显示找到的14个结果中的1-10个。
按行读取三角形：T（n，k）是第（n，k）个循环二项式系数，其中0<=k<=n。
+10
37
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1, 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 22
评论
等价地，T（n，k）=带有k个黑色珠子和n-k个白色珠子的项链数量（重量为k的二进制项链）。
k列的生成函数由k阶对称群的循环指数中的替换x_j->x^j/（1-x^j）给出-R.J.马塔尔2018年11月15日
关于Voss、Adams-Waters和Sloane的上述评论，请注意Fredman（1975）证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量（a_0，…，a_{n-1}）的数量S（n，k，v）a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v（modn）由S（n，k，v）=（1/（n+k））*Sum{d|gcd（n，k）}给出A054535号（d，v）*二项式（（n+k）/d，k/d）=S（k，n，v）。
Elashvili等人（1999）也证明了这一结果，他还证明了S（n，k，v）=Sum_{d|gcd（n，k，v）}S（n/d，k/d，1）。这里，S（n，k，0）=A241926型（n，k）=U（n，k）=T（n+k，k）（其中T（n，k=当前数组）。此外，S（n，k，1）=A245558型（n，k）。参见Panyushev（2011），了解更多一般结果和生成函数。
最后，请注意A054535号（d，v）=c_d（v）=Sum_{s|gcd（d，v）}s*Moebius（d/s）。这些是Ramanujan和，它也等于von Sterneck函数c_d（v）=phi（d）*Moebius（d/gcd（d，v））/phi（d/gcr（d，v））。我们有A054535号（d，v）=A054534号（v，d）。
看看是否有Fredman（1975）、Elashvili et al.（1999）和Panyushev（2011）使用Molien级数对一般v的结果进行了证明，就像Sloane（2014）对v=0（在这种情况下，A054535号（d，0）=φ（d））。（即使数组的列A054535号（d，v）从v=1开始，我们也可以从v=0列开始数组。）
（结束）
U（n，k）是模n留数的k元组的等价类的数目，标识出那些分量因常数而不同的类和那些分量因置换而不同的族-阿尔瓦尔·伊比亚斯2021年9月21日
参考文献
N.G.de Bruijn，Polya的计数理论，收录于：应用组合数学（E.F.Beckenbach，ed.），John Wiley and Sons，纽约，1964年，第144-184页（表示该三角形的G.F.）。
理查德·斯坦利，枚举组合数学，第二。ed.，Vol 1，Chapter I，Problem 105，pp.122 and 168，讨论了Z/nZ的子集加到0的数量-N.J.A.斯隆2014年5月6日
J.Voß，发布到序列粉丝邮件列表，2014年4月30日。
链接
伊桑·阿金和莫顿·戴维斯，保加利亚纸牌，美国数学。月刊92（4）（1985），237-250。
J.Brandt，分区周期，程序。美国数学。Soc.85（3）（1982），483-486，定理5。
Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233-238。MR1691428（2000c:13006）
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链与“Hermite互惠”的组合《代数组合》10（1999），第2期，173--188。MR1719140（2000年j：05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
D.E.Knuth、H.Wilf、C.L.Mallows和D.Klarner，通信，1994年
莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），一种通过连续分数求循环的k-记号和2-记号的谱和本征空间的通用方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第5页。
配方奶粉
T（n，k）=（1/n）*和{d|（n，k）}φ（d）*二项式（n/d，k/d）。
第n行（n>=1）的G.f.：（1/n）*Sum_{i=0..n-1}（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n）-乔格·阿恩特2012年9月28日
例子
三角形开始：
[ 0] 1,
[ 1] 1, 1,
[ 2] 1, 1, 1,
[ 3] 1, 1, 1, 1,
[ 4] 1, 1, 2, 1, 1,
[ 5] 1, 1, 2, 2, 1, 1,
[ 6] 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1,
[ 7] 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1,
[ 8] 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1,
[ 9] 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1,
[10] 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1,
[11] 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1,
[12] 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, ...
MAPLE公司
A047996号：=程序（n，k）局部C，d；如果k=0，则返回1；结束if；C:=0；对于numtheory[除数]（igcd（n，k））中的d，做C:=C+numtheori[phi]（d）*二项式（n/d，k/d）；结束do:C/n；结束进程：
数学
t[n_，k_]：=总数[EulerPhi[#]*二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]/n；t[0，0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司，2011年7月19日，根据给定公式*）
黄体脂酮素
（PARI）
p（n）=如果（n<=0，n==0，1/n*和（i=0，n-1，（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n））；
对于（n=0，17，打印（Vec（p（n）））；/*打印三角形*/
（PARI）
T（n，k）=如果（n<=0，n==0，1/n*sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（n/d，k/d））；
/*打印三角形：*/
{对于（n=0，17，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”）；）；打印（）；}
三角数组给出了n>=1和1<=k<=n的Ramanujan和T（n，k）=c_n（k）=sum_{m=1..n，（m，n）=1}exp（2Piim k/n）。
+10
24
1, -1, 1, -1, -1, 2, 0, -2, 0, 2, -1, -1, -1, -1, 4, 1, -1, -2, -1, 1, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 6, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, -3, 0, 0, -3, 0, 0, 6, 1, -1, 1, -1, -4, -1, 1, -1, 1, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 10, 0, 2, 0, -2, 0, -4, 0, -2, 0, 2, 0, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 12, 1
评论
周期性：c_n（k+n）=c_n。见《使徒行传》第161页。
乘法性：如果gcd（n，m）=1，则c_n（k）*c_m（k）=c_{n*m}（k）。有关证据，请参阅哈代参考文献，第138页。
Dirichlet g.f.对于固定k:D（n，s）：=Sum_{n>=1}c_n（k）/n^s=sigma_{1-s}（k。
和{n>=1}c_n（k）/n=0。见哈迪参考文献，第141页。（结束）
Fredman（1975）证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量（a_0，…，a{n-1}）的个数S（n，k，v）a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v（modn）由S（n，k，v）=（1/（n+k））*Sum{d|gcd（n，k）}T（d，v）*二项式（（n+k）/d，k/d）=S（k，n，v）给出。Elashvili等人（1999）也证明了这一点，他还证明了S（n，k，v）=Sum_{d|gcd（n，k，v）}S（n/d，k/d，1）。这里，S（n，k，1）=A051168美元（n+k，k）-Petros Hadjicostas公司2019年7月9日
我们有T（n，k）=c_n（k）=Sum_{m=1..n，（m，n）=1}exp（2Piim k/n）和A054532号（n，k）=c_k（n）=和{m=1..k，（m，k）=1}exp（2 Pim n/k），对于n>=1和1<=k<=n-Petros Hadjicostas公司，2019年7月27日
参考文献
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第160-161页。
G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二次讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第137-139页。
哈代和赖特，《数论导论》。第五版，牛津科学出版物，克拉伦登出版社，牛津，2003年，第237-238页。
链接
埃克福德·科恩，一类算术函数，程序。国家。阿卡德。科学。美国41（1955），939-944。
J.C.Kluyver，关于小于n的整数和n的素数的几个公式，收录于：KNAW，Proceedings，9 I，1906，阿姆斯特丹，1906年，第408-414页。[见第410页底部，其中作者证明了总和cos（2*Pi*q*v/n）=mu（n/D）*phi（n）/phi（n/D），其中D是n和q的gcd。总和在整数v“小于n，素数到n”上（第408页顶部）。]
配方奶粉
T（n，k）=和{m=1..n，gcd（m，n）=1}exp（2*Pi*i*m*k/n），n>=1，1<=k<=n，其中i是虚单位。
T（n，k）=和{d|gcd（n，k）}d*Moebius（n/d），n>=1，1<=k<=n。
例子
三角形开始
1;
-1, 1;
-1, -1, 2;
0, -2, 0, 2;
-1, -1, -1, -1, 4;
1, -1, -2, -1, 1, 2;
-1, -1, -1, -1, -1, -1, 6;
0, 0, 0, -4, 0, 0, 0, 4;
0, 0, -3, 0, 0, -3, 0, 0, 6;
1, -1, 1, -1, -4, -1, 1, -1, 1, 4;
-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 10;
0, 2, 0, -2, 0, -4, 0, -2, 0, 2, 0, 4;
-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 12;
...
周期性和多重性：c6（k）=c2（k）*c3（k），例如：2=c6（6）=c_2（6）*c_3（6）=c_2（2）*c_3（3）=1*2=2-沃尔夫迪特·朗2017年1月5日
数学
（*获得上例中的三角形*）
表单表[表[c[n，k]//完全简化，{n，1，13}，{k，1，n}]]
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=总和（gcd（n，k），d，d*莫比乌斯（n/d））；
tabl（nn）={表示（n=1，nn，表示（k=1，n，print1（T（n，k），“，”）；）；}\\米歇尔·马库斯，2018年6月14日
给出Ramanujan和T（n，k）=c_n（k）=sum_{m=1..n，（m，n）=1}exp（2Piim k/n）的平方数组，由反对偶向上读取（n>=1，k>=1）。
+10
17
1, -1, 1, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, -1, -2, 2, 1, 1, 1, -1, 0, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 2, -1, 1, 1, 0, -1, -2, -1, 0, 2, -1, 1, 0, 0, -1, -1, 4, -2, -1, 1, 1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 0, -1, -1, 1, -1, -1, -3, -4, -1, 2, -1, 2, 2, 1, 1, 0, -1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 0, -1, -1, 1, -1, 2, -1, -1, 0, 0, 6, -1, -1, -2, -1, 1, 1, 1, -1
评论
我们有T（n，k）=c_n（k）=Sum_{m=1..n，（m，n）=1}exp（2Piim k/n）和
参考文献
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，第160页。
哈代和赖特，《数论导论》。第五版，牛津科学出版物，克拉伦登出版社，牛津，2003年。
E.C.Titchmarsh和D.R.Heath-Brown，《黎曼齐塔函数理论》，第二版，1986年。
链接
埃克福德·科恩，一类算术函数，程序。国家。阿卡德。科学。美国41（1955），939-944。
J.C.Kluyver，关于小于n的整数和n的素数的几个公式，收录于：KNAW，Proceedings，9 I，1906，阿姆斯特丹，1906年，第408-414页；见第410页。
配方奶粉
Dirichlet级数：Sum_{n>=1}c_n（k）/n^s=sigma_{1-s}（k）/zeta（s），其中sigma是divisors函数的和。求和{n>=1}c_k（n）/n^s=zeta（s）*求和{d|k}mu（k/d）*d^（1-s）。[Hardy&Wright，Titchmarsh]-R.J.马塔尔2012年4月1日[我们有sigma{1-s}（k）=Sum_{d|k}d^{1-s{=Sum{d|k}（k/d）^{1-s}=sigma_{s-1}（k）/k^{s-1{}-Petros Hadjicostas公司2019年7月27日]
对于n>=1和k>=1，设
A（n，k）：=如果n mod k=0，则k^r，否则为0；
B（n，k）：=如果n mod k=0，则k/n^s，否则为0。
那么Ramanujan的和矩阵等于
逆（A）。转置（B）在s=0和r=0处求值。
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}求和{k>=1}T（n，k）/（n^r*k^s）=zeta（s）*zeta（s+r-1）/zeta（r），如维基百科中所示。（结束）
Lambert级数和一个结果：对于|z|<1，求和{n>=1}c_n（k）*z^n/（1-z^n）=求和{s|k}s*z^s和-求和{n>=1}（c_n-Petros Hadjicostas公司，2019年8月15日
例子
方形数组T（n，k）=c_n（k）（行n>=1，列k>=1）的开头如下：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
-1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, ...
0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, ...
-1, -1, -1, -1, 4, -1, -1, -1, -1, 4, -1, -1, -1, ...
1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, ...
-1, -1, -1, -1, -1, -1, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, ...
0, 0, 0, -4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, -4, 0, ...
MAPLE公司
#得到上面的例子
对于n到8 do
seq（c（n，k），k=1。。13);
结束do
数学
（*以表格格式获取上述示例*）
表格形式[表格[t[n，k]，{n，1，8}，{k，1，13}]]
Ramanujan和T（n，k）=c_k（n）=sum_{m=1..k，（m，k）=1}exp（2*Pi*i*m*n/k），n>=1和1<=k<=n时按行读取的三角形数组。
+10
14
1, 1, 1, 1, -1, 2, 1, 1, -1, 2, 1, -1, -1, 0, 4, 1, 1, 2, -2, -1, 2, 1, -1, -1, 0, -1, 1, 6, 1, 1, -1, 2, -1, -1, -1, 4, 1, -1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 6, 1, 1, -1, -2, 4, -1, -1, 0, 0, 4, 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, 10, 1, 1, 2, 2, -1, 2, -1, -4, -3, -1, -1, 4, 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 12, 1
参考文献
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，第160页。
链接
埃克福德·科恩，一类算术函数，程序。国家。阿卡德。科学。美国41（1955），939-944。
J.C.Kluyver，关于小于n的整数和n的素数的几个公式，收录于：KNAW，Proceedings，9 I，1906，阿姆斯特丹，1906年，第408-414页；见第410页。
配方奶粉
T（n，k）=c_k（n）=Sum_{m=1..k，（m，k）=1}cos（2*Pi*m*n/k）=mu（k/gcd（k，n））*phi（k）/phi（k/gcd（k，n）-Petros Hadjicostas公司2019年8月20日
例子
三角形T（n，k）（行n>=1，列k>=1）的开头如下：
1;
1, 1;
1, -1, 2;
1, 1, -1, 2;
1, -1, -1, 0, 4;
1, 1, 2, -2, -1, 2;
1, -1, -1, 0, -1, 1, 6;
1, 1, -1, 2, -1, -1, -1, 4;
1, -1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 6;
...
数学
t[n_，k_]：=总和[c=经验[2*Pi*I*m*（n/k）]；如果[GCD[m，k]==1，c，0]，{m，1，k}]//FullSimplify；扁平[表[t[n，k]，{n，1，15}，{k，1，n}]](*Jean-François Alcover公司2012年3月15日*）
（*获得示例中的三角形*）
表格形式[表格[t[n，k]，{n，1，9}，{k，1，n}]]
1, 1, -1, -2, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -1, 2, -1, -1, 1, 0, -1, 0, -1, 2, 1, -1, -1, 0, 0, -1, 0, 2, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, -1, 1, 0, -1, 1, -1, 2, 0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 2, -1, 0, 1, 0, 1, -1, -1, -2, -1, -1, 0, 0, 1, 1, -1, 2, 1, 1, -1, 0, -1, -1, 0, 2, 1, 1, -1, 0, 0, -1, -1, -2, 1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 2, 1, -1, 1, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 1, -1, 0, -1
参考文献
Tom M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格-弗拉格出版社，1976年。
E.C.Titchmarsh和D.R.Heath-Brown，黎曼齐塔函数理论，第2版。，1986
链接
埃克福德·科恩，一类算术函数，程序。国家。阿卡德。科学。美国41（1955），939-944。
迈克尔·弗雷德曼，一类划分的对称关系，J.组合理论。A 18（1975），199-202。
配方奶粉
对于一般k>=1，c_n（k）=phi（n）*mu（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））；所以cn（1）=mu（n）=A008683号（n） ●●●●。
a（n）=φ（n）*mu（n/gcd（n，2））/phi（n/gcd（n、2））。
Dirichlet g.f.：（1+2^（1-s））/zeta（s）。【Titchmarsh等式（1.5.4）】-R.J.马塔尔2011年3月26日
与a（2）=1，a（2^2）=-2，a（2 ^e）=0相乘，e>=3；与奇素数p相乘，a（p）=-1，a（p^e）=0，e>=2-阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月14日
求和{k=1..n}abs（a（k））~（8/Pi^2）*n-阿米拉姆·埃尔达尔2024年1月21日
例子
a（4）=-2，因为单位的原四次根是i和-i。我们将它们的平方求和，得到i^2+（-i）^2=-1+-1=-2-杰弗里·克雷策2015年12月30日
MAPLE公司
用（数理论）：a:=n->phi（n）*mobius（n/gcd（n，2））/phi（n/gcr（n，2中））：seq（a（n），n=1.130）#Emeric Deutsch公司2004年12月23日
数学
f[list_，i_]：=列表[[i]]；nn=105；a=表[MoebiusMu[n]，{n，1，nn}]；b=表格[If[IntegerQ[2/n]，n，0]，{n，1，nn}]；表[DirichletConvolve[f[a，n]，f[b，n]、n，m]，{m，1，nn}](*杰弗里·克雷策2015年12月30日*）
f[p_，e_]：=如果[e==1，-1，0]；f[2，e_]：=开关[e，1，1，2，-2，_，0]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2024年1月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）A086831号（n） =（eulerphi（n）*moebius（n/gcd（n，2））/eulerphi\\安蒂·卡图恩2018年9月27日
作者
Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年8月7日
1, 1, -1, 2, -1, -1, -1, -4, 0, -1, -1, -2, -1, -1, 1, 0, -1, 0, -1, -2, 1, -1, -1, 4, 0, -1, 0, -2, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, -1, 1, 4, -1, 1, -1, -2, 0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, -2, -1, 0, 1, 4, 1, -1, -1, 2, -1, -1, 0, 0, 1, 1, -1, -2, 1, 1, -1, 0, -1, -1, 0, -2, 1, 1, -1, 0, 0, -1, -1, 2
参考文献
Tom M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格-弗拉格出版社，1976年。
E.C.Titchmarsh和D.R.Heath-Brown，《黎曼齐塔函数理论》，第二版，1986年。
R.D.von Sterneck，Ein Analogon zur添加剂，Zahlentheorie，Sitzunsber。阿卡德。愿望。Sapientiae数学-自然科学。Kl.111（1902），1567-1601（Abt.IIa）。
链接
埃克福德·科恩，一类算术函数，程序。国家。阿卡德。科学。美国41（1955），939-944。
J.C.Kluyver，关于小于n的整数和n的素数的几个公式，收录于：KNAW，Proceedings，9 I，1906，阿姆斯特丹，1906年，第408-414页；见第410页。
配方奶粉
a（n）=φ（n）*mu（n/gcd（n，4））/phi（n/gcd（n、4））。
Dirichlet g.f.：（1+2^（1-s）+4^（1-s））/zeta（s）。[蒂奇马什]-R.J.马塔尔2011年3月26日
Lambert级数及其结果：Sum_{n>=1}c_n（4）*z^n/（1-z^n）=Sum_{s|4}s*z^s和-Sum_{n>=1}（c_n（4）/n）*log（1-z^n）=Sum_{s|4}z^s对于|z|<1（使用对数的主值）-Petros Hadjicostas公司2019年8月24日
与a（2）=1、a（2^2）=2、a（2 ^3）=-4和a（2*e）=0相乘，对于e>=4，对于奇素数p，a（p）=-1，以及a（p*e）=0，对于e>=2。
求和{k=1..n}abs（a（k））~（10/Pi^2）*n（结束）
数学
a[n_]：=EulerPhi[n]*MoebiusMu[n/GCD[n，4]]/EulerPhi[n/GCD[n，4]]；表[a[n]，{n，1，105}]
f[p_，e_]：=如果[e==1，-1，0]；f[2，e_]：=开关[e，1，1，2，2，3，-4，_，0]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2024年1月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=eulerphi（n）*moebius（n/gcd（n，4））/eulerphi
作者
Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年8月12日
1, -1, -1, 0, 4, 1, -1, 0, 0, -4, -1, 0, -1, 1, -4, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, -5, 1, 0, 0, -1, 4, -1, 0, 1, 1, -4, 0, -1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 5, 1, 0, -1, 0, -4, 0, 1, 1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, -4, -1, -1, 0, 1, 4, -1, 0, -1, 1, 5, 0, 1, -1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -4, 1, 1, 0, -1
参考文献
Tom M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格-弗拉格出版社，1976年。
链接
埃克福德·科恩，一类算术函数，程序。国家。阿卡德。科学。美国41（1955），939-944。
J.C.Kluyver，关于小于n的整数和n的素数的几个公式，收录于：KNAW，Proceedings，9 I，1906，阿姆斯特丹，1906年，第408-414页；见第410页。
配方奶粉
a（n）=φ（n）*mu（n/gcd（n，5））/phi（n/gcd（n、5））。
狄利克雷g.f.：（1+5^（1-s））/ζ（s）-R.J.马塔尔2011年3月26日
Lambert级数和一个结果：对于|z|<1，求和{n>=1}c_n（5）*z^n/（1-z^n）=z+5*z^5和求和{n>=1}（c_n-Petros Hadjicostas公司2019年8月24日
与a（5）=4，a（5^2）=-5，a（5 ^e）=0相乘，e>=3，素数p！=对于e>=2，a（p）=-1，a（p^e）=0。
求和{k=1..n}abs（a（k））~（10/Pi^2）*n（结束）
数学
a[n_]：=EulerPhi[n]*MoebiusMu[n/GCD[n，5]]/EulerPhi[n/GCD[n，5]；表[a[n]，{n，1，105}]
f[p_，e_]：=如果[e==1，-1，0]；f[5，e_]：=开关[e，1，4，2，-5，_，0]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2024年1月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=eulerphi（n）*moebius（n/gcd（n，5））/eulerphi
作者
Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年8月15日
1, 1, -1, 2, -1, -1, 2, 0, -2, 0, 4, -1, -1, -1, -1, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 4, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 0, 6, 0, 0, -3, 0, 0, -3, 0, 0, 4, 1, -1, 1, -1, -4, -1, 1, -1, 1, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 4, 0, 2, 0, -2, 0, -4, 0
评论
a（n，1）=mu（n），其中mu（n）是Möbius函数A008683号（n） ●●●●。
配方奶粉
a（n，t）=总和（b（n，k*n+t），k=0..n（n，t）），其中b（n、k）=A231599型（n-1，k）和n（n，t）=[（n-1）/2-t/n]。
a（n，t）=（n，-t）
a（n，t）=cn（n-t）=0≤t≤n-1的和{d|gcd（n，n-t）}d*mu（n/d）。
所以a（n，t）=Sum_{d|gcd（n，t）}d*mu（n/d）对于1<=t<=n-1。（结束）
例子
前面几行紧跟：c_n（t）
t 0 1 2 3 4 5 6 | t 1 2 3 5 6 7
n | n个
1 1; |1 1;
2 1, -1; |2 -1, 1;
3 2, -1, -1; |3 -1, -1, 2;
4 2, 0, -2, 0; |4 0, -2, 0, 2;
5 4, -1, -1, -1, -1; |5 -1, -1, -1, -1, 4;
6 2, 1, -1, -2, -1, 1; |6 1, -1, -2, -1, 1, 2;
7 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1; |7 -1, -1, -1, -1, -1, -1, 6;
... | ...
数学
b[n_，m_]：=b[n，m]=如果[n>1，b[n-1，m]-b[n-1、m-n+1]，0]
b[1，m_]：=b[1,m]=如果[m==0，1，0]
nt[n_，t_]：=圆形[（n-1）/2-t/n]
a[n，t_]：=和[b[n，k*n+t]，{k，0，nt[n，t]}]
扁平[表[表[a[n，m]，{m，0，n-1}]，{n，1，20}]]
按行读取的三角形T（n，k）：第n行的第k列列出了从[1..n]中选择k个不同数字（k>=1）的方法，以便它们的和可以被n整除。
+10
5
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 1, 0, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 3, 7, 9, 7, 3, 1, 0, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 4, 12, 22, 26, 20, 12, 5, 1, 0, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 5, 19, 42, 66, 76, 66, 43, 19, 5, 1, 0
评论
减去最后一个元素的行是n=奇数或n=2的幂的回文，其中n是行号（观测推测）。
通过仔细阅读Barnes（1959）中引理5.1（第65-66页）的证明，我们看到他实际上证明了一个一般结果（尽管他没有在引理中说明它）。
根据这个序列的定义，对于1<=k<=n，T（n，k）是无序集b_1，b_2，…的数目。。。，k个不同于1..n的整数的b_k，因此b_1+b_2+…+b_k=0（mod n）。Barnes（1959）对引理5.1的证明表明，T（n，k）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*phi（s）*1≤k≤n的二项式（n/s，k/s）。
对于固定k>=1，列（T（n，k）：n>=1）（T（n，k）=0表示1<=n<k）的g.f.是（x^k/k）*Sum_{s|k}φ（s）*（-1）^（k-（k/s））/（1-x^s）^赫伯特·科西姆巴的公式来自A032801号.
Barnes（1959）公式是Ramanathan（1944）中定理4（第66页）的特例。如果R（n，k，v）是无序集b_1，b_2。。。，k个不同于1..n的整数的b_k，因此b_1+b_2+…+b_k=v（mod n），则他证明了R（n，k，v）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*二项式（n/s，k/s）*C_s（v），其中C_s（v）=A054535号（s，v）=Sum_{d|gcd（s，v）}d*Moebius（s/d）是Ramanujan的和（尽管它是1900年左右由奥地利数学家R.d.von Sterneck首次发现的）。
因为C_s（v=0）=phi（s），我们得到了Barnes的（隐式）结果；即，R（n，k，v=0）=T（n，k）对于1<=k<=n。
对于k=2，我们有R（n，k=2；v=0）=T（n，k=2）=A004526号（n-1）对于n>=1。对于k=3，我们有R（n，k=3，v=0）=T（n，k=3）=A058212号（n） 对于n>=1。对于k=4，我们有R（n，k=4、v=0）=A032801号（n） 对于n>=1。对于k=5，我们有R（n，k=5、v=0）=T（n，k=5）=A008646号（n-5），对于n>=5。
我们有T（2*m+1，k）的原因=A037306号（2*m+1，k）=A047996号对于m>=0和k>=1，（2*m+1，k）如下。当n=2*m+1时，gcd（n，k）的所有除数都是奇数。在这种情况下，对于所有k>=1，k-（k/s）是偶数，因此（-1）^（k-（k/s））=1，因此T（n=2*m+1，k）=（1/n）*Sum_{s|gcd（n，k）}phi（s）*二项式（n/s，k/s）=A037306号（2*m+1，k）=A047996号（2*m+1，k）。
通过求k列的g.f*乘以y^k从k=1到k=无穷大的乘积，我们得到了数组的二元g.f:和{n，k>=1}T（n，k）*x^n*y^k=和{s>=1}（phi（s）/s）*log（1-x^s+（-x*y）^s）/（1-x*s））=-x/（1-x））^s）。
在上述二元g.f.中设y=1，我们得到序列的g.f.（Sum_1<=k<=n}T（n，k）：n>=1）是-x/（1-x）-Sum_{s>=1}（phi（s）/s）*log（1-x^s+（-x）^s）=-x/序列的fA082550美元因此，顺序A082550美元由行和组成。
对这个数组T（n，k）还有另一个重要的解释，它与序列的一些参考有关A047996号，但由于讨论太长，我们省略了细节。
（结束）
链接
米歇尔·科斯特斯，有限交换群的子集和问题J.Combina.理论系列。A 120（2013），527-530。
李继友和大庆湾，有限阿贝尔群的子集和计数J.Combina.理论系列。A 119（2012），170-182；见第171-172页。
配方奶粉
T（n，k）=（1/n）*求和{s|gcd（n，k）}（-1）^（k-（k/s））*phi（s）*二项式（n/s，k/s）对于1<=k<=n。
对于列k>=1，G.f:（x^k/k）*和{s|k}φ（s）*（-1）^（k-（k/s））/（1-x^s）^。
二元g.f.：求和{n，k>=1}T（n，k）*x^n*y^k=-x/（1-x）-求和{s>=1}（φ（s）/s）*log（1-x^s+（-x*y）^s）。
（结束）
例子
对于n=5，有一种方法选择一个数字（5），两种方法选择两个数字（1+4，2+3），两个方法选择三个数字（1+4+5，2+3+5），一种方法选四个数字（1,2+3+4），还有一种方法挑选五个数字（1'2+3+4+5），这样它们的和可以被5整除。因此，T（5,1）=1，T（5,2）=2，T（5,3）=2，T（5,4）=1，T（5,5）=1。
T（n，k）的表如下所示：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
2 1 0
3 1 1 1
4 1 1 1 0
5 1 2 2 1 1
6 1 2 4 3 1 0
7 1 3 5 5 3 1 1
8 1 3 7 9 7 3 1 0
9 1 4 10 14 14 10 4 1 1
10 1 4 12 22 26 20 12 5 1 0
...
MAPLE公司
局部a，msel，p；
a:=0；
对于组合中的msel[选择]（n，k）do
如果modp（加（p，p=msel），n）=0，则
a:=a+1；
结束条件：；
结束do：
a；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，m，s）选项记忆；展开（`if`（n=0，
`如果`（s=0，1，0），b（n-1，m，s）+x*b（n-l，m，irem（s+n，m））
结束：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n））（b（n$2，0））：
数学
f[k_，n_]：=长度[Select[Subsets[Range[n]]，长度[#]=k&]，整数Q[Total[#]/n]&]]；矩阵形式[表[{n，表[f[k，n]，{k，n}]}，{n，10}]](*迪米特里·帕帕佐普洛斯2016年1月18日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A004526号,A032801号,A037306号,A047996号,A054532号,A054533号,A054534号,A054535号,A058212号,A063776号,A082550美元（行总和），2009年12月22日.
1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 4, 4, 5, 9, 1, 10, 8, 3, 7, 15, 3, 16, 2, 6, 17, 21, -6, 13, 19, 11, 8, 27, -5, 27, 10, 13, 28, 10, -10, 35, 31, 17, -6, 40, -3, 40, 20, -4, 40, 44, -18, 32, 18, 26, 23, 50, 4, 21, 0, 28, 54, 58, -45, 59, 53, 3, 19, 24, 11, 65, 37, 39, 1
数学
块[｛nn=70，m｝，m=表[总和[MoebiusMu@k，{k，n}]，{n，nn}]；表[Total@Array[m[#]]如果[Mod[n，#]==0，n/#，0]&，n]，{n，nn}]](*迈克尔·德弗利格2018年6月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）列表a（nn）={mat=矩阵（nn，nn，n，k，if（n%k，0，n/k））\\米歇尔·马库斯2013年9月25日
（PARI）a（n）=总和（k=1，n，moebius（k/gcd（n，k））*eulerphi（k）/eulerphi\\丹尼尔·苏图，2018年6月23日
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