显示找到的13个结果中的1-10个。
使Phi(k,x)是一个分圆多项式,其中包含绝对值大于1的系数。
+10 11
105, 165, 195, 210, 255, 273, 285, 315, 330, 345, 357, 385, 390, 420, 429, 455, 495, 510, 525, 546, 555, 561, 570, 585, 595, 609, 615, 627, 630, 645, 660, 665, 690, 705, 714, 715, 735, 759, 765, 770, 777, 780, 795, 805, 819, 825, 840, 855
评论
以前的名字是:包含绝对值大于1的系数的分圆多项式的阶。
术语是复合的。
如果k是序列的项,那么对于m>0,k*m也是。
让这个序列的一个本原项p是序列中没有除数的项。那么p是一个奇数平方自由数。(结束)
MAPLE公司
isA013590:=进程(n)
数值理论[分圆](n,x);
{系数(%,x)};
地图(abs,%);
如果%减去{1}={},则
假;
其他的
真;
结束条件:;
结束进程:
从1到n do
如果是A013590(n),则
打印(n);
结束条件:;
数学
S[n]:=对于[j=1;t=0,j<n,j++,t=Cases[系数表[分圆[j,x],x];抗体[k]>1];如果[Length[t]=0,打印[j]]];序号[856]
f[n_]:=Max@Abs@CoefficientList[分圆[n,x],x];选择[范围@1000,f@#>1&](*罗伯特·威尔逊v*)
选择[范围[900],最大[绝对[系数列表[分圆[数,x],x]]>1&](*哈维·P·戴尔2013年3月13日*)
黄体脂酮素
(PARI)是(n)=对于(k=0,n,如果(abs(polceoff(polcyclo(n),k))>1,返回(n));0
对于(n=1000,if(is(n),print1(n,“,”))\\德里克·奥尔2015年4月22日
作者
Peter T.Wang(peterw(AT)cco.caltech.edu)
1, 105, 385, 1365, 1785, 2805, 3135, 6545, 10465, 11305, 17255, 20615, 26565, 40755, 106743, 171717, 255255, 279565, 327845, 707455, 886445, 983535, 1181895, 1752465, 3949491, 8070699, 10163195, 13441645, 15069565, 30489585, 37495115, 40324935
链接
John Abbott和Nico Mexis,分圆因子与LRS简并,arXiv:2403.08751[math.AC],2024。见第12页。
洛拉·汤普森,分圆统计,乌得勒支大学(荷兰,2024年)。见第6、14页。
数学
r=0;执行[If[#>r,r=#;Print[n]]&@Max@Abs@CoefficientList[Cyclotomic[n,x],{n,10^4}](*迈克尔·德弗利格,2024年5月20日*)
黄体脂酮素
(PARI)打印1(r=1);对于(n=2,1e4,t=vecmax(abs(Vec(polcyclo(n)));如果(t>r,r=t;打印1(“,”n))\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月28日
分圆多项式Phi_n(x)中负系数的位置,从二进制转换为十进制。(最低有效位(位-0)中的常数项,下一位(位-1)中的x项,依此类推)。
+10 6
0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 10, 0, 4, 0, 42, 146, 0, 0, 8, 0, 68, 2322, 682, 0, 16, 0, 2730, 0, 1092, 0, 56, 0, 0, 599186, 43690, 8726850, 64, 0, 174762, 9585810, 4112, 0, 792, 0, 279620, 2101256, 2796202, 0, 256, 0, 32800, 2454267026, 4473924, 0, 512
评论
Maple程序Phi_pos_terms和Phi_neg_terms是根据Lam和Leung论文中给出的公式建模的,它们计算所有整数x>1和所有n的正确结果,最多有两个不同的奇数素数因子(即,最多n=104)。其他程序如A063696号和A063694号.
链接
D.M.Bloom,关于分圆多项式的系数阿默尔。数学。《月刊》第75期,第372-377页,1968年。
H.伦斯特拉,统一根的消失和,在程序中。200周年大会Wiskundig Genootschap(Vrije Univ.Amsterdam,1978),第二部分,第249-268页。
MAPLE公司
带有(数字理论);[seq(Phi_neg_terms(j,2),j=0..104)];
Phi_neg_terms:=进程(n,x)局部a,m,p,q,e,f,r,s;如果(n<2),则返回(n);fi;a:=op(2,ifactors(n));m:=nops(a);p:=a[1];e:=a[1][2];如果(1=m),则返回(0);fi;如果(2=m),则q:=a[2][1];f:=a[2];r:=inv_p_mod_q(p,q)-1;s:=inv_p_mod_q(q,p)-1;
返回(x^(s+1)*(q^f)*(p^(e-1)))*x^ `如果`((q-2)=r,1,(((x^((q-r-1)*((p^e)*(q^(f-1))))-1)/(x^1((p*1))-1));fi;
如果((3=m)和(2=p)),则如果(1=e),则返回(every_other_pos(Phi_neg_terms(n/2,x),x,0)+every_oter_pos(Phi_pos_terms;否则返回(扩展(Phi_neg_terms((n/(2^(e-1))),x),x,2^;fi;else printf(`Cannot handle argument%a with>=3 distinct odd prime factors!\n`,n);返回(0);fi;结束;
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=我的(p);如果(n<1,0,p=polcyclo(n));总和(i=0,n,2^i*(polceoff(p,i)<0))\\米歇尔·马库斯2016年3月5日
4, 1, 165, 595, 1785, 1785, 2805, 3135, 6545, 6545, 10465, 10465, 10465, 10465, 10465, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 15015, 11305, 20615, 17255, 20615, 20615, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565
评论
铃木证明了每个n都存在一个(n)。沃恩证明了有无穷多个k,其中a(n)=k,n>exp(exp(log 2*log k/log log k))。
链接
铃木次郎,关于分圆多项式的系数,程序。日本科学院。序列号。数学。科学。63:7(1987),第279-280页。
R.C.沃恩,分圆多项式系数的界密歇根州数学。J.21(1974),289-295(1975)。
例子
Phi(165)=x^80+x^79+x^78-x^75-x^74-x^73-x^69-x^68-x^67+x^65+2x^64+2x^63+x^62-x^60-x^59-x^58-x^54-x^53-x^52+x^50+2x^49+2x^48+2x^47+x^46-x^44-x^43-x^42-x^41-x^40-x^39-x^38-x^37-x^36+x^34+2x^33+2x ^32+2x^31+x^30-x^28-x^27-x^26-x^22-x^21-x^20+x^18+2x^17+2x^16+x^15-x^13-x^12-x^11-x^7-x^6-x^5+x^2+x+1,其中2是x^16的系数,这是出现2的最小k,因此a(2)=165。
MAPLE公司
N: =40:计数:=0:A:=数组(0..N):A[0]:=4:
当计数<N do时,从1开始计算k
S: =选择(t->t::posint和t<=N和A[t]=0,{系数(数值理论:-分圆(k,x),x)}):
如果S<>{},则
A[转换(S,列表)]:=k;
计数:=计数+nops(S);
fi(菲涅耳)
日期:
数学
表[k=1;而[!MemberQ[系数表[分圆[k,x],x]、n],k++];k、 {n,0,9}](*迈克尔·德弗利格,2015年9月29日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=我的(k,v);while(!setsearch(Set(Vec(polcyclo(k++))),n),);k个
扩展
修正了a(22);更多术语来自满山圣一2018年12月22日
数n,使得n阶的分圆多项式具有非零系数,该非零系数不出现在任何低阶的分圆多项式中。
+10 5
1, 105, 165, 385, 595, 1365, 1785, 2145, 2805, 3135, 6545, 7917, 10465, 11305, 15015, 17255, 20615, 25935, 26565, 40755, 106743, 171717, 255255, 279565, 285285, 327845, 350455, 373065, 463505
例子
分圆多项式循环(105)是第一个包含非零系数的循环,该系数不是1或-1:它包含-2。然后,对于j=165,出现系数2,以此类推。
MAPLE公司
with(numtheory):me:={}:对于从1到10000的j,做h:={coefs(分圆(j,x))}:如果我联合h<>me,则打印(j,h减去me);me:=我的联合h;fi;日期:
数学
coes={};Reap[For[j=1,j<=10000,j++,h=Select[CoefficientList[Cyclotomic[j,x],x]0 &]; u=联合[coes,h];如果[u!=coes,打印[j];母猪[j];coes=u]]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2012年11月19日,Maple之后*)
作者
克里斯托夫·拉姆(Lamm(AT)math.uni-bonn.de)
分圆多项式Phi_n(x)中正系数的位置,从二进制转换为十进制。
+10 5
0, 2, 3, 7, 5, 31, 5, 127, 17, 73, 21, 2047, 17, 8191, 85, 297, 257, 131071, 65, 524287, 273, 4681, 1365, 8388607, 257, 1082401, 5461, 262657, 4369, 536870911, 387, 2147483647, 65537, 1198665, 87381, 17454241, 4097, 137438953471, 349525
评论
Maple程序Phi_pos_terms和Phi_neg_terms是根据Lam和Leung论文中给出的公式建模的,它们计算所有整数x>1和所有n的正确结果,最多有两个不同的奇数素数因子(即,最多n=104)。其他程序如A063698号和A063694号.
链接
D.M.布鲁姆,关于分圆多项式的系数阿默尔。数学。《月刊》第75期,第372-377页,1968年。
H.W.Lenstra,消失的统一根之和,在程序中。200周年大会Wiskundig Genootschap(Vrije Univ.Amsterdam,1978),第二部分,第249-268页。
MAPLE公司
带有(数字理论);[seq(Phi_pos_terms(j,2),j=0..104)];
inv_p_mod_q:=(p,q)->op(2,op(1,msolve(p*x=1,q));#求p的逆模q。
扩张:=proc(nn,x,e)局部n,i,s;n:=nn;i:=0;s:=0;而(n>0)做s:=s+((x^e)^i)*(n mod x));n:=地板(n/x);i:=i+1;od;申报表;结束;
Phi_pos_terms:=进程(n,x)局部a,m,p,q,e,f,r,s;如果(n<2),则返回(x);fi;a:=op(2,ifactors(n));m:=nops(a);p:=a[1];e:=a[1][2];如果(1=m),则返回(((x^(p^e))-1)/((x ^(p ^(e-1)));fi;如果(2=m),则q:=a[2][1];f:=a[2];r:=inv_p_mod_q(p,q)-1;s:=inv_p_mod_q(q,p)-1;RETURN((`if`(0=s,1,(((x^((s+1))*((q^f)*(p^(e-1)))))-1)/((x^((q^f)*(p^(e-1)))-1)))*(`if`(0=r,1,((x^(r+1)*((p^e)*(q^(f-1)))))-1)/((x^(((p^e)*(q^(f-1))))-1))))));fi;如果((3=m)和(2=p)),则如果(1=e),则返回(every_other_pos(Phi_pos_terms(n/2,x),x,0)+every_oter_pos(Phi_neg_terms;否则返回(扩张(Phi_pos_terms((n/(2^(e-1))),x),x,2^(e-1)));fi;else printf(`无法使用三个或更多不同的奇素因子处理参数%a!\n`,n);返回(0);fi;结束;
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=局部(p);如果(n<1,0,p=polcyclo(n));总和(i=0,n,2^i*(polceoff(p,i)>0))
4, 1, 105, 385, 1365, 2145, 2805, 3135, 6545, 7917, 10465, 10465, 10465, 10465, 10465, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 15015, 17255, 17255, 17255, 20615, 25935, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565
链接
铃木次郎,关于分圆多项式的系数,程序。日本科学院。序列号。数学。科学。63:7(1987),第279-280页。
R.C.Vaughan,分圆多项式系数的界,密歇根数学。J.21(1974),289-295(1975)。
例子
Phi(105)=x^48+x^47+x^46-x^43-x^42-2x^41-x^40-x^39+x^36+x^35+x^34+x^33+x^32+x^31-x^28-x^26-x^24-x^22-x^20+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12-x^9-x^8-2x^7-x^6+x^5+x^2+x+1,其中-2是x^7的系数),这是出现-2的最小k,因此a(2)=105。
数学
表[k=1;而[!MemberQ[系数表[Cyclotomic[k,x],-n],k++];k、 {n,0,9}](*迈克尔·德弗利格2015年9月29日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=我的(k,v);while(!setsearch(集合(Vec(polcyclo(k++))),-n),);k个
分圆多项式Phi_n(x)中非零系数的位置,从二进制转换为十进制。
+10 4
2, 3, 3, 7, 5, 31, 7, 127, 17, 73, 31, 2047, 21, 8191, 127, 443, 257, 131071, 73, 524287, 341, 7003, 2047, 8388607, 273, 1082401, 8191, 262657, 5461, 536870911, 443, 2147483647, 65537, 1797851, 131071, 26181091, 4161, 137438953471, 524287
评论
当n为素数时,a(n)=2^n-1。似乎a(n)>=A005420号(n) 对于所有n(检查到200),除了{11,12,15}和任何时候,所有1<n<20都相等A005420号(n) =2^n-1(即,2^n-1是素数)-M.F.哈斯勒2007年4月30日
MAPLE公司
[seq(Phi_pos_terms(j,2)+Phi_neg_terms;
数学
a[n_]:=FromDigits[If[#!=0,1,0]和/@系数列表[Cyclotomic[n,x],x],2];a[0]=2;表[a[n],{n,0,38}](*Jean-François Alcover公司,2012年12月11日*)
黄体脂酮素
(PARI)A063670美元(n) =局部(p=polcyclo(n+!n));如果(n,和(i=0,n,(polceoff(p,i)<>0)<<i),2)\\M.F.哈斯勒2007年4月30日
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2
评论
基于Mathematica帮助文件ref/Factor-Neat Examples中的注释。
x^n-1的第一个因式分解中,系数为2,表示n=105。
例子
a(4)=1,因为x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1),这三项的最大系数是1。
第一次出现2是在n=105时,其中因子分解为:
(x-1)*(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)*(x^4+x^3+x^2+x+1)*
(x^24-x^23+x^19-x^18+x^17-x^16+x^14-x^13+x^12-x^11+x^10-x^8+x^7-x^6+x^5-x+1)*
(x^2+x+1)*(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)*
(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)*
(x^48+x^47+x^46-x^43-x^42-2*x^41-x^40-x^39+x^36+x^35+x^34+x^33+x^32+x^31-x^28-x^26-x^24-x^22-x^20+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12-x^9-x^8-2*x^7-x^6-x^5+x^2+x+1)-N.J.A.斯隆2008年4月18日
数学
表[Max[Abs[Flatten[Coefficient List[Transpose[FactorList[x^i-1]][[1],x]]],{i,1,1000}]
黄体脂酮素
(PARI)a(n)={my(f=系数(x^n-1));vecmax(向量(#f~,k,vecmax(应用(x->abs(x),Vec(f[k,1]))));}\\米歇尔·马库斯,2018年12月5日
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 7, 8, 8, 10, 13, 12, 10, 12, 9, 11, 15, 13, 13, 14, 15, 13, 16, 15, 15, 14, 16, 24, 17, 21, 21, 16, 22, 28, 26, 23
评论
n≤30的术语来自Gallot等人论文的表1,该论文引用了Moller的结果。顺序A138475型给出了产生该最大系数的分圆多项式的最小阶。下面的Mathematica函数coef[k,n]给出了一种非常快速的方法(由于Grytczuk和Tropak),用于计算分圆多项式Phi(n,x)中x ^k以下的系数。
a(n)>n为118的第一个n。对于n>143,序列似乎是单调的。通过详尽的搜索找到了多达n=128的术语;随后的术语是通过一种速度快得多的爬山方法发现的。
参考文献
A.Grytczuk和B.Tropak,确定分圆多项式系数的数值方法,计算数论(Debrecen,1989),15-19,de Gruyter,柏林,1991。
链接
John Abbott和Nico Mexis,分圆因子与LRS简并,arXiv:2403.08751[math.AC],2024。见第8-10页。
伊夫·加洛特(Yves Gallot)、彼得·莫雷(Pieter Moree)和惠布·霍默索姆(Huib Hommersom),分圆多项式系数的值分布,arXiv:0803.2483[math.NT],2008年。
例子
对于分圆多项式Phi(105,x),得到了a(7)=2,其项为-2x^7。
数学
coef[k_,n_]:=模[{t,b=表[0,{k+1}]},t=-MoebiusMu[n]*表[g=GCD[n,k-m];MoebiusMu[g]*EulerPhi[g],{m,0,k-1}];b[[1]]=1;Do[b[[j+1]]=取[b,j]。取[t,-j]/j,{j,k}];b] ;表[mx=1;r=PrimePi[k]+1;mnN=素数[r];ps=反向[Prime[范围[r]]];Do[d=整数位数[i,2,r];n=次数@@Pick[ps,d,1];c=绝对值[系数[k,n][[-1]]];如果[c==mx,mnN=Min[mnN,n],如果[c>mx,mx=c;mnN=n]],{i,2^r-1}];mx,{k,2,20}]
作者
T.D.诺伊,2008年3月19日,2008年4月14日,2009年2月16日
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