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a(n)是n的分区数(分区数)。 (原名M0663 N0244)
+10 3688
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338, 44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525
评论
b+2c+3d+4e+…=的非负解的个数n和2c+3d+4e+…的非负解数n.(名词)-亨利·博托姆利,2001年4月17日
a(n)也是对称群S_n中共轭类的数目(以及S_n的不可约表示的数目)。
还有具有n+1个节点和最多2个高度的有根树的数量。
与李代数gl(n)中幂零共轭类的数目序列一致。A006950型,A015128号这个序列一起覆盖了经典李代数A、B、C、D系列中的幂零共轭类Alexander Elashvili,2003年9月8日
n个顶点上不包含P3作为诱导子图的图的数量-华盛顿·邦菲姆2005年5月10日
序列与对称群S_n的Molien级数展开一致,直到x^n.中的项-莫里斯·克雷格(towenaar(AT)optusnet.com.au),2006年10月30日
另外,x_1+x_2+x_3+…+的非负整数解的个数x_n=n,使得n>=x_1>=x_2>=x_3>=…>=x_n>=0,因为通过y_k=x_k-x_(k+1)>=0(其中0<k<n),我们得到y_1+2y_2+3y_3+…+2007年3月14日,(n-1)y_(n-1)+nx_n=n.-Werner Grundlingh(wgrundling(AT)gmail.com)
设P(z):=Sum_{j>=0}b_jz^j,b_0!=那么1/P(z)=Sum_{j>=0}c_j z^j,其中cj必须从无限三角系b_0c_0=1,b_0c_1+b_1c_0=0计算(系数的柯西积设为零)。第n个分区数是c_n表达式分子中的项数:倒幂级数的系数c_n是一个分母中含有b_0^(n+1)的分数,分子中含有n个系数b_i的(n)乘积。分区可以从b_i.-Peter C.Heinig(algorithms(AT)gmx.de)的索引中读取,2007年4月9日
a(n)是用n个台阶跑上楼梯的不同方式的数量,台阶大小为1、2、3。。。和r(r<=n),其中顺序并不重要,并且对所采取的每个步骤的数量或大小没有限制-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
正整数序列p=p_1。。。p_k是正整数n的降序分区,如果p_1+…+p_k=n和p_1>=…>=p_k。如果正式需要,p_j=0被附加到p中,表示j>k。让p_n表示n>=1时这些分区的集合。然后a(n)=1+p_n}层中的总和{p((p_1-1)/(p_2+1))。(参见。A000065号,其中公式减少为总和。)Kelleher和O'Sullivan(2009)的证明。例如a(6)=1+0+0+0+0+1+0+0+1+1+0+1+2+5=11-彼得·卢什尼2010年10月24日
设n=Sum(k_(p_m)p_m)=k_1+2k_2+5k_5+7k_7+。。。,其中pm是第m个广义五边形数(A001318号). 那么a(n)是(-1)^(k_5+k_7+k_22+…)(k_1+k_2+k_5+…)的n的所有这样的五边形分区上的和/(k_1!k_2!k_5!…),其中(-1)的指数是与均匀诱导GPN对应的所有k的总和-杰罗姆·马伦芬特2011年2月14日
a(n)值的矩阵
a(0)
a(1)a(0)
a(2)a(1)a(0)
a(3)a(2)a(1)a(0)
....
a(n)a(n-1)a(n-2)。。。a(0)
是矩阵的逆
1
-1 1
-1 -1 1
0 -1 -1 1
....
-d_n-d(n-1)-d(n-2)-d_1 1
其中dq=(-1)^(m+1),如果q=m(3m-1)/2=第m个广义五边形数(A001318号),否则=0。(结束)
设k>0为整数,i_1,i_2。。。,i_k是不同的整数,因此1<=i_1<i_2<…<i_k。那么,等价地,a(n)等于n=n+i_1+i_2+…+的分区数i_k,其中每个i_j(1<=j<=k)至少作为一个部分出现一次。要看到这一点,请注意这个类中N的分区必须与N的分区一一对应,因为N-i_1-i_2-…-i_k=编号-L.埃德森·杰弗里2011年4月16日
a(n)是具有n+2个节点的所有自由树上的不同度序列数。取整数n的一个分区,每个部分加1,并根据需要加上任意多的1,使总数为2n+2。现在我们有一个具有n+2个节点的树的度序列。示例:分区3+2+1=6对应于具有8个顶点的树的度序列{4,3,2,1,1,1,1}-杰弗里·克雷策2011年4月16日
a(n)是n!大小为n X n的排列矩阵-阿图尔·贾辛斯基2011年10月24日
推测:以偏移量1开始表示n的有序组合数,使用符号(++--++…)项A001318号开始(1,2,-5,-7,12,15,…)-加里·亚当森,2013年4月4日(根据五边形数定理,约尔格·阿恩特,2013年4月8日)
a(n)也是对数(f(x))的n阶导数展开式中的项数。在Mathematica表示法中:表[Length[Together[f[x]^n*D[Log[f[x]],{x,n}]],}n,1,20}]-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日
猜想:没有a(n)的形式是x^m,m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
a(n)是n到避免图案[1,2]的正部分的组成的数目-鲍勃·塞尔科,2014年7月8日
猜想:对于任意j,存在k使得所有素数p<=A000040型(j) 是一个或多个a(n)<=a(k)的因子。这一覆盖范围的增长缓慢且不规则。k=1067覆盖了前102个素数,因此比A000027号. -理查德·福伯格2014年12月8日
定义分段分区a(n,k,<s(1)。。s(j)>)是n的一个分区,其中n有k个部分,s(j。注意,n>=k,j<=k,0<=s(j)<=k、s(1)t(1)+…+s(j)t(j)=n和s(1)+…+s(j)=k。然后有最多a(k)个n的分段分区,正好有k个部分-格雷戈里·西蒙2015年11月8日
(结束)
a(n,k,<s(1)。。。,s(j)>)具有j-1度。
如果n=0 mod k,则a(n,k,<k>)=1,否则=0
a(rn,rk,<r*s(1)。。。,r*s(j)>)=a(n,k,<s(1)。。。,s(j)>)
a(n奇数,k,<所有s(j)偶数>)=0
已建立的结果可以根据分段分区进行重新计算:
对于j(j+1)/2<=n<(j+1”)(j+2)/2,A000009号(n) =a(n,1,<1>)+…+a(n,j,<j 1’s>),j<n
a(n,k,<j 1’s>)=a(n-j(j-1)/2,k)
(结束)
使用NIST Arb包计算a(10^20)。它有11140086260个数字,头和尾部分是18381765…88091448。请参阅Johansson 2015链接-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月1日
满足本福德定律[Anderson-Rolen-Stoehr,2011]-N.J.A.斯隆2017年2月8日
配分函数p(n)对于所有n>25的函数都是对数曲线[DeSalvo-Pak,2014]-米歇尔·马库斯,2019年4月30日
a(n)也是系数为Z/2的无限实Grassmannian的第n个上同调的维数-卢克·斯特霍沃,2021年6月6日
等价地,从n个元素的集合X到其自身的幂等映射f的数量(即,满足f o f=f)直到置换(即,f~f’:<=>在Sym(X)中存在置换西格玛,使得f’o西格玛=西格玛o f)-菲利普·图雷切克2023年4月17日
猜想:每个不同于6的整数n>2都可以写成形式为a(k)+2(k>0)的有限多个数的和,不需要求和除另一个数。对于n<=7140,已对此进行了验证-孙志伟2023年5月16日
参考文献
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配方奶粉
G.f.:产品{k>0}1/(1-x^k)=和{k>=0}x^k产品{i=1..k}1/。
广义函数:1+Sum_{n>=1}x^n/(乘积_{k>=n}1-x^k)-约尔格·阿恩特2011年1月29日
a(n)-a(n-1)-a0,其中和大于n-k,k是广义五边形数(A001318号)<=n,第k项的符号为(-1)^([(k+1)/2])。请参见A001318号为了一个好的方式来记住这一点!
a(n)=(1/n)*求和{k=0..n-1}σ(n-k)*a(k),其中σ(k)是k的除数之和(A000203号).
a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqrt(2n/3))为n->无穷大(Hardy和Ramanujan)。请参见A050811号.
哈代和拉马努扬的上述近似值似乎可以细化为
a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqert(2n/3+c0+c1/n^(1/2)+c2/n+c3/n^,其中系数c0到c4约为
c0=-0.230420145062453320665537
c1=-0.0178416569128570889793
c2=0.0051329911273
c3=-0.0011129404
c4=0.0009573,
作为n->无穷大。(结束)
c0=-0.23042014065062453320665536704197233…=-1/36-2/Pi^2
c1=-0.017841656912857088979502135349949…=1/(6*sqrt(6)*Pi)-sqrt(3/2)/Pi^3
c2=0.005132991127342167594576391633559…=1/(2*Pi^4)
c3=-0.00112940489559760908236602843497…=3*sqrt(3/2)/(4*Pi^5)-5/(16*sqert(6)*Pi^3)
c4=0.00095734328480697929589686949196…=1/(576*Pi^2)-1/(24*Pi^4)+93/(80*Pi^6)
a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(4*sqert(3)*n)*(1-(平方(3/2)/Pi+Pi/(24*sqort(6)))/sqrt(n)+(1/16+Pi^2/6912)/n))。
a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3)-(平方(3/2)/Pi+Pi/(24*sqert(6)))/sqrt(n)+(1/24-3/(4*Pi^2))/n)/(4*平方(3)*n)。
(结束)
a(n)<exp(2/3)^(1/2)Pi sqrt(n))(阿尤布,第197页)。
a(n)=Sum_{i=0..n-1}P(i,n-i),其中P(x,y)是x至多分为y部分的分区数,P(0,y)=1-乔恩·佩里2003年6月16日
G.f.:产品{i>=1}产品{j>=0}(1+x^((2i-1)*2^j))^(j+1)-乔恩·佩里2004年6月6日
a(n)=n X n Toeplitz矩阵的行列式:
1 -1
1 1 -1
0 1 1 -1
0 0 1 1 -1
-1 0 0 1 1 -1
. . .
dn(n-1)d_(n-2)。。。1
其中d_q=(-1)^(m+1)如果q=m(3m-1)/2=p_m,则第m个广义五边形数(A001318号),否则d_q=0。请注意,1沿着对角线运行,-1位于超对角线上。(n-1)行(未写入)将以…结尾。。。1 -1. (结束)
经验:设F*(x)=Sum_{n=0.无穷}p(n)*exp(-Pi*x*(n+1)),则F*(2/5)=1/sqrt(5),精度为13位。
F*(4/5)=1/2+3/2/sqrt(5)-sqrt(1/2*(1+3/sqrt)),精度为28位。当a/b从F60到60,Farey分数为60时,只有这些是a/b的值。F*(4/5)的数字是25*x^4-50*x^3-10*x^2-10*x+1的实根之一。注意这里的指数(n+1)与从0开始的n的标准表示法相比-西蒙·普劳夫2011年2月23日
常数(2^(7/8)*GAMMA(3/4))/(exp(Pi/6)*Pi^(1/4))=1.0000034873……当在基exp(4*Pi)中展开时,将给出a(n)的前52项,n>0,所需精度为300位小数-西蒙·普劳夫2011年3月2日
G.f.:A(x)=1+x/(G(0)-x);G(k)=1+x-x^(k+1)-x*(1-x^;(连分数欧拉类,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月25日
G.f.:1+x*(1-G(0))/(1-x),其中G(k)=1-1/(1-x^(k+1))/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月22日
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1+x^(4*k+1)/((x^)(2*k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月16日
G.f.:1/(x;x)_{inf},其中(a;q)_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
a(n-1)=n}mu(k)的所有分区中的Sum_{部分k,其中mu(k)是算术Möbius函数(见A008683号).
设P(2,n)表示n分成k>=2部分的划分集。那么P(2,n)}μ(k)中所有分区中的a(n-2)=-求和{部分k。
n*(a(n)-a(n-1))=P(2,n)}k中所有分区的和{部分k(参见A138880型).
设P(3,n)表示n分成k>=3部分的划分集。然后
a(n-3)=(1/2)*P(3,n)}φ(k)中所有分区的k部分之和,其中φ(kA000010号). 利用这个结果和关于phi函数平均阶的Mertens定理,我们可以找到配分函数的一个近似三项递推:a(n)~a(n-1)+a(n-2)+(Pi^2/(3*n)-1)*a(n-3)。例如,将值a(47)=124754、a(48)=147273和a(49)=173525代入递推公式中,得出近似值a(50)~ 204252.48……,而实际值a(40)=204226。(结束)
偏移量为1的序列的生产矩阵为M,即以下形式的无限n x n矩阵:
a、 1、0、0、0,0。。。
b、 0,1,0,0,0。。。
c、 0、0、1、0、0。。。
d、 0,0,0,1,0。。。
.
.
……(a,b,c,d,…)是A080995号偏移量为1:(1,1,0,0,-1,0,-1,…)
a(n)是M^n的左上项。
这个运算等价于g.f.(1+x+2x^2+3x^3+5x^4+…)=1/(1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+…)。(结束)
G.f.:x^(1/24)/eta(对数(x)/(2 Pi i))-托马斯·巴鲁切尔2016年1月9日之后迈克尔·索莫斯(以理查德·德德金(Richard Dedekind)的名字命名)。
a(n)=和{k=-inf.+inf}(-1)^ka(n-k(3k-1)/2),a(0)=1,a(负)=0。总和可以限制在k=(1-sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt)/6的(有限)范围内,因为此范围外的所有项都是零-乔斯·库特2016年6月1日
G.f.:(猜想)(r(x)*r(x^2)*r(x^4)*r(x^8)*…)其中r(x)是A000009号: (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ...). -加里·亚当森2016年9月18日;多伦·泽尔伯格今天观察到,“这是根据欧拉公式1/(1-z)=(1+z)*(1+z^2)*(1+z^4)*(1-z^8)*……”加里·亚当森2016年9月20日
a(n)~2*Pi*BesselI(3/2,sqrt(24*n-1)*Pi/6)/(24*n-1)^(3/4)-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月11日
G.f.:产品{k>=1}(1+x^k)/(1-x^(2*k))-伊利亚·古特科夫斯基2018年1月23日
a(n)=p(1,n),其中p(k,n)=p(k+1,n)+p-洛林·李2020年1月28日
求和{n>=0}a(n)/exp(Pi*n)=2^(3/8)*Gamma(3/4)/(Pi^(1/4)*exp(Pi/24))。
求和{n>=0}a(n)/exp(2*Pi*n)=2^(1/2)*Gamma(3/4)/(Pi^(1/4)*exp(Pi/12))。
[这些是φ(exp(-Pi))的倒数)(259148元)和φ(exp(-2*Pi))(A259149号),其中phi(q)是欧拉模函数。参见B.C.Berndt(RLN,第五卷,第326页),以及I.Mező,2013中的公式(13)和(14)-彼得·卢什尼2021年3月13日]
a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(4*n*sqort(3))*(1+Sum_{r>=1}w(r)/n^(r/2)),其中w(r(Pi/6)^(r-2*k)[Cormac O'Sullivan,2023年,第2-3页]-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年3月15日
例子
a(5)=7,因为有7个5的分区,即:{1、1、1和1}、{2、1、1},{2、2、1}、{3、1、10}、}、2,2}、-鲍勃·塞尔科,2014年7月8日
G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+5*x^4+7*x^5+11*x^6+15*x^7+22*x^8+。。。
G.f.=1/q+q^23+2*q^47+3*q^71+5*q^95+7*q^119+11*q^143+15*q^167+。。。
n的分区中最多有a(4)=5个分段分区,正好有4个部分。它们是a(n,4,<4>)、a(n、4,<3,1>)、b(n,4,<2,2>)、c(n,4-,<2,1,1>)、d(n,4.,<1,1,1,1>)。
分区8、8、8和8在a(32,4,<4>)中计数。
分区9,9,9.5在a(32,4,<3,1>)中计数。
分区11,11,5,5在a(32,4,<2,2>)中计数。
分区13,13,5,1在a(32,4,<2,1,1>)中计数。
分区14,9,6,3在a(32,4,<1,1,1,1>)中计数。
a(n奇数,4,<2,2>)=0。
a(12,6,<2,2,2>)=a(6,3,<1,1,1>)=α(6-3,3)=α。孤立分区为3,3,2,2,1,1。
(结束)
MAPLE公司
规范:=[B,{B=集合(集合(Z,卡>=1))},未标记];
[seq(combstruct[count](规范,大小=n),n=0..50)];
with(combstruct):ZL0:=[S,{S=集合(循环(Z,卡>0))},未标记]:seq(计数(ZL0,大小=n),n=0..45)#零入侵拉霍斯2007年9月24日
G: ={P=Set(Set(Atom,card>0))}:combstruct[gfsolve](G,labeled,x);seq(combstruct[计数]([P,G,未标记],大小=i),i=0..45)#零入侵拉霍斯2007年12月16日
#使用函数EULER from Transforms(请参阅页面底部的链接)。
1,op(欧拉([seq(1,n=1..49)])#彼得·卢什尼2020年8月19日
数学
表[PartitionsP[n],{n,0,45}]
a[n_]:=级数系数[q^(1/24)/DedekindEta[Log[q]/(2 Pi I)],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
a[n_]:=系列系数[1/乘积[1-x^k,{k,n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
a[0]:=1;a[n]:=a[n]=块[{k=1,s=0,i=n-1},而[i>=0,s=s-(-1)^k(a[i]+a[i-k]);k=k+1;i=i-(3 k-2)];s] ;地图[a,范围[0,49]](*奥利弗·塞佩尔,2024年6月1日,欧拉之后*)
黄体脂酮素
(岩浆)a:=func<n|NumberOfPartitions(n)>;[0..10]]中的[a(n):n;
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(1/eta(x+x*O(x^n)),n))};
(PARI)/*PARI中的Hardy-Ramanujan-Rademacher精确公式如下(由于它现在内置于numbert命令中,因此不再需要):*/
Psi(n,q)=局部(a,b,c);a=平方(2/3)*Pi/q;b=n-1/24;c=平方英尺(b);(平方(q)/(2*sqrt(2)*b*Pi))*(a*cosh(a*c)-(sinh(a*c)/c))
L(n,q)=如果(q==1,1,sum(h=1,q-1,如果(gcd(h,q)>1,0,cos((g(h,q)-2*h*n)*Pi/q)))
g(h,q)=如果(q<3,0,总和(k=1,q-1,k*(压裂(h*k/q)-1/2))
part(n)=舍入(sum(q=1,max(5,0.5*sqrt(n)),L(n,q)*Psi(n,q))
(PARI){a(n)=数字部分(n)};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(和(k=1,平方(n),x^k^2/prod(i=1,k,1-x^i,1+x*O(x^n))^2,1),n))};
(PARI)f(n)=我的(v,i,k,s,t);v=矢量(n,k,0);v[n]=2;t=0;而(v[1]<n,i=2;而(v[i]==0,i++);v[i]--;s=总和(k=i,n,k*v[k]);而(i>1,i--;s+=i*(v[i]=(n-s)\i));t++);t吨\\托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日
(PARI)a(n)=如果(n<0,0,polceoff(exp(总和(k=1,n,x^k/(1-x^k)/k,x*O(x^n)),n))\\约尔格·阿恩特2010年4月16日
(MuPAD)组合::分区::count(i)$i=0..54//零入侵拉霍斯2007年4月16日
(弧垂)[范围(46)内n的分区数(n)]#零入侵拉霍斯2009年5月24日
(鼠尾草)
@缓存函数
如果n==0:返回1
S=0;J=n-1;k=2
而0≤J:
S=S+T,如果is_add(k//2),则为S-T
如果is_add(k)else为k//2,则J=k
k+=1
返回S
a=二进制递归序列(1,0)
b=欧拉变换(a)
打印([b(n)表示范围(50)内的n)]#彼得·卢什尼2020年11月11日
(哈斯克尔)
导入数据。MemoCombinators(memo2,整数)
a000041 n=a000041_列表!!n个
a000041_list=映射(p'1)[0..],其中
p'=memo2积分p
p=0=1
p k m=如果m<k,则0,否则p’k(m-k)+p’(k+1)m
(Maxima)num_partitions(60,列表)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/
(GAP)列表([1..10],n->大小(OrbitsDomain(SymmetricGroup(IsPermGroup,n),SymmetricGroup(IsPermGroup,n),^))#阿提拉·埃格里·纳吉2014年8月15日
(Perl)使用理论“:all”;my@p=map{partitions($_)}0..100;说“[@p]”#达娜·雅各布森,2015年9月6日
(支架)
#朗球拍
; 总和(k,-inf,+inf)(-1)^k p(n-k(3k-1)/2)
; 对于k超出范围(1-(sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt。
; 因此,下面的循环是有限的。散列避免重复相同的计算。
(定义(pn);n个分区的数量。
(hash-ref h n
(λ ()
(定义r
(+
(让循环((k1)(n(sub1n))(s0))
(如果(<n 0)s
(环路(增加1k)(-n(*3k)1)(如果(奇数?k)(+s(pn))(-s(pn
(让循环((k-1)(n(-n2))(s 0))
(如果(<n 0)s
(环路(sub1k)(+n(*3k)-2)(如果(奇数?k)(+s(pn))(-s(pn
(哈希集!h n r)
r) ))
(定义h(make-hash'((0.1)))
; (for((k(in-range 0 50)))(printf“~s,”(pk))很快就会运行。
(Python)
从sympy.theory导入分区
打印([范围(101)中i的npartitions(i)])#印地瑞尼Ghosh2017年3月17日
A000041列表(len)=DedekindEta(len,-1)
A000041列表(50)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
交叉参考
囊性纤维变性。A000009号,A000079号,A000203号,A001318号,A008284号,A026820号,A065446美元,A078506型,A113685号,2013年12月11日,A000248号.
扩展
Ola Veshta(olaveshta(AT)my-deja.com)的补充评论,2001年2月28日
Dan Fux(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com)的附加评论,2001年4月7日
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链接
Eric Weisstein的《数学世界》,配分函数P
配方奶粉
a(n)=6*LambertW(-1,-Pi/(2*sqrt(2)*3^(3/4)*sqrt(n)))^2/Pi^2四舍五入为最接近的整数。
数学
a[n_]:=6*ProductLog[-1,-Pi/(2*Sqrt[2]*3^(3/4)*Sqrt[n])]^2/Pi^2//四舍五入;
表[a[n],{n,2100}]
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