显示发现的39个结果中的1-10个。
1, 3, 10, 15, 28, 45, 78, 105, 153, 190, 253, 300, 325, 435, 465, 528, 595, 630, 780, 903, 1128, 1275, 1830, 2145, 2415, 2485, 2628, 3160, 3403, 3570, 3655, 3828, 4095, 4753, 4950, 5050, 5253, 5460, 5995, 6105, 6670, 7503, 8515, 9180, 9453, 9730, 10440, 11175
评论
三角数T(m)=m(m+1)/2个指数m在A027861美元.T(m),使m^2+(m+1)^2是素数。
MAPLE公司
选择(x->i素数(4*x+1),[i*(i+1)/2$i=0..400])[]#阿洛伊斯·海因茨2024年2月24日
4, 12, 16, 28, 36, 40, 52, 60, 72, 88, 96, 100, 108, 112, 136, 148, 156, 172, 180, 192, 196, 228, 232, 240, 256, 268, 276, 280, 292, 312, 316, 336, 348, 352, 372, 388, 396, 400, 408, 420, 432, 448, 456, 460, 508, 520, 540, 556, 568, 576, 592, 600, 612, 616
评论
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
数学
aa={};Do[If[Mod[Prime[n],4]==1,AppendTo[aa,Prime[n]-1]],{n,1,200}];aa公司
3, 9, 18, 24, 48, 69, 93, 102, 108, 144, 168, 177, 213, 249, 258, 273, 282, 324, 357, 363, 387, 399, 438, 444, 504, 507, 573, 609, 669, 678, 738, 759, 762, 777, 807, 864, 867, 909, 942, 948, 963, 1014, 1068, 1074, 1182, 1197, 1248, 1299, 1389, 1392, 1413, 1488
评论
所有术语都是3的倍数。
数字k,使4*k+1和16*k+5都是质数-文森佐·利班迪2010年12月13日
这些k不能包含最低有效数字0、1、5或6-J.M.贝戈2011年7月6日
黄体脂酮素
(Magma)[n:n在[0..3000]| IsPrime(4*n+1)和IsPrime(16*n+5)]//文森佐·利班迪2010年12月13日
13, 37, 73, 97, 193, 277, 373, 409, 433, 577, 673, 709, 853, 997, 1033, 1093, 1129, 1297, 1429, 1453, 1549, 1597, 1753, 1777, 2017, 2029, 2293, 2437, 2677, 2713, 2953, 3037, 3049, 3109, 3229, 3457, 3469, 3637, 3769, 3793, 3853, 4057, 4273, 4297, 4729
评论
素数p的形式为4m+1,因此q=4p+1也是素数。m的对应值为:3,9,18,24,48,69,9310210814416817721324925828324357363387399438,44450450757360969678738759762777807864867909-均为3的倍数。q的对应值为:531492933897731109149316371733230926932837341339894133437345175189,5717,5813,6197,6389,7013,7109,8069,8117,9173,9749,10709,10853,11813.
数学
选择[Prime[Range[700]]、IntegerQ[(#-1)/4]和&PrimeQ[4#+1]&](*哈维·P·戴尔2022年5月15日*)
0, 1, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 4, 0, 1, 3, 5, 3, 5, 6, 4, 3, 0, 7, 6, 7, 0, 6, 4, 2, 8, 6, 5, 4, 2, 8, 3, 8, 9, 0, 1, 7, 8, 3, 10, 9, 2, 5, 10, 9, 6, 0, 11, 2, 8, 9, 12, 6, 12, 11, 0, 2, 7, 13, 4, 9, 12
评论
2*a(n)+1=A002972号(n) ,n>=1。例如,n=4:2*2+1=5。
毕达哥拉斯素数:形式为4*k+1的素数。 (原名M3823 N1566)
+10 483
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617
评论
在字段Q(sqrt(-1))中分解的有理素数-N.J.A.斯隆2017年12月25日
-1是素数p的二次剩余模当且仅当p在这个序列中。
如果奇数素数p,q中至少有一个属于序列,那么根据高斯互易定律,x^2=p(mod q),x^2=q(mod p)的两个或两个同余都是可解的-Lekraj Beedassy公司2003年7月17日
奇素数使得二项式(p-1,(p-1)/2)==1(mod p)-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月7日
a(n)的平方是其他两个平方的平均值。这个事实产生了一类b=a(n)的一元多项式x^2+bx+c,它将对整数进行因子分解,而与c的符号无关。参见A114200个.-欧文·默滕斯(Owen Mertens(AT)Misouristate.edu),2005年11月16日
同样,对于形式为n^p-(n-1)^p的Nexus数,最后一个数字总是1-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月10日
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
如果4*k+1是素数,k^k-1可以被4*k+14整除(参见Dickson参考文献)-加里·德特利夫斯2013年5月22日
形式4*k+1和e>=1的p素数的p^e是2个非零平方和-乔恩·佩里2014年11月23日
素数p使得某些整数q的等腰三角形(p,p,q)的面积是一个整数-米歇尔·拉格诺2014年12月31日
这是所有素数的集合,它们是两个平方的平均值-理查德·福伯格2015年3月1日
数字k是这样的((k-3)!!)^2==-1(mod k)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
参考文献
David A.Cox,“形式x^2+ny^2的素数”,威利出版社,1989年。
L.E.Dickson,“数字理论的历史”,切尔西出版公司,1919年,第一卷,第386页
L.E.Dickson,《数字理论史》,卡内基研究所,Publ。第256号,第二卷,华盛顿特区,1920年,第227页。
M.du Sautoy,《初级音乐》,第四庄园/哈珀柯林斯出版社,2003年;见第76页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社,纽约,1986年,1987年修订版。见第90页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准应用数学局。系列55,第十次印刷,1972年。
Peter R.J.Asveld,论邮政标签制度EATCS公报36(1988),96-102。
A.Granville和G.Martin,素数竞赛,arXiv:math/0408319[math.NT],2004年。
欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
卢卡斯·拉卡萨(Lucas Lacasa)、巴托洛梅·卢克(Bartolome Luque)、伊格纳西奥·戈梅斯(Ignacio Gómez)和奥克塔维奥·米拉蒙特斯(Octavio Miramontes),关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
R.C.Laubenbacher和D.J.Pengelley,艾森斯坦对二次互易定理的几何证明,摘自:Anderson M、Katz V、Wilson R编辑。谁给了你Epsilon?:以及其他数学史故事。光谱。美国数学协会;2009:309-312.
配方奶粉
p^2-1=12*总和{i=0..floor(p/4)}楼层(sqrt(i*p)),其中p=a(n)=4*n+1。[西拉里]
产品{k>=1}(1+1/A002145号(k) )/(1+1/a(k))=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/A002145号(k) )/(1-1/a(k))=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381783533365954616181605555481…(结束)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*n*s)!*zeta(n*s)*abs(EulerE(n*s-1))/(Pi^(n*s*2^(2*n*s/n、 s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月21日
Legendre符号(-1,a(n))=+1,对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2021年3月3日
例子
下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
p a b t1 c d t 2 t 3 t 4
---------------------------------
5 1 2 1 3 4 4 3 6
13 2 3 3 5 12 12 5 30
17 1 4 2 8 15 8 15 60
29 2 5 5 20 21 20 21 210
37 1 6 3 12 35 12 35 210
41 4 5 10 9 40 40 9 180
53 2 7 7 28 45 28 45 630
...
MAPLE公司
a:=[];对于从1到500的n,do如果是i素数(4*n+1),那么a:=[op(a),4*n+1];fi;日期:A002144号:=n->a[n];
#备选方案
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
5;
其他的
对于来自procname(n-1)+4x4do的a
如果是质数(a),则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:
数学
选择[4*Range[140]+1,PrimeQ[#]&](*斯特凡·斯坦纳伯格,2006年4月16日*)
选择[Prime[Range[150]],Mod[#,4]==1&](*哈维·P·戴尔2021年1月28日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a002144 n=a002144_列表!!(n-1)
a002144_list=过滤器(==1)。a010051)[1、5…]
(岩浆)[0..200]|IsPrime(a)中的[a:n,其中a是4*n+1]//文森佐·利班迪2014年11月23日
(PARI)选择(p->p%4==1,素数(1000))
(PARI)
A002144号_next(p=A2144[#A2144])={until(i素数(p+=4),);p}/*NB:p的形式必须为4k+1。超过素数极限,这比素数(p=…,p%4==1&&return(p))要快得多*/
A2144=列表(5);A002144号(n) ={while(#A2144<n,列表输入(A2144,A002144号_next()));A2144[编号]}
(Python)
从sympy导入质数
A002144号=[n表示n in(prime(x)表示x in range(1,10**3))if not(n-1)%4]
(Python)
从sympy导入isprime
打印(列表(过滤器(isprime,范围(1,618,4)))#迈克尔·布拉尼基2021年5月13日
(SageMath)
如果x%4==1,则返回[prime_range(5,n+1)中x的x
交叉参考
囊性纤维变性。A002145号,A002314号,A002476号,A002972号,A002973号,A003658号,A004431号,A007519号,A010051型,A016813号,A076339号,A094407号.
形式为4*k+3的素数。 (原名M2624 N1039)
+10 338
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 523, 547, 563, 571
评论
或者,奇数素数p,使得-1不是平方模p,即勒让德符号(-1/p)=-1。[LeVeque I,第66页]-N.J.A.斯隆2008年6月28日
自然素数也是高斯素数。(将这个序列称为“高斯素数”是一个常见的错误。)
字段Q中的惰性有理素数(sqrt(-1))-N.J.A.斯隆2017年12月25日
对n进行编号,使第(2n)个分圆多项式系数的乘积等于-1-贝诺伊特·克洛伊特,2002年10月22日
也可以用奇数素数p除(p-1)!!+1) 或(p-2)!!+1). -亚历山大·阿达姆楚克2006年11月30日
除(p-1)!!-的奇素数p1) 或(p-2)!!-1). -亚历山大·阿达姆楚克2007年4月18日
Bernard Frénicle de Bessy发现这样的素数不可能是毕达哥拉斯三角形的斜边,而不是4*n+1形式的素数(参见A002144号). - 之后保罗·柯茨2008年9月10日
数字n>2,这样((n-2)!!)^2==1(型号n)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月24日
奇数n>1,这样((n-1)!!)^2==1(型号n)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月25日
素数p使得(p-2)!!==(p-3)!!(修订版)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
关于4k+1和4k+3形式素数相对数的讨论,请参阅Granville和Martin编辑,2017年5月1日
猜想:n>4的a(n)可以写成4k+1形式的3个素数之和,这意味着4k+3>=23形式的素数可以分解成6个非零平方和-托马斯·谢伊尔2023年2月9日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第870页。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第219页,第252页。
W.J.LeVeque,《数论专题》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,2卷。,1956年,第1卷,第66页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社,纽约,1986年,1987年修订版。见第90页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
Lenore Blum、Manuel Blum和Mike Shub,一种简单的不可预知伪随机数生成器《SIAM计算机杂志》15:2(1986年5月1日),第364-383页。
A.Granville和G.Martin,素数竞赛,arXiv:math/0408319[math.NT],2004年。
欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
卢卡斯·拉卡萨(Lucas Lacasa)、巴托洛梅·卢克(Bartolome Luque)、伊格纳西奥·戈梅斯(Ignacio Gómez)和奥克塔维奥·米拉蒙特斯(Octavio Miramontes),关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
E.T.Ordman,负素数判别式的类数表,存放在数学的未发布数学表文件中。公司。[带注释的扫描部分副本]
配方奶粉
产品{k>=1}(1+1/a(k))/(1+1/A002144号(k) )=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/a(k))/(1-1/A002144号(k) )=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381783533365954616181605555481…(结束)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*(2^(n*s)-1)*(n*s-1)!*zeta(n*s)/(Pi^(n*s)*abs(EulerE(n*s-1)))/n,s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月20日
MAPLE公司
选项记忆;
如果n=1,则
三;
其他的
a:=下一素数(procname(n-1));
而mod 4<>3可以
a:=下一素数(a);
结束do;
返回a;
结束条件:;
结束进程:
数学
选择[4范围[150]-1,PrimeQ](*阿隆索·德尔·阿特2013年12月19日*)
选择[Prime@Range[2,110],Length@Powers Representations[#^2,2,2]==1&](*或*)
选择[Prime@Range[2,110],JacobiSymbol[-1,#]==-1&](*罗伯特·威尔逊v2014年5月11日*)
黄体脂酮素
(PARI)for素数(p=2,1e3,if(p%4==3,print1(p“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(哈斯克尔)
a002145 n=a002145_列表!!(n-1)
a002145_list=过滤器((==1)。a010051)[3,7..]
(鼠尾草)
定义A002145号_列表(n):如果p%4==3,则返回[p代表prime_range(1,n+1)中的p]#彼得·卢什尼2014年7月29日
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 101, 105, 109, 113, 117, 121, 125, 129, 133, 137, 141, 145, 149, 153, 157, 161, 165, 169, 173, 177, 181, 185, 189, 193, 197, 201, 205, 209, 213, 217, 221, 225, 229, 233, 237
评论
除了初始项之外,Gamma_0(23)的权重为2n的空间的维数形成尖点。
除了初始项之外,Gamma_0(64)的2n权空间的维数是尖顶新形式。
数k,使2是满足关系pXOR k=p+k的唯一素数p-布拉德·克拉克2012年7月22日
1, 9, 21, 37, 57, 81, ...
5, 17, 33, 53, 77, 105, ...
13, 29, 49, 73, 101, 133, ...
25, 45, 69, 97, 129, 165, ...
41, 65, 93, 125, 161, 201, ...
61, 89, 121, 157, 197, 241, ...
...
如果前导项是2而不是1,则1/a(n)是1/k形式的最大公差,其中k是一个正整数,因此与(n-1/k)^2和(n+1/k)^ 2最接近的整数是n^2。换句话说,如果区间算术用于平方[n-1/k,n+1/k],则当且仅当k>=a(n)时,长度为4n/k的结果区间中的每个值四舍五入为n^2-里克·L·谢泼德2014年1月20日
素因子数等于3(模4)的奇数是偶数-丹尼尔·福格斯2014年9月20日
a(n-1),n>=1,也是流形M(S)的复数维,流形M是秩2的基本群pi_1(X,X_0)的所有不可约表示的共轭类的集合,其中S={a_1,…,a_{n},a_}n+1}=oo},P^1=CU{oo}的子集,X=X(S)=P^1\S,而X_0是X中的基点。参见Iwasaki等人的参考,提案2.1.4。第150页-沃尔夫迪特·朗2016年4月22日
对于n>3,还包括n-sunlet图中的团数(不一定是最大的)-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
以a(1)=5开始,以2为基数以01结束-约翰基斯2022年5月9日
参考文献
K.岩崎、H.Kimura、S.Shimomura和M.Yoshida,《从高斯到潘列维》,维埃格出版社,1991年。第150页。
链接
L.B.W.Jolley,级数求和《多佛出版》,1961年,第16页。
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014-2015。
配方奶粉
总尺寸:(1+3*x)/(1-x)^2-保罗·巴里,2003年2月27日[修正为偏移量0沃尔夫迪特·朗2014年10月3日]
(1+5*x+9*x^2+13*x^3+…)=(1+2*x+3*x^2+…)/(1-3*x+9*x^2-27*x^3+…)-加里·亚当森2003年7月3日
a(n)=2*a(n-1)-a(n-2);a(0)=1、a(1)=5。a(n)=4+a(n-1)-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日
当n>0时,a(n)=8*n-2-a(n-1),a(0)=1-文森佐·利班迪2010年11月20日
恒等式(4*n+1)^2-(4*n ^2+2*n)*(2)^2=1可以写成a(n)^2-A002943号(n) *2^2=1-文森佐·利班迪2009年3月11日至2012年11月25日
例如:(1+4*x)*exp(x)。
Dirichlet g.f.:4*泽塔(-1+s)+泽塔(s)-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月2日
例子
初始术语说明:
o个
哦
o o o o
o o o o o o o o oo o o o-o o o
o o o o
哦
o个
(结束)
数学
表[4 n+1,{n,0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*)
线性递归[{2,-1},{5,9},[0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*)
系数列表[级数[(1+3 x)/(-1+x)^2,{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[1..250 x 4]中的n:n;
(哈斯克尔)
a016813=(+1)。(* 4)
(PARI)x='x+O('x^100);向量((1+3*x)/(1-x)^2)\\阿尔图·阿尔坎2015年10月22日
(Scala)(0到59).map(4*_+1)//阿隆索·德尔·阿特,2018年8月8日
(GAP)列表([0..70],n->4*n+1)#穆尼鲁·A·阿西鲁,2018年8月8日
0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, 104, 107, 109, 110, 115, 116, 119, 121, 122, 124, 125, 130, 136, 140, 142, 146, 149, 151, 154, 157, 160, 161, 164
数学
选择[Range[0,200],PrimeQ[4#+3]&](*哈维·P·戴尔2013年8月15日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[0..1000]|IsPrime(4*n+3)中的n:n//文森佐·利班迪2010年11月16日
(GAP)过滤([1..170],n->IsPrime(4*n+3))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月29日
3, 7, 13, 37, 43, 67, 73, 79, 97, 127, 139, 163, 193, 199, 277, 307, 373, 409, 433, 487, 499, 577, 619, 673, 709, 727, 739, 853, 883, 919, 997, 1033, 1039, 1063, 1087, 1093, 1123, 1129, 1297, 1327, 1423, 1429, 1453, 1543, 1549, 1567, 1579, 1597, 1663, 1753
评论
如果p>3是Sophie Germain素数(A005384号),p不能在这个序列中,因为所有大于3的Germain素数都是6k-1形式,然后4p+1=3*(8k-1)-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年8月15日
根据Beiler的说法:整数2是所有具有p素数的4p+1形式素数的本原根-马丁·瑞诺2011年11月6日
切比雪夫证明了2是所有具有p素数的4p+1形式素数的本原根-乔纳森·桑多2013年2月4日
素数p,使得p^p-1可以被4*p+1整除-加里·德特利夫斯2013年5月22日
似乎只要(p^p-1)/(4*p+1)是整数,那么这个整数就是偶数(参见前面的注释)-亚历山大·波沃洛茨基2013年5月23日
4p+1不除以任何n的p^n+1-罗宾·加西亚2013年6月20日
此列表中没有最后一位为1的数字(即A030430型)因为素数p==1(mod10)导致5(4p+1),所以4p+1不是素数-R.J.马塔尔2019年8月13日
参考文献
Albert H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,纽约:多佛,(第二版)1966年,第102页,第5条。
P.L.切比雪夫,同余理论,数论要素,切尔西,1972年,第306页。
配方奶粉
总和{n>=1}1/a(n)位于区间(0.892962433,1.1616905)(Wagstaff,2021)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年11月4日
MAPLE公司
isA023212:=进程(n)
isp素数(n)和isp素(4*n+1);
结束进程:
n从1到1800 do
如果是A023212(n),则
printf(“%d,”,n);
结束条件:;
数学
选择[Range[2000],PrimeQ[#]&&PrimeQ[4#+1]&](*阿隆索·德尔·阿特2011年8月15日*)
连接[{3},选择[Range[7,2000,6],PrimeQ[#]&PrimeQ[4#+1]&]](*扎克·塞多夫2012年1月21日*)
选择[Prime[Range[300]]、PrimeQ[4#+1]&](*哈维·P·戴尔2021年10月17日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[0..1000]中的n:n | IsPrime(n)和IsPrime[4*n+1)]//文森佐·利班迪2010年11月20日
(PARI)表示质数(p=21800,如果(Mod(p,4*p+1)^p==1,print1(p“,\n”))\\亚历山大·波沃洛茨基2013年5月23日
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