显示发现的18个结果中的1-10个。
14, 28, 30, 56, 60, 90, 98, 112, 120, 150, 180, 196, 224, 240, 270, 300, 360, 392, 448, 450, 480, 540, 600, 686, 720, 750, 784, 810, 896, 900, 960, 1080, 1200, 1350, 1372, 1440, 1500, 1568, 1620, 1792, 1800, 1920, 2160, 2250, 2400, 2430, 2700, 2744, 2880
扩展
改进定义的修订版；多亏了哈维·P·戴尔，世卫组织注意到最初的定义是不够的。
0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 2, 3, 7, 11, 5, 13, 9, 8, 2, 17, 5, 19, 7, 10, 13, 23, 5, 5, 15, 3, 9, 29, 10, 31, 2, 14, 19, 12, 5, 37, 21, 16, 7, 41, 12, 43, 13, 8, 25, 47, 5, 7, 7, 20, 15, 53, 5, 16, 9, 22, 31, 59, 10, 61, 33, 10, 2, 18, 16, 67, 19, 26, 14, 71, 5, 73
评论
有时称为sopf（n）。
a（n）=n是一个新记录当且仅当n是素数-扎克·塞多夫2009年6月27日
a（n）+2，n>2，是具有n个元素的集上的定向保或逆映射的幺半群的最大子半群的个数。
a（n）+3，n>2，是具有n个元素的集上的定向保或逆部分映射的幺半群的最大子半群的个数。
（结束）
使a（m）=n的最小m，或如果不存在这样的数字m，则为0A064502号（n） ●●●●。唯一不在序列中的整数是1、4和6-伯纳德·肖特2022年2月7日
链接
约翰·巴特尔（Johann Bartel）、R.K.Bhaduri、Matthias Brack和M.V.N.Murthy，关于整数的渐近素分划，arXiv:160906497【数学ph】，2017年。
James East、Jitend Kumar、James D.Mitchell和Wilf A.Wilson，有限变换和划分幺半群的极大子半群，arXiv:1706.04967[math.GR]，2017年。[威尔夫·威尔逊2017年7月21日]
配方奶粉
设n=Product_j素数（j）^k（j），其中k（j。
a（p^e）=p的加法。
L.g.f.：-log（乘积{k>=1}（1-x^prime（k）））=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月6日
Dirichlet g.f.：质数（s-1）*质数-本尼迪克特·欧文，2018年7月11日
例子
a（18）=5，因为18=2*3^2和2+3=5。
a（19）=19，因为19是质数。
a（20）=7，因为20=2^2*5和2+5=7。
MAPLE公司
A008472号：=n->add（d，d=select（i素数，numtheory[除数]（n））：
添加（d，d=数量[因子集]（n））；
数学
前置[Array[Plus@@First[Transpose[FactorInteger[#]]&，100，2]，0]
连接[{0}，其余[Total[Transpose[FactorInteger[#]][[1]]&/@Range[100]]](*哈维·P·戴尔2012年6月18日*）
（*需要7.0+*版）表[DivisorSum[n，#&，PrimeQ[#]&]，{n，75}](*阿隆索·德尔·阿特2014年12月13日*）
表[Sum[p，{p，Select[Divisors[n]，PrimeQ]}]，{n，1，100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年5月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）sopf（n）=局部（fac=因子（n））；总和（i=1，矩阵大小（fac）[1]，fac[i，1]）
（PARI）向量（100，n，vecsum（因子（n）[，1]~））\\德里克·奥尔2015年5月13日
（鼠尾草）
如果is_prime（d），则返回加法（d代表除数（n）中的d）
（弧垂）[范围（1,74）内n的总和（素数因子（n））]#朱塞佩·科波列塔2015年1月19日
（哈斯克尔）
（Magma）[n eq 1 select 0 else&+[p[1]：分解中的p（n）]：[1..100]]中的n//文森佐·利班迪2017年6月24日
（Python）
从症状导入因子
0, 1, 2, 1, 4, 3, 8, 1, 2, 5, 16, 3, 32, 9, 6, 1, 64, 3, 128, 5, 10, 17, 256, 3, 4, 33, 2, 9, 512, 7, 1024, 1, 18, 65, 12, 3, 2048, 129, 34, 5, 4096, 11, 8192, 17, 6, 257, 16384, 3, 8, 5, 66, 33, 32768, 3, 20, 9, 130, 513, 65536, 7, 131072, 1025, 10, 1, 36, 19, 262144, 65, 258
评论
a（n）的二进制表示表示哪个质数除以n，但不表示乘数。a（2）=1、a（3）=10、a（4）=1，a（5）=100、a（6）=11、a（10）=101、a（30）=111等。
（结束）
n的不同素数指数的二元秩，其中整数分区y的二元序由Sum_i2^（y_i-1）给出。对于所有素数指数（具有多重性），我们有A048675号. -古斯·怀斯曼2024年5月25日
配方奶粉
a（p^e）=2^（i-1）的加法，其中p是第i素数-弗拉德塔·乔沃维奇，2003年10月29日
发件人安蒂·卡图恩2017年4月17日、2017年6月19日和2018年12月6日：（开始）
（结束）
a（n^2）=a（n）。
（结束）
例子
a（38）=129，因为38=2*19=素数（1）*素数（8）和129=2^0+2^7（二进制10000001）。
a（140）=13，二进制1101，因为140可以被第一、第三和第四素数整除，2^（1-1）+2^（3-1）+2 ^（4-1）=13。
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a087207=总和。地图（2^）。（减去1）。a049084）。a027748_低
（PARI）a（n）={如果（n==1，0，my（f=factor（n），v=[]）；对于素数（p=2，vecmax（f[，1]），v=concat（v，vecsearch（f[、1]，p）！=0）；）；从数字（Vecrev（v），2））；}\\米歇尔·马库斯2017年6月5日
（PARI）A087207号（n） =vecsum（apply（p->1<<primepi（p-1），factor（n）[，1]））\\比使用sum（…）要快得多-M.F.哈斯勒2017年6月23日
（Python）
来自sympy导入因子primepi
定义a（n）：
因子（n）中i的返回和（2**primepi（i-1））
（方案）
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A000120号,A001221号,A005117号,A008479号,A019565号,A055396号,A285320型,A285321型,A285329型,A285330型,A285332型.
特定值的位置为：A000079号\{1} (1),A000244号\{1} (2),A033845型(3),A000351号\{1} (4),A033846号(5),A033849号(6),A143207号(7),A000420号\{1} (8),A033847号(9),A033850型(10),A033851号(12),147576英镑(14),A147571型(15),A001020号\{1} (16),A033848号(17).
囊性纤维变性。A000720号,A005940号,A018819号,A023506号,A071814号,A225620型,A277319号,A277905型,A304818型,A372689型,A372890型.
作者
米奇·塞文卡（puritan（AT）planetkc.com），2003年10月26日
15, 45, 75, 135, 225, 375, 405, 675, 1125, 1215, 1875, 2025, 3375, 3645, 5625, 6075, 9375, 10125, 10935, 16875, 18225, 28125, 30375, 32805, 46875, 50625, 54675, 84375, 91125, 98415, 140625, 151875, 164025, 234375, 253125, 273375, 295245
数学
排序[压扁[表[表[3^j*5^k，{j，1，10｝]，{k，1，10｝]](*杰弗里·克雷策2014年12月7日*）
选择[Range[300000]，FactorInteger[#][[All，1]]=={3，5}&](*哈维·P·戴尔2022年10月19日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、deleteFindMin、insert）
a033849 n=a033849_列表！！（n-1）
a033849_list=f（单例（3*5）），其中
f s=m:f（插入（3*m）$插入（5*m）s’），其中
（m，s'）=删除查找最小值
10, 20, 40, 50, 80, 100, 160, 200, 250, 320, 400, 500, 640, 800, 1000, 1250, 1280, 1600, 2000, 2500, 2560, 3200, 4000, 5000, 5120, 6250, 6400, 8000, 10000, 10240, 12500, 12800, 16000, 20000, 20480, 25000, 25600, 31250, 32000, 40000, 40960
评论
对k进行编号，使k}1/d=7/10的和{d素除数-贝诺伊特·克洛伊特2002年4月13日
MAPLE公司
如果（numtheory[factorset]（n）={2,5}）那么
返回（n）
数学
取[Union[Times@@@Select[Flatten[Table[Tupples[｛2，5｝，n]，｛n，2，15｝]，1]，Length[Union[#]>1&]]，45](*哈维·P·戴尔2011年12月15日*）
黄体脂酮素
（PARI）是A033846（n）=系数（n）[，1]==[2，5]~\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年2月24日
（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、deleteFindMin、insert）
a033846 n=a033846_列表！！（n-1）
a033846_list=f（单例（2*5）），其中
f s=m:f（插入（2*m）$插入（5*m）s’），其中
（m，s'）=删除查找最小值
（岩浆）[1..100000]|Set（PrimeDivisors（n））eq{2，5}]中的n:n//马吕斯·A·伯蒂2019年5月10日
φ（n）/n=Product_{p|n}（1-1/p）的分母；φ（n）=A000010号（n） ，Euler totient函数。
+10
23
1, 2, 3, 2, 5, 3, 7, 2, 3, 5, 11, 3, 13, 7, 15, 2, 17, 3, 19, 5, 7, 11, 23, 3, 5, 13, 3, 7, 29, 15, 31, 2, 33, 17, 35, 3, 37, 19, 13, 5, 41, 7, 43, 11, 15, 23, 47, 3, 7, 5, 51, 13, 53, 3, 11, 7, 19, 29, 59, 15, 61, 31, 7, 2, 65, 33, 67, 17, 69, 35, 71, 3, 73, 37, 15, 19, 77, 13, 79, 5, 3
评论
a（n）=2 iff n=2^k（k>0）；否则a（n）是奇数。如果p是素数，a（p）=p；反之则为假，例如：a（15）=15。值得注意的是，这个序列经常与A006530号，最大素数P除以n。定理：a（n）=P当且仅当n中的每个素数P<P都有P |（q-1）的素数q-弗兰兹·弗拉贝克2005年8月30日
配方奶粉
对于所有n>=1，a（2^n）=2。
（结束）
n/phi（n）的渐近平均值：lim_{m->oo}（1/m）*Sum_{n=1..m}a（n）/A076512号（n） =zeta（2）*zeta（3）/zeta（6）(A082695号). （结束）
例子
a（10）=10/gcd（10，φ（10））=10/gcd（10,4）=10/2=5。
数学
表[分母[EulerPhi[n]/n]，{n，81}](*阿隆索·德尔·阿特2011年9月3日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=n/gcd（n，eulerphi（n））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2013年2月20日
（PARI）
与Schroeder数相关的行读取的三角形数组：T（1，k）=1；如果k<n，T（n，k）=0；T（n，k）=T（n、k-1）+T（n-1、k-1）+T（n-1，k）。
+10
21
1, 1, 2, 1, 4, 6, 1, 6, 16, 22, 1, 8, 30, 68, 90, 1, 10, 48, 146, 304, 394, 1, 12, 70, 264, 714, 1412, 1806, 1, 14, 96, 430, 1408, 3534, 6752, 8558, 1, 16, 126, 652, 2490, 7432, 17718, 33028, 41586, 1, 18, 160, 938, 4080, 14002, 39152, 89898, 164512, 206098
评论
A106579号在某种程度上是这个序列的更好版本，但由于这是首先输入的，它将是这个三角形的主要输入项。
这个三角形的对角线是主对角线的自演变A006318号: 1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, ... . -菲利普·德莱厄姆2005年5月15日
注意，对于这个三角形的T（n，k）项，n表示列，k表示行。
T（n，k）是具有两列的标准半标准杨表的数量，其中一列的高度为k，另一列的长度为n。通过对所有最小值的实例执行jeu de taquin删除，可以看到递归。（如果有两个最小值的实例，删除jeu de taquin将总是首先缩短右列，然后缩短左列。）-雅各布邮报，2018年6月19日
链接
詹姆斯·伊斯特和尼古拉斯·哈姆，Z^2的格路和子幺半群，arXiv:1811.05735[math.CO]，2018年。
G.Kreweras，细分市场的繁荣1973年，巴黎大学统计研究所，Cahier 20，Cahiers Bureau Universityaire Recherche Opérationnelle。
G.Kreweras，细分市场的繁荣巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第20号（1973年）。（带注释的扫描副本）
J.W.Meijer，棋盘上的著名数字，《新星学报》，第4卷，第4期，2010年12月。第589-598页。
配方奶粉
作为右上三角：如果k>=n>=0，则a（n，k）=a（n、k-1）+a（n-1、k-1。
G.f.：总和T（n，k）*x^n*y^k=（1-x*y-（x^2*y^2-6*x*y+1）^（1/2））/（x*（2*y+x*y-1+（x^2*y^2-6*x*y+1）^（1/2）））-弗拉德塔·乔沃维奇2003年2月16日
的另一个版本A000007号三角形[0,2,1,2,1,2,2,1,1,1,2，…]=1,1,0,1,2,0,1,4,6,0,16,22,0,1。。。，其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号.
（t（n，k）作为下三角）
t（n，k）=（n，k-1）+t（n-1，k-1。
和{k=1..n-1}（-1）^（k-1）*t（n，k）=（-1）*A001003号（n-1），n>1。
和{k=1..n}（-1）^（k-1）*t（n，k）=A080243号（n-1）。
总和{k=1..层（（n+1）/2）}t（n-k+1，k）=A026003号（n-1）。（结束）
例子
三角形起点：
1;
1, 2;
1, 4, 6;
1, 6, 16, 22;
1, 8, 30, 68, 90;
1, 10, 48, 146, 304, 394;
1, 12, 70, 264, 714, 1412, 1806;
MAPLE公司
T:=proc（n，k）选项记忆；如果n=1，则返回（1）fi；如果k<n，则返回（0）fi；T（n，k-1）+T（n-1，k-1#约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日，2013年7月17日修订
数学
T[1，_]：=1；温度[n_，k_]/；（k<n）：=0；T[n_，k_]：=T[n，k]=T[n，k-1]+T[n-1，k-1]+T[n-1，k]；表[T[k，n]，{n，15}，{k，n}]//扁平
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a033877 n k=a033877_tabl！！不！！k个
a033877_行n=a033877 _ tabl！！n个
a033877_tabl=迭代
（\row->scanl1（+）$zipWith（+）（[0]++行）（行++[0]））[1]
（鼠尾草）
@cached_函数
定义prec（n，k）：
如果k==n：返回1
如果k==0：返回0
返回prec（n-1，k-1）-2*sum（（2..n-k+1）中i的prec（n，k+i-1））
return[（-1）^k*prec（n，n-k）for k in（0..n-1）]
（SageMath）
@缓存函数
如果（k<0或k>n）：返回0
elif（k==1）：返回1
else：返回t（n，k-1）+t（n-1，k-1
压扁（[[t（n，k）代表范围（1，n+1）中的k]代表范围（1,16）中的n]）#G.C.格鲁贝尔2023年3月23日
（岩浆）
函数t（n，k）
如果k le 0或k gt n，则返回0；
elif k eq 1，然后返回1；
否则返回t（n，k-1）+t（n-1，k-1）+t（n-1，k）；
结束条件：；
末端函数；
[t（n，k）：[1..n]中的k，[1..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年3月23日
1, 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 2, 2, 10, 1, 12, 3, 8, 1, 16, 1, 18, 2, 4, 5, 22, 1, 4, 6, 2, 3, 28, 4, 30, 1, 20, 8, 24, 1, 36, 9, 8, 2, 40, 2, 42, 5, 8, 11, 46, 1, 6, 2, 32, 6, 52, 1, 8, 3, 12, 14, 58, 4, 60, 15, 4, 1, 48, 10, 66, 8, 44, 12, 70, 1, 72, 18, 8, 9, 60, 4, 78, 2, 2, 20, 82, 2, 64, 21
评论
φ（n）/n的分子=Prod_{p|n}（1-1/p）-弗朗茨·弗拉贝克，2005年8月26日
对于n>=2，a（n）/A109395号（n） =与不确定性{1/p_1，…，1/p_M（n）}的初等对称函数（多项式）sigma_r的和（（（（-1）^r）*sigma_r，r=0..M（n）），如果n=prod（（p_j）^e（j），j=1..M（n）），其中M（n）=A001221号（n） σ0=1。
接下来将上述给定乘积展开为φ（n）/n。
这个有理数列的第n个成员1/2，2/3，1/2，4/5，1/3，6/7，1/2，2/3，2/5，。。。也是（2/n^2）*和（k，其中1<=k<n和gcd（k，n）=1），n>=2。
因此，这个标度和只取决于n的不同素因子。
数学
表[分母[（n-EulerPhi[n]）/EulerPhi[n]]，{n，80}](*阿隆索·德尔·阿特2011年5月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）向量（80，n，分子（eulerphi（n）/n））\\米歇尔·马库斯2015年7月4日
（岩浆）[分子（EulerPhi（n）/n）：[1..100]]中的n//文森佐·利班迪2015年7月4日
1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 5, 10, 1, 2, 1, 12, 1, 6, 1, 6, 1, 1, 9, 16, 3, 2, 1, 18, 11, 4, 1, 10, 1, 10, 3, 22, 1, 2, 1, 4, 15, 12, 1, 2, 7, 6, 17, 28, 1, 6, 1, 30, 5, 1, 9, 18, 1, 16, 21, 12, 1, 2, 1, 36, 3, 18, 5, 22, 1, 4, 1, 40, 1, 10, 13, 42, 27, 10, 1, 6, 7, 22
评论
a（n）是n的素数因子的1与第一个差之和的乘积，对于n=1或素数n，a（n）=1-迈克尔·德弗利格2023年11月12日。
a（n）=2如果n正好有2和3作为素因子：
a（n）＝4，当n恰好具有2和5作为素因子时：
配方奶粉
a（n）=f（n，1,1），其中f（n、q、y）=如果n=1，则y else如果q=1，那么f（n/p、p、1））else f（n/p、p，y*（p-q+1））与p=A020639号（n） =n的最小质因子。
例子
a（86）=a（43*2）=43-2+1=42；
a（138）=a（23*3*2）=（23-3+1）*（3-2+1）=42；
a（172）=a（43*2*2）=（43-2+1）*（2-2+1）=42；
a（182）=a（13*7*2）=（13-7+1）*（7-2+1）=42；
a（276）=a（23*3*2*2）=（23-3+1）*（3-2+1）*；
a（330）=a（11*5*3*2）=（11-5+1）*（5-3+1）*（3-2+1）=42。
数学
表[Times@@（Differences[Flatten[Table[First[#]，{Last[#]}]&/@FactorInteger[n]]+1），{n，100}](*哈维·P·戴尔2011年12月7日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a143201 1=1
a143201 n=产品$map（+1）$zipWith（-）（尾部pfs）pfs
其中pfs=a027748_row n
21, 63, 147, 189, 441, 567, 1029, 1323, 1701, 3087, 3969, 5103, 7203, 9261, 11907, 15309, 21609, 27783, 35721, 45927, 50421, 64827, 83349, 107163, 137781, 151263, 194481, 250047, 321489, 352947, 413343, 453789, 583443, 750141, 964467
参考文献
J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目189，第57页，《椭圆》，巴黎，2008年。
数学
选择[Range[10^6]，Union[FactorInteger[#][[；；，1]]=={3，7}&](*哈维·P·戴尔2023年3月1日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、deleteFindMin、insert）
a033850 n=a033850_列表！！（n-1）
a033850_list=f（单例（3*7）），其中
f s=m:f（插入（3*m）$插入（7*m）s’），其中
（m，s'）=删除查找最小值
搜索在0.015秒内完成
| 
