有长度为n的01-避免二进制单词的不对称度之和。有限数字序列的不对称度定义为对称定位的不同条目对的数量。a(6)=9,因为长度6的01-避免二进制字是000000、100000、110000、111000、111100、111110和111111,并且它们的不对称度之和是0+1+2+3+2+1+0=9。等价地,a(n)=Sum_{k>=0}k*A275437型(n,k)-Emeric Deutsch公司2016年8月15日
a(n)是将区间[3,n+1]中的所有整数表示为两个不同自然数之和的方法数。例如,a(7)=12,因为有12种不同的方法将区间[3,8]中的所有数字表示为两个不同部分的总和:1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7,1+7=8,2+3=5,2+4=6,2+5=7,2+6=8,3+4=7,3+4=7,3+5=8-安东·扎哈罗夫2016年8月24日
a(n+2)是超八面体群C_2环S_n中对合(将恒等式视为对合)的共轭类数-马克·威尔顿2017年4月22日
a(n+2)是一个比萨饼的最大块数,可以用n个平行或垂直的切块来制作-安东·扎哈罗夫2017年5月11日
对W.Mantel提出的一个问题的回答是:a(n)是n顶点无三角图中的最大边数。同样由H.Gouwentak、J.Teixeira de Mattes、F.Schuh和W.A.Wythoff求解-查尔斯·格里特豪斯四世2018年2月1日
周长为2n且边长为整数的矩形的最大面积-安德烈·恩格斯2018年7月29日
同时给出了完全二部图K_{3,n+1}的交叉数-埃里克·韦斯特因2018年9月11日
a(n+2)是具有特定主等位基因的双等位基因座上n个二倍体个体样本可能的不同基因型频率向量的数量。这些载体是n_AA+n_AB+n_BB=n和n_AA>=n_BB的非负基因型频率列表(n_AA、n_AB、n_BB)-诺亚·A·罗森博格2019年2月5日
a(n+2)是正交n×n矩阵的不同实谱(根据其重数重复的特征值)的数目。空谱列表的情况在逻辑上被视为这些可能性之一,当它存在时。因此,a(n+2)是O(n)中元素的不同约化形式(在实场上,以正交基)的数量-克里斯蒂安·德万兹2019年2月13日
a(n)是通过在n+4个顶点上的路径上添加一条边可以创建的非同构非对称图的数量Emma Farnsworth、Natalie Gomez、Herlandt Lino和达伦·纳拉扬2019年7月3日
a(n+1)是最大边长n的整数三角形数-詹姆斯·伊斯特,2019年10月30日
a(n)是{1,2,…,n}的非空子集的数目,它们正好包含一个奇数和一个偶数。例如,对于n=7,a(7)=12,这12个子集是{1,2}、{1,4}、}1,6}、[2]、3}、2,5}、[2,7}、[3,4},{3,6},[4,5},[2,7]、[5,6}]、[6,7}]-恩里克·纳瓦雷特,2019年12月16日
a(n+1)也是Saind序列(wn){n>=1}的第n项,即,随着n的增加,由与Saind数组相关联的度序列的队列条目引起的无限序列-朱利亚·帕尔马2020年6月24日
除了前两项外,a(n)还列举了与Hermite多项式和Heisenberg-Weyl代数相关的微分算子(x+d/dx)^m展开式中不同正规序项的数量。它还列举了与cos(x+y)和sin(x+y)级数的部分和相对应的二元多项式中不同单项式的数目。囊性纤维变性。A344678型. -汤姆·科普兰2021年5月27日
a(n)是负乘积ai*aj(1<=i<=j<=n)的最大个数,其中所有ai都是实数-Logan管道2021年7月8日
a(n)是n-1阶图的色数与其补数的最大乘积。Finck(1968)和Bickle(2023)的论文对极值图进行了描述。
a(n)是n+1阶图的简并及其补图的最大乘积。Bickle(2012)的论文中描述了极值图。(结束)
a(n)是最大数量m,使得m辆白车和m辆黑车可以在n-1 X n-1棋盘上共存而不相互攻击-亚伦·汗2022年7月13日
a(n)是231个避免大小为n的奇数格拉斯曼置换的数目-胡安·吉尔2023年3月10日
a(n)是满足n+x+y>=0,25*n+x-11*y>=0,25*n-11*x+y>=0,n+x+y==0(mod 12),25*n+x-11*y==0。对于n=2,唯一的解是(x,y)=(0,0),因此a(2)=1。对于n=3,a(3)=2解是(-3,2)和(2,-3)-杰弗里·奥波库2024年2月16日
让我们考虑顶点是直角三角形边上三个正方形中心的三角形。a(n)是这些三角形面积的整数部分,不重复,按升序排列。请参阅链接中的插图-尼古拉·阿维洛夫2024年8月5日
参考文献
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链接
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西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年;
配方奶粉
a(n)=(2*n^2-1+(-1)^n)/8-保罗·巴里2003年5月27日
G.f.:x^2/((1-x)^2*(1-x^2))=x^2/((1+x)*(1-x)^3)-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中,前导零掉了
例如:exp(x)*(2*x^2+2*x-1)/8+exp(-x)/8。
a(n)=2*a(n-1)-2*a(n-3)+a(n-4)-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月5日
对于Z中的所有n,a(-n)=a(n)。
a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)+1[其中a(-1)=a-亨利·博托姆利2000年3月8日
0*0, 0*1, 1*1, 1*2, 2*2, 2*3, 3*3, 3*4, ... 具有明显的模式。
a(n)=总和{k=1..n}层(k/2).-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2001年3月10日
a(n)=n*楼层((n-1)/2)-楼层((n-1)/2;a(n)=a(n-2)+n-2,a(1)=0,a(2)=0-桑蒂·斯帕达罗2001年7月13日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*C(k,2)-保罗·巴里2003年7月1日
a(n)=(-1)^n*交替三角形数的部分和-乔恩·佩里2003年12月30日
a(n)=a(n-2)+n-1,n>1-保罗·巴里,2004年7月14日
a(n+1)=和{i=0..n}分(i,n-i)-马克·勒布伦2005年2月15日
a(n+1)=和{k=0..层((n-1)/2)}n-2k;a(n+1)=和{k=0..n}k*(1-(-1)^(n+k-1))/2-保罗·巴里2005年4月16日
1+1/(1+2/(1+4/(1+6/(1+9/(1+12/(1+…))))=6/(Pi^2-6)=1.550546096730-菲利普·德尔汉姆2005年6月20日
对于n>2 a(n)=a(n-1)+天花板(sqrt(a(n-1)))-乔纳森·沃斯邮报2006年1月19日
a(n)=Sum_{i=k.n}P(i,k)其中P(i、k)是i分成k个部分的分区数-托马斯·维德2007年9月1日
对于n>1:gcd(a(n+1),a(n))=a(n+1)-a(n)-莱因哈德·祖姆凯勒,2008年4月6日
a(n)=圆形((2*n^2-1)/8)=圆形-米尔恰·梅卡2010年11月29日
a(n)=楼层(b(n)),其中b(n)=b(n-1)+n/(1+e^(1/n))和b(0)=0-理查德·福伯格,2013年6月8日
a(n)=总和{i=1..层((n+1)/2)}(n+1”)-2i-韦斯利·伊万·赫特2013年6月9日
a(n)=地板((n+2)/2-1)*(地板((n+2)/2)-1+(n+2)模块2)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月9日
经验:a(n-1)=楼层(n/(e^(4/n)-1))-理查德·福伯格2013年7月24日
对于所有整数n,0=a(n)*a(n+2)+a(n+1)*(-2*a(n+2)+a(n+3))-迈克尔·索莫斯2014年11月22日
a(n)=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限((i+j-n-1)/2)-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
a(n)=楼层(n/2)*楼层((n+1)/2)-布鲁诺·贝塞利2017年6月8日
a(n)=a(n-3)+楼层(3*n/2)-2-宇春记2020年8月14日
Sum_{n>=2}(-1)^n/a(n)=Pi^2/6-1-阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月10日
例子
a(3)=2,地板(3/2)*天花板(3/2。
【n】a(n)
---------
[ 2] 1
[ 3] 2
[ 4] 1 + 3
[ 5] 2 + 4
[ 6] 1 + 3 + 5
[ 7] 2 + 4 + 6
[ 8] 1 + 3 + 5 + 7
[ 9] 2 + 4 + 6 + 8
三角形T_N,N>=1与矩形的平铺:
N=5,N=6:a(6)=9,因为所有使用的矩形(i,j)(模转置,即i和j的互换)都是:
(5, 1) ; (1, 1)
(4, 2), (4, 1) ; (2, 2), (2, 1)
; (3, 3), (3, 2), (3, 1)
即(1+1)+(2+2)+3=9=a(6)。1,1,2,2,3,…的部分和。。。(A004526号). (结束)
双对称矩阵B:2X2,a(3)=2来自B[1,1]和B[1,2]。从B[1,1]、B[1,2]、B[1,1,3]和B[2,2]得到3 X 3,a(4)=4-沃尔夫迪特·朗2015年7月7日
设n=5,则有a(n)=a(5)=6个分区,2n+1=11,长度为3,正好有两个偶数项:
(8,2,1)|-2n+1
(7,2,2)|-2n+1
(6,4,1)|-2n+1
(6,3,2)|-2n+1
(5,4,2)|-2n+1
(4,4,3)|-2n+1
(结束)
用于棋盘上的车时的顺序示例:
.
说明A(5)=4的解决方案:
+---------+
|B B|
|B B|
| . . 宽-宽|
| . . 宽-宽|
+---------+
.
说明A(6)=6的解决方案:
+-----------+
|B B|
|B B|
|B B|
| . . 宽宽宽|
| . . 宽宽宽|
+-----------+
(结束)
MAPLE公司
A002620型:=n->楼层(n^2/4);G002620:=系列(x^2/((1-x)^2*(1-x^2)),x,60);
with(combstruct):ZL:=[st,{st=Prod(left,right),left=Set(U,card=r),right=Set(U,card<r),U=Sequence(Z,card>=1)},unlabeled]:subs(r=1,stack):seq(count(subs(r(r=2,ZL),size=m),m=0..57)#零入侵拉霍斯2007年3月9日
数学
桌子[天花板[n/2]地板[n/2]{n,0,56}](*罗伯特·威尔逊v,2005年6月18日*)
线性递归[{2,0,-2,1},{0,0,1,2},60](*哈维·P·戴尔2012年10月5日*)
表[楼层[n^2/4],{n,0,20}](*埃里克·韦斯特因2018年9月11日*)
系数列表[级数[-(x^2/((-1+x)^3(1+x))),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2018年9月11日*)
表[楼层[n^2/2]/2,{n,0,56}](*克拉克·金伯利2021年12月5日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[地面(n/2)*天花板(n/2;
(PARI)a(n)=n^2\4
(PARI)(t(n)=n*(n+1)/2);对于(i=1,50,打印1(“,”,(-1)^i*sum(k=1,i,(-1)^k*t(k)))
(PARI)x='x+O('x^100);concat([0,0],Vec(x^2/((1-x)^2*(1-x^2)))\\阿尔图·阿尔坎2015年10月15日
(哈斯克尔)
(Maxima)制作清单(楼层(n^2/4),n,0,50)/*马丁·埃特尔2012年10月17日*/
(鼠尾草)
x、 y=0,1
收益率x
为true时:
收益率x
x、 y=x+y,x//y+1
(GAP)#使用Paul Barry的公式
(Python)
交叉参考
囊性纤维变性。A024206号,A072280号,A002984号,A007590美元,A000212号,A118015号,A056827美元,A118013号,A128174号,A000601号,A115514号,A189151号,A063657号,A171608型,A005044号,A030179号,A275437型,A004526号.
椭圆麻烦制造者序列:A000212号(=R_n(1,3)=R_n(2,3)),A007590号(=R_n(2,4)),A030511型(=R_n(2,6)=R_n(4,6)),A033436号(=R_n(1,4)=R_n(3,4)),A033437号(=雷诺(1,5)=雷诺(4,5)),A033438号(=R_n(1,6)=R_n(5,6)),A033439号(=R_n(1,7)=R_n(6,7)),A184535号(=R_n(2,5)=R_n(3,5))。
三角形由a(n+1,k)=a(n,k-1)+a(n-1,k),a(n、1)=1,a(1,k。
+10 14
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 1, 4, 7, 11, 12, 13, 1, 4, 10, 14, 19, 20, 21, 1, 5, 11, 21, 26, 32, 33, 34, 1, 5, 15, 25, 40, 46, 53, 54, 55, 1, 6, 16, 36, 51, 72, 79, 87, 88, 89
例子
矩阵(10,10,n,k,a(n-1,k-1))
[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
[ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ]
[ 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 ]
[ 0 1 3 4 5 5 5 5 5 5 ]
[ 0 1 3 6 7 8 8 8 8 8 ]
数学
a[n,k]:=a[n、k]=a[n-1,k-1]+a[n-2,k];a[n,1]=1;a[1,k_]=1;a[2,k_]:=最小值[2],k];表[a[n,k],{n,1,10},{k,1,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司,2013年2月26日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n,k)=如果(n<=0||k<=0,0,if(n<=2||k==1,min(n,k),a(n-1,k-1)+a(n-2,k))
交叉参考
列包括A008619号和(本质上)A055802号,A055803号,A055804号,A055805号,A055806号.右侧列1-14为A000045号,A000071号,A001911年,A001924号,A001891号,A014162号,A053808号,A014166号,A053809号,A053739号,A054469号,A053295号,A054470号,A053296号.
1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 16, 21, 22, 28, 29, 36, 37, 45, 46, 55, 56, 66, 67, 78, 79, 91, 92, 105, 106, 120, 121, 136, 137, 153, 154, 171, 172, 190, 191, 210, 211, 231, 232, 253, 254, 276, 277, 300, 301, 325, 326, 351, 352, 378, 379, 406, 407, 435
配方奶粉
通用格式:x^2*(1-2*x^2+x^3+2*x^4-x^5)/(1-x)^3*(1+x)^2)。
当n>2时,a(n)=(2*n^2+2*(-1)^n*n-6*n-11*(-1)^n+11)/16。
a(n)=(n^2-2*n)/8,对于n>2甚至偶数。
a(n)=(n^2-4*n+11)/8表示n奇数。(结束)
例如:(4*x*(x-2)+x*(x3)*cosh(x)+(x^2-x+11)*sinh(x))/8-G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
MAPLE公司
seq(`if`(n==2,1,(2*n^2-6*n+11+(-1)^n*(2*n-11))/16),n=2..65)#G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
数学
系数列表[级数[(1-2*x^2+x^3+2*xs^4-x^5)/(1-x)^3*(1+x)^2),{x,0,65}],x](*韦斯利·伊万·赫特2017年1月20日*)
表[如果[n==2,1,(2*n^2-6*n+11+(-1)^n*(2*n-11))/16],{n,2,65}](*G.C.格鲁贝尔2020年1月23日*)
黄体脂酮素
(PARI)Vec(x^2*(1-2*x^2+x^3+2*x^4-x^5)/(1-x)^3*(1+x)^2)+O(x^65)\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月3日
(PARI)向量(65,n,my(m=n+1));如果(m==2,1,(2*m^2-6*m+11+(-1)^m*(2*m-11))/16))\\G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
(岩浆)[1]猫[(2*n^2-6*n+11+(-1)^n*(2*n-11)))/16:n in[3..65]]//G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
(鼠尾草)[1]+[(2*n^2-6*n+11+(-1)^n*(2*n-11))/16代表(3..65)中的n]#G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
(GAP)级联([1],列表([3..65],n->(2*n^2-6*n+11+(-1)^n*(2*n-11))/16))#G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
按行读取的三角形T:对于1<=j<=i-1,T(i,0)=T(i,i)=1,T(i,j)=Sum_{k=1.floor(n/2)}T(i-2k,j-2k+1),其中T(m,n):如果m<0或n<0,则为=0。
+10 7
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 6, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 10, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 14, 11, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 19, 21, 15, 6, 1
评论
T(i+j,j)是字符串数(s(1),。。。,非负整数s(k)的s(m)),使得m<=i+1,s(m,。。。,米。
T(i+j,j)是小于等于j的数的组成数,最多使用i个部分,每个部分为奇数正整数。
例子
排:
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
1 1 1 2 2 1
1 1 1 2 3 3 1
1 1 1 2 3 4 3 1
1 1 1 2 3 5 6 4 1
1 1 1 2 3 5 7 7 4 1
1 1 1 2 3 5 8 11 10 5 1
1 1 1 2 3 5 8 12 14 11 5 1
1 1 1 2 3 5 8 13 19 21 15 6 1
1 1 1 2 3 5 8 13 20 26 25 16 6 1
1 1 1 2 3 5 8 13 21 32 40 36 21 7 1
1 1 1 2 3 5 8 13 21 33 46 51 41 22 7 1
T(9,6)计算字符串3456、1236、1256、1456、036、016、056。
T(9,6)计算成分111、113、131、311、33、15、51。
MAPLE公司
如果j=0或j=i,则为1;
elif i<0或j<0,则为0;
否则添加(进程名(i-2*k,j-2*k+1),k=1..楼层(i/2));
结束条件:;
结束进程:
数学
T[n_,k_]:=T[n,k]=如果[n<0|k<0,0,如果[k==0|k==n,1,总和[T[n-2*j,k-2*j+1],{j,Floor[n/2]}]];表[T[n,k],{n,0,15},{k,0,n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2020年1月23日*)
黄体脂酮素
(PARI)T(n,k)=如果(n<0||k<0,0,if(k==0||k==n,1,和(j=1,n\2,T(n-2*j,k-2*j+1)));
对于(n=0,15,对于(k=0,n,print1(T(n,k),“,”))\\G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
(岩浆)
函数T(n,k)
如果n lt 0或k lt 0,则返回0;
elif k eq 0或k eq n,然后返回1;
否则返回(&+[T(n-2*j,k-2*j+1):j in[1..Floor(n/2)]]);
结束if;返回T;端函数;
[T(n,k):[0..n]中的k,[0..15]]中的n//G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
(鼠尾草)
@缓存函数
定义T(n,k):
如果(n<0或k<0):返回0
elif(k==0或k==n):返回1
else:(1.floor(n/2))中j的返回和(T(n-2*j,k-2*j+1))
[T(n,k)代表k in(0..n)]代表n in(0..15)]#G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
(间隙)
T: =函数(n,k)
如果n<0或k<0,则返回0;
elif k=0或k=n,则返回1;
否则返回总和([1..Int(n/2)],j->T(n-2*j,k-2*j+1));
fi;结束;
平面(列表([0..15],n->List([0..n],k->T(n,k)))#G.C.格鲁贝尔2020年1月23日
交叉参考
无限多的列是(1,1,2,3,5,8,…,斐波那契数)
1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 19, 26, 40, 51, 76, 92, 133, 155, 218, 247, 339, 376, 505, 551, 726, 782, 1013, 1080, 1378, 1457, 1834, 1926, 2395, 2501, 3076, 3197, 3893, 4030, 4863, 5017, 6004, 6176, 7335, 7526, 8876, 9087
配方奶粉
总尺寸:x^4*(-1+4*x^2-x^3-7*x^4+2*x^5+5*x^6-2*x^7-2*x*^8+x^9)/(1-x)^5(1+x)^4)-R.J.马塔尔2012年7月10日
a(n)=(2*n^4-28*n^3+178*n^2-416*n+441+(-1)^n*(4*n^3-90*n^2+704*n-1977))/768,对于n>4,a(4)=1。
例如:((768-768*x+192*x^2-64*x^3+16*x^4)+(-768-441*x+15*x^2-10*x^3+x^4。(结束)
MAPLE公司
seq(`if`(n=4,1,(2*n^4-28*n^3+178*n^2-416*n+441+(-1)^n*(4*n^3-90*n^2+704*n-1977))/768),n=4..50)#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
数学
表[如果[n==4,1,(2*n^4-28*n^3+178*n^2-416*n+441+(-1)^n*(4*n^3-90*n^2+704*n-1977))/768],{n,4,50}](*G.C.格鲁贝尔2020年1月24日*)
黄体脂酮素
(PARI)向量(50,n,my(m=n+3);如果(m==4,1,(2*m^4-28*m^3+178*m^2-416*m+441+(-1)^m*(4*m^3-90*m^2+704*m-1977))/768))\\G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(岩浆)[1]猫[(2*n^4-28*n^3+178*n^2-416*n+441+(-1)^n*(4*n^3-90*n^2+704*n-1977))/768:n in[5..50]]//G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(鼠尾草)[1]+[(2*n^4-28*n^3+178*n^2-416*n+441+(-1)^n*(4*n^3-90*n^2+704*n-1977))/768代表n in(5..50)]#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(GAP)级联([1],列表([5..50],n->(2*n^4-28*n^3+178*n^2-416*n+441+(-1)^n*(4*n^3-90*n^2+704*n-1977))/768)#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 20, 32, 46, 72, 97, 148, 189, 281, 344, 499, 591, 838, 967, 1343, 1518, 2069, 2300, 3082, 3380, 4460, 4837, 6294, 6763, 8689, 9264, 11765, 12461, 15658, 16491, 20521, 21508, 26525, 27684, 33860
配方奶粉
a(n)=((2*n^5-45*n^4+450*n^3-2070*n^2+4873*n-3585)+5*(-1)^n*(n^4-34*n^3+446*n^2-2741*n+6861))/7680,对于n>5。
G.f.:x^5*(1-5*x^2+x^3+11*x^4-3*x^5-12*x^6+5*x^7+7*x^8-3*x^9-2*x^10+x^11)/((1-x)^6*(1+x)^5)。(结束)
MAPLE公司
seq(`if`(n=5,1,((2*n^5-45*n^4+450*n^3-2070*n^2+4873*n-3585)+5*(-1)^n*(n^4-34*n^3+446*n^2-2741*n+6861))/7680),n=5..50)#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
数学
表[如果[n==5,1,((2*n^5-45*n^4+450*n^3-2070*n^2+4873*n-3585)+5*(-1)^n*(n^4-34*n^3+446*n^2-2741*n+6861))/7680],{n,5,50}](*G.C.格鲁贝尔2020年1月24日*)
线性递归[{1、5、-5、-10、10、10、-10、-5、5、1、-1}、{1、1、1,2、3、5、8、13、20、32、46、72}、50](*哈维·P·戴尔2023年3月8日*)
黄体脂酮素
(PARI)向量(50,n,my(m=n+4);如果(m==5,1,((2*m^5-45*m^4+450*m^3-2070*m^2+4873*m-3585)+5*(-1)^m*(m^4-34*m^3+446*m^2-2741*m+6861))/7680)\\G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(岩浆)[1]猫[((2*n^5-45*n^4+450*n^3-2070*n^2+4873*n-3585)+5*(-1)^n*(n^4-34*n^3+446*n^2-2741*n+6861))/7680:n in[6..50]]//G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(Sage)[1]+[(2*n^5-45*n^4+450*n^3-2070*n^2+4873*n-3585)+5*(-1)^n*(n^4-34*n^3+446*n^2-2741*n+6861))/7680表示n英寸(6..50)]#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(GAP)级联([1],列表([6..50],n->((2*n^5-45*n^4+450*n^3-2070*n^2+4873*n-3585)+5*(-1)^n*(n^4-34*n^3+446*n^2-2741*n+6861))/7680)#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 53, 79, 125, 176, 273, 365, 554, 709, 1053, 1300, 1891, 2267, 3234, 3785, 5303, 6085, 8385, 9465, 12845, 14302, 19139, 21065, 27828, 30329, 39593, 42790, 55251, 59281, 75772
配方奶粉
a(n)=(48915-58884*n+29723*n^2-7200*n^3+965*n^4-66*n^5+2*n^6+3*(-1)^n*(-231345+98988*n-18505*n^2+1840*n ^3-95*n^4+2*n ^5))/92160,n>6。
总尺寸:x^6*(1-6*x^2+x^3+16*x^4-4*x^5-23*x^6+8*x^7+20*x^8-8*x^9-9*x^10+4*x^11+2*x^12-x^13)/(1-x)^7*(1+x)^6)。(结束)
MAPLE公司
seq(如果(n=6,1,(48915-58884*n+29723*n ^2-7200*n ^3+965*n ^4-66*n ^5+2*n ^6+3*(-1)^n*(-231345+98988*n-18505*n ^2+1840*n ^3-95*n ^4+2*n))/92160),n=6..50)#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
数学
表[如果[n==6,1,(48915-58884*n+29723*n^2-7200*n^3+965*n^4-66*n^5+2*n^6+3*(-1)^n*(-231345+98988*n-18505*n^2+1840*n ^3-95*n^4+2*n ^5))/92160],{n,6,50}](*G.C.格鲁贝尔2020年1月24日*)
黄体脂酮素
(PARI)向量(50,n,my(m=n+5);如果(m==6,1,(48915-58884*m+29723*m^2-7200*m^3+965*m^4-66*m^5+2*m^6+3*(-1)^m*(-231345+98988*m-18505*m^2+1840*m*3-95*m^4+2*m*m^5)/92160))\\G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(岩浆)[1]猫[(48915-58884*n+29723*n^2-7200*n^3+965*n^4-66*n^5+2*n^6+3*(-1)^n*(-231345+98988*n-18505*n^2+1840*n ^3-95*n^4+2*n*n^5))/92160:n in[7..50]//G.C.格鲁贝尔,2020年1月24日
(鼠尾草)[1]+[(48915-58884*n+29723*n^2-7200*n^3+965*n^4-66*n^5+2*n^6+3*(-1)^n*(-231345+98988*n-18505*n^2+1840*n ^3-95*n^4+2*n*n^5))/92160代表n in(7..50)]#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
(GAP)级联([1],列表([7..50],n->(48915-58884*n+29723*n^2-7200*n^3+965*n^4-66*n^5+2*n^6+3*(-1)^n*(-231345+98988*n-18505*n^2+1840*n ^3-95*n^4+2*n ^5)/92160)#G.C.格鲁贝尔2020年1月24日
按行读取的三角形:a(n,k)=a(n-2,k)+a(n-2,k-1)。
+10 2
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 4, 6, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 4, 7, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 5, 10, 11, 8, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 5, 11, 14, 12, 8, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 15, 21, 19, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 16, 25, 26, 20, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1
评论
列(在常数k处)从高k值开始向斐波那契收敛。
在收敛到斐波那契数列之前,列(常数k)显示为各种其他序列(例如k=4,是序列A055803号,以及同一参照族中的其他列)。
配方奶粉
a(n,k)=a(n-2,k)+a(n-2,k-1);如果n=k或k=1,则a(n,k)=1;如果n<k或n=0,则a(n,k)=0
例子
前13行是(如上所示),其中n是行索引:
1
1, 1
1, 1, 1
1, 2, 1, 1
1, 2, 2, 1, 1
1, 3, 3, 2, 1, 1
1, 3, 4, 3, 2, 1, 1
1, 4, 6, 5, 3, 2, 1, 1
1, 4, 7, 7, 5, 3, 2, 1, 1
1, 5, 10, 11, 8, 5, 3, 2, 1, 1
1, 5, 11, 14, 12, 8, 5, 3, 2, 1, 1
1, 6, 15, 21, 19, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1
1, 6, 16, 25, 26, 20, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1,
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a208245 n k=a208245_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a208245_row n=a208245 _ tabl!!(n-1)
a208245_tabl=映射fst$迭代f([1],[1]),其中
f(us,vs)=(vs,zipWith(+)([0]++us++[0])(us++[0,1])
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