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搜索: a005098-编号:a005098
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
+20
7
1, 3, 10, 15, 28, 45, 78, 105, 153, 190, 253, 300, 325, 435, 465, 528, 595, 630, 780, 903, 1128, 1275, 1830, 2145, 2415, 2485, 2628, 3160, 3403, 3570, 3655, 3828, 4095, 4753, 4950, 5050, 5253, 5460, 5995, 6105, 6670, 7503, 8515, 9180, 9453, 9730, 10440, 11175
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1,2
评论
三角数T(m)=m(m+1)/2个指数m在A027861美元.T(m),使m^2+(m+1)^2是素数。
配方奶粉
a(n)=A027861号(n)*(A027861号(n) +1)/2。
a(n)=A000217号(A027861号(n) )。
MAPLE公司
选择(x->i素数(4*x+1),[i*(i+1)/2$i=0..400])[]#阿洛伊斯·海因茨2024年2月24日
数学
选择[表[n(n+1)/2,{n,0,200}],素数Q[4#+1]&](*Jean-François Alcover公司2024年2月24日*)
交叉参考
囊性纤维变性。A000217号,A005098号,A027861号.
关键词
非n
作者
扎克·塞多夫2007年5月26日
状态
经核准的
a(n)=4*A005098号(n)=A002144号(n) -1。
+20
7
4, 12, 16, 28, 36, 40, 52, 60, 72, 88, 96, 100, 108, 112, 136, 148, 156, 172, 180, 192, 196, 228, 232, 240, 256, 268, 276, 280, 292, 312, 316, 336, 348, 352, 372, 388, 396, 400, 408, 420, 432, 448, 456, 460, 508, 520, 540, 556, 568, 576, 592, 600, 612, 616
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1,1
评论
如果我们取4个数字1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 然后乘法表模A002144号(n) 与拉丁方同构
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
与{1,I,-I,-1}的乘法表同构,其中I是sqrt(-1),A152680号(n) 与-1同构,A002314号(n) 使用I或-I和A152676号(n) 反之亦然——我或我。
1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 是Galois油田的子油田[A002144号(n) ]。
数字n是这样的A172019号(n) +1=素数-1-乔瓦尼·特奥菲拉托2010年2月2日
数学
aa={};Do[If[Mod[Prime[n],4]==1,AppendTo[aa,Prime[n]-1]],{n,1,200}];aa公司
交叉参考
囊性纤维变性。A002314号,A152676号,A152680号.
关键词
非n
作者
阿图尔·贾辛斯基2008年12月10日
状态
经核准的
数字k使k和4k+1都在A005098号.
+20
2
3, 9, 18, 24, 48, 69, 93, 102, 108, 144, 168, 177, 213, 249, 258, 273, 282, 324, 357, 363, 387, 399, 438, 444, 504, 507, 573, 609, 669, 678, 738, 759, 762, 777, 807, 864, 867, 909, 942, 948, 963, 1014, 1068, 1074, 1182, 1197, 1248, 1299, 1389, 1392, 1413, 1488
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1,1
评论
所有术语都是3的倍数。
数字k,使4*k+1和16*k+5都是质数-文森佐·利班迪2010年12月13日
这些k不能包含最低有效数字0、1、5或6-J.M.贝戈2011年7月6日
链接
配方奶粉
a(n)=3*179652英镑(n) -约尔格·阿恩特2011年7月10日
黄体脂酮素
(Magma)[n:n在[0..3000]| IsPrime(4*n+1)和IsPrime(16*n+5)]//文森佐·利班迪2010年12月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A002144号,A175600个.
关键词
非n
作者
扎克·塞多夫,2007年5月26日
状态
经核准的
+20
2
13, 37, 73, 97, 193, 277, 373, 409, 433, 577, 673, 709, 853, 997, 1033, 1093, 1129, 1297, 1429, 1453, 1549, 1597, 1753, 1777, 2017, 2029, 2293, 2437, 2677, 2713, 2953, 3037, 3049, 3109, 3229, 3457, 3469, 3637, 3769, 3793, 3853, 4057, 4273, 4297, 4729
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1,1
评论
素数p的形式为4m+1,因此q=4p+1也是素数。m的对应值为:3,9,18,24,48,69,9310210814416817721324925828324357363387399438,44450450757360969678738759762777807864867909-均为3的倍数。q的对应值为:531492933897731109149316371733230926932837341339894133437345175189,5717,5813,6197,6389,7013,7109,8069,8117,9173,9749,10709,10853,11813.
链接
哈维·P·戴尔,n=1..1000时的n,a(n)表
数学
选择[Prime[Range[700]]、IntegerQ[(#-1)/4]和&PrimeQ[4#+1]&](*哈维·P·戴尔2022年5月15日*)
交叉参考
囊性纤维变性。A002144号,A005098号.
关键词
非n
作者
扎克·塞多夫2007年5月27日
状态
经核准的
a(n)*(a(n)+1)+A002973号(n) ^2个=A005098号(n) ,n>=1。
+20
2
0, 1, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 4, 0, 1, 3, 5, 3, 5, 6, 4, 3, 0, 7, 6, 7, 0, 6, 4, 2, 8, 6, 5, 4, 2, 8, 3, 8, 9, 0, 1, 7, 8, 3, 10, 9, 2, 5, 10, 9, 6, 0, 11, 2, 8, 9, 12, 6, 12, 11, 0, 2, 7, 13, 4, 9, 12
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1,4
评论
请参阅Jon Perry的评论A005098号.(偶数)promic数a(n)*(a(nA002378美元)从中减去A005098号(n) (第n个值k使得4*k+1是质数)留下一个正方形,即A002973号(n) ^2。例如,n=4:7-2*3=1^1。n=5:9-0=3^2。
2*a(n)+1=A002972号(n) ,n>=1。例如,n=4:2*2+1=5。
配方奶粉
a(n)=(sqrt(4*(k(n)-m(n)^2)+1)-1)/2,n>=1,其中k(n):=A005098号(n) (4*k(n)+1是素数A002144号(n) )和m(n):=A002973号(n) ●●●●。
a(n)=(A002972号(n) -1)/2,n>=1。
交叉参考
关键词
非n
作者
沃尔夫迪特·朗2012年3月1日
状态
经核准的
毕达哥拉斯素数:形式为4*k+1的素数。
(原名M3823 N1566)
+10
483
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617
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1,1
评论
在字段Q(sqrt(-1))中分解的有理素数-N.J.A.斯隆2017年12月25日
这些是A009003号.
-1是素数p的二次剩余模当且仅当p在这个序列中。
Sin(a(n)*Pi/2)=1,Pi=3.1415…,见A070750型. -莱因哈德·祖姆凯勒2002年5月4日
如果奇数素数p,q中至少有一个属于序列,那么根据高斯互易定律,x^2=p(mod q),x^2=q(mod p)的两个或两个同余都是可解的-Lekraj Beedassy公司2003年7月17日
奇素数使得二项式(p-1,(p-1)/2)==1(mod p)-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月7日
具有整数边的直角三角形的斜边的素数。毕达哥拉斯三元组是{A002365号(n) ,A002366号(n) ,a(n)}。
此外,a^k+b^k形式的素数,k>1-阿马纳特·穆尔蒂2003年11月17日
a(n)的平方是其他两个平方的平均值。这个事实产生了一类b=a(n)的一元多项式x^2+bx+c,它将对整数进行因子分解,而与c的符号无关。参见A114200个.-欧文·默滕斯(Owen Mertens(AT)Misouristate.edu),2005年11月16日
同样,对于形式为n^p-(n-1)^p的Nexus数,最后一个数字总是1-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月10日
毕达哥拉斯素数集是正基本判别式集的一个适当子集(A003658号). -保罗·穆尔贾迪2008年3月28日
A079260号(a(n))=1;的补语A137409号. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月11日
发件人阿图尔·贾辛斯基,2008年12月10日:(开始)
如果我们取4个数字:1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 那么乘法表模a(n)与拉丁方同构:
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
与{1,i,-i,-1}的乘法表同构,其中i是sqrt(-1),A152680号(n) 与-1同构,A002314号(n) 与i或-i和152676英镑(n) 反之亦然-i或i.1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 是Galois字段[a(n)]的子字段。(结束)
素数p,使得p^3的除数的算术平均值是一个整数。这样的素数有两个序列:这一个和A002145号. -Ctibor O.Zizka公司2009年10月20日
等价地,F_p的最小延拓包含单位平方根(必然是F_p)的素数p包含单位第四根。在这方面,序列族的n=2情况:参见n=3(A129805号)且n=5(A172469号). -凯瑟琳·斯坦格2010年2月3日
的后续A007969号. -莱因哈德·祖姆凯勒2011年6月18日
A151763号(a(n))=1。
如果4*k+1是素数,k^k-1可以被4*k+14整除(参见Dickson参考文献)-加里·德特利夫斯2013年5月22日
这些素数的平方不仅是两个非零平方的和,而且素数本身也是。2是唯一一个等于两个非零平方和且其平方不是的素数。因此,2不是毕达哥拉斯素数-Jean-Christophe Hervé2013年11月10日
这些素数是两个非零平方之和的说法源自费马关于两个平方和的定理-Jerzy R Borysowicz公司2019年1月2日
素数及其平方分解为两个非零平方是唯一的-Jean-Christophe Hervé2013年11月11日。见第227页Dickson参考,第二卷,(B)-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
形式4*k+1和e>=1的p素数的p^e是2个非零平方和-乔恩·佩里2014年11月23日
素数p使得某些整数q的等腰三角形(p,p,q)的面积是一个整数-米歇尔·拉格诺2014年12月31日
这是所有素数的集合,它们是两个平方的平均值-理查德·福伯格2015年3月1日
数字k是这样的((k-3)!!)^2==-1(mod k)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
这是的素数的子序列A004431美元也属于A016813号. -伯纳德·肖特2022年4月30日
除了来自的评论Jean-Christophe Hervé2013年11月10日:所有幂以及这些素数的乘积都是两个非零平方的和。它们是A001481号,在乘法下关闭-克劳斯·普拉斯2023年11月19日
参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社,纽约,1986年,1987年修订版。见第90页。
链接
扎克·塞多夫,n=1..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1000个术语)
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陈兴伦,思维的风车:费马二平方定理的一种算法,arXiv:2112.02556[cs.LO],2021。
R.Chapman,二次互惠.
A.大卫·克里斯托弗,费马双平方定理的分割理论证明《离散数学》,第339卷,第4期,2016年4月6日,第1410-1411页。
J.E.Ewell,费马二平方定理的一个简单证明《美国数学月刊》,第90卷,第9期(1983年11月),第635-637页。
伯纳德·弗雷尼科尔·德·贝西,三角形和矩形的特征:dans lequel plusieurs belles propriétés de ces triangles sont démontrees par de newaux principes米夏莱,巴黎(1676),第0-116页;见第44页,后果二。
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欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
卢卡斯·拉卡萨(Lucas Lacasa)、巴托洛梅·卢克(Bartolome Luque)、伊格纳西奥·戈梅斯(Ignacio Gómez)和奥克塔维奥·米拉蒙特斯(Octavio Miramontes),关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
R.C.Laubenbacher和D.J.Pengelley,艾森斯坦对二次互易定理的几何证明,摘自:Anderson M、Katz V、Wilson R编辑。谁给了你Epsilon?:以及其他数学史故事。光谱。美国数学协会;2009:309-312.
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卡洛斯·里维拉,拼图968。素数4m+1的另一个性质,主要难题与问题的联系。
D.柄,对“K.E.Kloss等人,4n+1形式素数的类数”的评述,数学。压缩机。,23 (1969), 213-214. [评论的注释扫描预印本]
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罗斯玛丽·沙利文和尼尔·沃特林,从1到n的整数集上的独立可除对,INTEGERS 13(2013)#A65。
埃里克·魏斯坦的数学世界,威尔逊定理.
埃里克·魏斯坦的数学世界,毕达哥拉斯三元组.
维基百科,二次互惠
Wolfram研究公司,高斯互惠定律.
D.Zagier,每个素数p==1(mod 4)是两个平方和的一元证明,美国数学。《月刊》,第97卷,第2期(1990年2月),第144页。[来自沃尔夫迪特·朗,2015年1月17日(感谢Charles Nash)]
配方奶粉
形式为x^2+y^2,(x)的奇素数=A002331号,年=A002330号,x<y)或形式为u^2+4*v^2,(u=A002972号,v=A002973号,带u奇数)-Lekraj Beedassy公司2004年7月16日
p^2-1=12*总和{i=0..floor(p/4)}楼层(sqrt(i*p)),其中p=a(n)=4*n+1。[西拉里]
a(n)=A000290型(A002972号(n) )+A000290型(2*A002973号(n) )=A000290型(A002331号(n+1))+A000290型(A002330号(n+1))-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月16日
a(n)=A002972号(n) ^2+(2*A002973号(n) )^2,n>=1。请参阅Jean-Christophe Hervé2013年11月11日评论-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
a(n)=4*A005098号(n) +1-扎克·塞多夫2018年9月16日
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月30日:(开始)
产品{k>=1}(1-1/a(k)^2)=A088539号.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^2)=A243380型.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^3)=A334425飞机.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^3)=A334424.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^4)=A334446飞机.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^4)=A334445美元.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^5)=A334450型.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^5)=A334449飞机.(结束)
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年5月5日:(开始)
产品{k>=1}(1+1/A002145号(k) )/(1+1/a(k))=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/A002145号(k) )/(1-1/a(k))=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381783533365954616181605555481…(结束)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*n*s)!*zeta(n*s)*abs(EulerE(n*s-1))/(Pi^(n*s*2^(2*n*s/n、 s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月21日
Legendre符号(-1,a(n))=+1,对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2021年3月3日
例子
下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
一个=A002331号,b个=A002330号,t1=ab/2=A070151号;
p^2=c^2+d^2,其中c<d;c(c)=A002366号,天=A002365号,
t2=2ab=A145046型,t3=b^2-a^2=A070079号,
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
p a b t1 c d t 2 t 3 t 4
---------------------------------
5 1 2 1 3 4 4 3 6
13 2 3 3 5 12 12 5 30
17 1 4 2 8 15 8 15 60
29 2 5 5 20 21 20 21 210
37 1 6 3 12 35 12 35 210
41 4 5 10 9 40 40 9 180
53 2 7 7 28 45 28 45 630
...
a(7)=53=A002972号(7)^2 + (2*A002973号(7) )^2=7^2+(2*1)^2=49+4,这是唯一的方法-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
MAPLE公司
a:=[];对于从1到500的n,do如果是i素数(4*n+1),那么a:=[op(a),4*n+1];fi;日期:A002144号:=n->a[n];
#备选方案
A002144号:=进程(n)
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
5;
其他的
对于来自procname(n-1)+4x4do的a
如果是质数(a),则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:
序列号(A002144号(n) ,n=1..100)#R.J.马塔尔2024年1月31日
数学
选择[4*Range[140]+1,PrimeQ[#]&](*斯特凡·斯坦纳伯格,2006年4月16日*)
选择[Prime[Range[150]],Mod[#,4]==1&](*哈维·P·戴尔2021年1月28日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a002144 n=a002144_列表!!(n-1)
a002144_list=过滤器(==1)。a010051)[1、5…]
--莱因哈德·祖姆凯勒,2012年3月6日,2011年2月22日
(岩浆)[0..200]|IsPrime(a)中的[a:n,其中a是4*n+1]//文森佐·利班迪2014年11月23日
(PARI)选择(p->p%4==1,素数(1000))
(PARI)
A002144号_next(p=A2144[#A2144])={until(i素数(p+=4),);p}/*NB:p的形式必须为4k+1。超过素数极限,这比素数(p=…,p%4==1&&return(p))要快得多*/
A2144=列表(5);A002144号(n) ={while(#A2144<n,列表输入(A2144,A002144号_next()));A2144[编号]}
\\M.F.哈斯勒2024年7月6日
(Python)
从sympy导入质数
A002144号=[n表示n in(prime(x)表示x in range(1,10**3))if not(n-1)%4]
#柴华武2014年9月1日
(Python)
从sympy导入isprime
打印(列表(过滤器(isprime,范围(1,618,4)))#迈克尔·布拉尼基2021年5月13日
(SageMath)
定义A002144号_list(n):#返回所有毕达哥拉斯素数
如果x%4==1,则返回[prime_range(5,n+1)中x的x
A002144号_列表(617)#彼得·卢什尼2012年9月12日
交叉参考
囊性纤维变性。A004613号(乘法闭包)。
除初始期限外,与A002313号.
有关n的值,请参见A005098号.
中的素数A020668号.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的
形式为4*k+3的素数。
(原名M2624 N1039)
+10
338
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 523, 547, 563, 571
抵消
1,1
评论
或者,奇数素数p,使得-1不是平方模p,即勒让德符号(-1/p)=-1。[LeVeque I,第66页]-N.J.A.斯隆2008年6月28日
不是两个平方和的素数,请参阅中的注释A022544美元. -阿图尔·贾辛斯基2006年11月15日
自然素数也是高斯素数。(将这个序列称为“高斯素数”是一个常见的错误。)
字段Q中的惰性有理素数(sqrt(-1))-N.J.A.斯隆2017年12月25日
对n进行编号,使第(2n)个分圆多项式系数的乘积等于-1-贝诺伊特·克洛伊特,2002年10月22日
对于p和q都属于序列,根据高斯互易定律,恰好x^2=p(mod q),x^2=q(mod p)的一个同余是可解的-Lekraj Beedassy公司2003年7月17日
素数p除以L((p-1)/2)或L((p+1)/2),其中L(n)=A000032元(n) 卢卡斯数字。联盟A122869号A122870型. -亚历山大·阿达姆楚克2006年9月16日
也可以用奇数素数p除(p-1)!!+1) 或(p-2)!!+1). -亚历山大·阿达姆楚克2006年11月30日
除(p-1)!!-的奇素数p1) 或(p-2)!!-1). -亚历山大·阿达姆楚克2007年4月18日
这个序列是负基本判别式绝对值集合的适当子集(A003657号). -保罗·穆尔贾迪2008年3月29日
Bernard Frénicle de Bessy发现这样的素数不可能是毕达哥拉斯三角形的斜边,而不是4*n+1形式的素数(参见A002144号). - 之后保罗·柯茨2008年9月10日
A079261号(a(n))=1;的补语A145395号. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月12日
的后续A007970号. -莱因哈德·祖姆凯勒2011年6月18日
A151763号(a(n))=-1。
素数p使得p XOR 2=p-2。布拉德·克拉迪2011年10月25日(误导性地认为这是超序列的公式A004767号. -R.J.马塔尔2014年7月28日)
似乎每个术语A004767号是其中素数的子序列的两项的平均值;囊性纤维变性。A245203型. -M.F.哈斯勒2014年7月13日
数字n>2,这样((n-2)!!)^2==1(型号n)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月24日
奇数n>1,这样((n-1)!!)^2==1(型号n)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月25日
素数p使得(p-2)!!==(p-3)!!(修订版)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
关于4k+1和4k+3形式素数相对数的讨论,请参阅Granville和Martin编辑,2017年5月1日
有时因其与A016105号和Blum Blum Shub生成器-查尔斯·格里特豪斯四世,2018年6月14日
猜想:n>4的a(n)可以写成4k+1形式的3个素数之和,这意味着4k+3>=23形式的素数可以分解成6个非零平方和-托马斯·谢伊尔2023年2月9日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第870页。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第219页,第252页。
W.J.LeVeque,《数论专题》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,2卷。,1956年,第1卷,第66页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社,纽约,1986年,1987年修订版。见第90页。
链接
扎克·塞多夫,n=1..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1000个术语)
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
D.阿尔卑斯山,高斯素数.
Lenore Blum、Manuel Blum和Mike Shub,一种简单的不可预知伪随机数生成器《SIAM计算机杂志》15:2(1986年5月1日),第364-383页。
A.Granville和G.Martin,素数竞赛,arXiv:math/0408319[math.NT],2004年。
欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
卢卡斯·拉卡萨(Lucas Lacasa)、巴托洛梅·卢克(Bartolome Luque)、伊格纳西奥·戈梅斯(Ignacio Gómez)和奥克塔维奥·米拉蒙特斯(Octavio Miramontes),关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
E.T.Ordman,负素数判别式的类数表,存放在数学的未发布数学表文件中。公司。[带注释的扫描部分副本]
H.J.Smith,高斯素数.
I.斯图尔特,伟大的数学问题, 2013.
埃里克·魏斯坦的数学世界,高斯素数.
埃里克·魏斯坦的数学世界,高斯整数.
Wolfram研究公司,高斯互惠定律.
配方奶粉
从中删除A000040型中的术语A002313号.
的交点A000040型A004767号. -阿隆索·德尔·阿特2014年4月22日
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月30日:(开始)
产品{k>=1}(1-1/a(k)^2)=A243379号.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^2)=A243381型.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^3)=A334427飞机.
产品_{k>=1}(1+1/a(k)^3)=A334426.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^4)=A334448飞机.
产品_{k>=1}(1+1/a(k)^4)=A334447飞机.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^5)=A334452型.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^5)=A334451型.(结束)
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年5月5日:(开始)
产品{k>=1}(1+1/a(k))/(1+1/A002144号(k) )=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/a(k))/(1-1/A002144号(k) )=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381783533365954616181605555481…(结束)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*(2^(n*s)-1)*(n*s-1)!*zeta(n*s)/(Pi^(n*s)*abs(EulerE(n*s-1)))/n,s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月20日
MAPLE公司
A002145号:=进程(n)
选项记忆;
如果n=1,则
三;
其他的
a:=下一素数(procname(n-1));
而mod 4<>3可以
a:=下一素数(a);
结束do;
返回a;
结束条件:;
结束进程:
序列号(A002145号(n) ,n=1..20)#R.J.马塔尔2011年12月8日
数学
选择[4范围[150]-1,PrimeQ](*阿隆索·德尔·阿特2013年12月19日*)
选择[Prime@Range[2,110],Length@Powers Representations[#^2,2,2]==1&](*或*)
选择[Prime@Range[2,110],JacobiSymbol[-1,#]==-1&](*罗伯特·威尔逊v2014年5月11日*)
黄体脂酮素
(PARI)for素数(p=2,1e3,if(p%4==3,print1(p“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(哈斯克尔)
a002145 n=a002145_列表!!(n-1)
a002145_list=过滤器((==1)。a010051)[3,7..]
--莱因哈德·祖姆凯勒,2015年8月2日,2011年9月23日
(岩浆)[0..142]|IsPrime(4*n+3)]中的[4*n=3:n//阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2013年11月15日
(鼠尾草)
定义A002145号_列表(n):如果p%4==3,则返回[p代表prime_range(1,n+1)中的p]#彼得·卢什尼2014年7月29日
交叉参考
除初始期限外,与A045326号.
囊性纤维变性。A016105号.
囊性纤维变性。A004614号(乘法闭包)。
关键词
非n,容易的
作者
扩展
更多术语来自詹姆斯·塞勒斯2000年4月21日
状态
经核准的
a(n)=4*n+1。
+10
243
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 101, 105, 109, 113, 117, 121, 125, 129, 133, 137, 141, 145, 149, 153, 157, 161, 165, 169, 173, 177, 181, 185, 189, 193, 197, 201, 205, 209, 213, 217, 221, 225, 229, 233, 237
抵消
0,2
评论
除了初始项之外,Gamma_0(23)的权重为2n的空间的维数形成尖点。
除了初始项之外,Gamma_0(64)的2n权空间的维数是尖顶新形式。
数字k,使k和(k+1)具有相同的二进制数字和-贝诺伊特·克洛伊特2002年6月5日
数字k使得(1+sqrt(k))/2是一个代数整数-阿隆索·德尔·阿特2012年6月4日
数k,使2是满足关系pXOR k=p+k的唯一素数p-布拉德·克拉克2012年7月22日
这也可以解释为数组T(n,k)=A001844号(n+k)+A008586号(k) 反对偶阅读:
1, 9, 21, 37, 57, 81, ...
5, 17, 33, 53, 77, 105, ...
13, 29, 49, 73, 101, 133, ...
25, 45, 69, 97, 129, 165, ...
41, 65, 93, 125, 161, 201, ...
61, 89, 121, 157, 197, 241, ...
...
-R.J.马塔尔2013年7月10日
如果前导项是2而不是1,则1/a(n)是1/k形式的最大公差,其中k是一个正整数,因此与(n-1/k)^2和(n+1/k)^ 2最接近的整数是n^2。换句话说,如果区间算术用于平方[n-1/k,n+1/k],则当且仅当k>=a(n)时,长度为4n/k的结果区间中的每个值四舍五入为n^2-里克·L·谢泼德2014年1月20日
素因子数等于3(模4)的奇数是偶数-丹尼尔·福格斯2014年9月20日
对于Collatz猜想,我们确定了两种类型的奇数。此序列包含所有子代:其中(3*a(n)+1)/2是偶数,需要额外除以2。请参见A004767号对于上升者-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年11月29日[更正人:雅罗斯拉夫·克里泽克2016年7月29日]
a(n-1),n>=1,也是流形M(S)的复数维,流形M是秩2的基本群pi_1(X,X_0)的所有不可约表示的共轭类的集合,其中S={a_1,…,a_{n},a_}n+1}=oo},P^1=CU{oo}的子集,X=X(S)=P^1\S,而X_0是X中的基点。参见Iwasaki等人的参考,提案2.1.4。第150页-沃尔夫迪特·朗2016年4月22日
对于n>3,还包括n-sunlet图中的团数(不一定是最大的)-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
对于绝对值为的整数kA047202号,也是在基数10中具有相同单位数字k的k的幂的指数-斯特凡诺·斯佩齐亚,2021年2月23日
以a(1)=5开始,以2为基数以01结束-约翰基斯2022年5月9日
参考文献
K.岩崎、H.Kimura、S.Shimomura和M.Yoshida,《从高斯到潘列维》,维埃格出版社,1991年。第150页。
链接
文森佐·利班迪,n=0..1000时的n,a(n)表
科林·德凡特和诺亚·克拉维茨,Hitomezashi模式中的循环和区域,arXiv:2201.03461[math.CO],2022。定理1.3。
L.B.W.Jolley,级数求和《多佛出版》,1961年,第16页。
Tanya Khovanova,递归序列
康拉德·克诺普,Reihen的理论与实践柏林,J.Springer,1922年。(《无穷级数的理论与应用》德文原版)
康拉德·克诺普,无穷级数的理论与应用多佛,第269页。
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014-2015。
William A.Stein的模块化表格数据库,用于Gamma_0(N)的PARI-可读尺寸表
埃里克·魏斯坦的数学世界,集团
埃里克·魏斯坦的数学世界,希尔伯特数
埃里克·魏斯坦的数学世界,Sunlet图表
维基百科,区间算术
常系数线性递归的索引项,签名(2,-1)。
配方奶粉
a(n)=A005408号(2*n)。
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=(1/(4*sqrt(2)))*(Pi+2*log(sqrt(2)+1))=A181048号[乔利]-贝诺伊特·克洛伊特,2002年4月5日[由更正阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月30日]
总尺寸:(1+3*x)/(1-x)^2-保罗·巴里,2003年2月27日[修正为偏移量0沃尔夫迪特·朗2014年10月3日]
(1+5*x+9*x^2+13*x^3+…)=(1+2*x+3*x^2+…)/(1-3*x+9*x^2-27*x^3+…)-加里·亚当森2003年7月3日
a(n)=A001969号(n)+A000069号(n) -菲利普·德尔汉姆,2004年2月4日
a(n)=A004766号(n-1)-R.J.马塔尔,2008年10月26日
a(n)=2*a(n-1)-a(n-2);a(0)=1、a(1)=5。a(n)=4+a(n-1)-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日
A056753美元(a(n))=3-莱因哈德·祖姆凯勒2009年8月23日
A179821号(a(n))=a(A179821号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2010年7月31日
当n>0时,a(n)=8*n-2-a(n-1),a(0)=1-文森佐·利班迪2010年11月20日
恒等式(4*n+1)^2-(4*n ^2+2*n)*(2)^2=1可以写成a(n)^2-A002943号(n) *2^2=1-文森佐·利班迪2009年3月11日至2012年11月25日
A089911型(6*a(n))=8-莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月5日
a(n)=A004767号(n) -2-Jean-Bernard弗朗索瓦2013年9月27日
a(n)=A058281号(3n+1)-埃利·杰菲2016年6月7日
发件人伊利亚·古特科夫斯基2016年7月29日:(开始)
例如:(1+4*x)*exp(x)。
a(n)=和{k=0..n}A123932号(k) ●●●●。
一个(A005098号(k) )=x^2+y^2。
的二项式逆变换A014480型.(结束)
Dirichlet g.f.:4*泽塔(-1+s)+泽塔(s)-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月2日
例子
发件人利奥·塔瓦雷斯,2021年7月2日:(开始)
初始术语说明:
o个
o o o o
o o o o o o o o oo o o o-o o o
o o o o
o个
(结束)
MAPLE公司
seq(4*k+1,k=0..100)#韦斯利·伊万·赫特2013年9月28日
数学
范围[1,237,4](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年5月26日*)
表[4 n+1,{n,0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*)
4范围[0,20]+1(*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*)
线性递归[{2,-1},{5,9},[0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*)
系数列表[级数[(1+3 x)/(-1+x)^2,{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[1..250 x 4]中的n:n;
(哈斯克尔)
a016813=(+1)。(* 4)
a016813_list=[1,5..]--莱因哈德·祖姆凯勒,2012年2月14日
(PARI)a(n)=4*n+1\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年3月22日
(PARI)x='x+O('x^100);向量((1+3*x)/(1-x)^2)\\阿尔图·阿尔坎2015年10月22日
(Scala)(0到59).map(4*_+1)//阿隆索·德尔·阿特,2018年8月8日
(GAP)列表([0..70],n->4*n+1)#穆尼鲁·A·阿西鲁,2018年8月8日
交叉参考
的后续A042963号和,共A079523号.
a(n)=A093561号(n+1,1),(4,1)-Pascal列。
囊性纤维变性。A004772号(补语)。
囊性纤维变性。A017557号.
关键词
非n,容易的
作者
状态
经核准的
数k,使4k+3为素数。
+10
30
0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, 104, 107, 109, 110, 115, 116, 119, 121, 122, 124, 125, 130, 136, 140, 142, 146, 149, 151, 154, 157, 160, 161, 164
抵消
1,3
链接
配方奶粉
a(n)=(A002145号(n) -3)/4。
MAPLE公司
A095278号:=n->`if`(i素数(4*n+3),n,NULL):seq(A095278号(n) ,n=0..300)#韦斯利·伊万·赫特2015年6月29日
数学
选择[Range[0,200],PrimeQ[4#+3]&](*哈维·P·戴尔2013年8月15日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[0..1000]|IsPrime(4*n+3)中的n:n//文森佐·利班迪2010年11月16日
(PARI)是(n)=i素数(4*n+3)\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年7月1日
(GAP)过滤([1..170],n->IsPrime(4*n+3))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月29日
交叉参考
囊性纤维变性。A002145号.的补充A095277号.联盟A095272级A095273号参见A005098号.
关键词
非n,容易的
作者
Antti Karttunen公司2004年6月1日
状态
经核准的
素数p使得4*p+1也是素数。
+10
22
3, 7, 13, 37, 43, 67, 73, 79, 97, 127, 139, 163, 193, 199, 277, 307, 373, 409, 433, 487, 499, 577, 619, 673, 709, 727, 739, 853, 883, 919, 997, 1033, 1039, 1063, 1087, 1093, 1123, 1129, 1297, 1327, 1423, 1429, 1453, 1543, 1549, 1567, 1579, 1597, 1663, 1753
抵消
1,1
评论
如果p>3是Sophie Germain素数(A005384号),p不能在这个序列中,因为所有大于3的Germain素数都是6k-1形式,然后4p+1=3*(8k-1)-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年8月15日
除3外,a(n)的形式为6k+1-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年8月16日
根据Beiler的说法:整数2是所有具有p素数的4p+1形式素数的本原根-马丁·瑞诺2011年11月6日
切比雪夫证明了2是所有具有p素数的4p+1形式素数的本原根-乔纳森·桑多2013年2月4日
等式的解:floor(4/A000005号(4*n^2+n))=1-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月12日
素数p,使得p^p-1可以被4*p+1整除-加里·德特利夫斯2013年5月22日
似乎只要(p^p-1)/(4*p+1)是整数,那么这个整数就是偶数(参见前面的注释)-亚历山大·波沃洛茨基2013年5月23日
4p+1不除以任何n的p^n+1-罗宾·加西亚2013年6月20日
4k+1形式序列中的素数列在A113601型. -加里·德特利夫斯2019年5月7日
此列表中没有最后一位为1的数字(即A030430型)因为素数p==1(mod10)导致5(4p+1),所以4p+1不是素数-R.J.马塔尔2019年8月13日
参考文献
Albert H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,纽约:多佛,(第二版)1966年,第102页,第5条。
P.L.切比雪夫,同余理论,数论要素,切尔西,1972年,第306页。
链接
恩里克·佩雷斯·埃雷罗,n=1..5000时的n,a(n)表
格里戈里·里亚波夫,二面体群D_(2p)的schurity,arXiv:2308.14209[数学.GR],2023年。
罗斯玛丽·沙利文和尼尔·沃特林,从1到n的整数集上的独立可整除对,INTEGERS,第13卷(2013年),第A65条。
小塞缪尔·瓦格斯塔夫。,Germain素数的倒数和,《整数序列杂志》,第24卷,第2期(2021),第21.9.5条。
配方奶粉
总和{n>=1}1/a(n)位于区间(0.892962433,1.1616905)(Wagstaff,2021)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年11月4日
MAPLE公司
isA023212:=进程(n)
isp素数(n)和isp素(4*n+1);
结束进程:
n从1到1800 do
如果是A023212(n),则
printf(“%d,”,n);
结束条件:;
结束do:#R.J.马塔尔2013年5月26日
数学
选择[Range[2000],PrimeQ[#]&&PrimeQ[4#+1]&](*阿隆索·德尔·阿特2011年8月15日*)
连接[{3},选择[Range[7,2000,6],PrimeQ[#]&PrimeQ[4#+1]&]](*扎克·塞多夫2012年1月21日*)
选择[Prime[Range[300]]、PrimeQ[4#+1]&](*哈维·P·戴尔2021年10月17日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[0..1000]中的n:n | IsPrime(n)和IsPrime[4*n+1)]//文森佐·利班迪2010年11月20日
(PARI)表示质数(p=21800,如果(Mod(p,4*p+1)^p==1,print1(p“,\n”))\\亚历山大·波沃洛茨基2013年5月23日
交叉参考
囊性纤维变性。A005098号,A090866号.
囊性纤维变性。A182265号,A182434号.
关键词
非n
扩展
姓名编辑人米歇尔·马库斯2020年11月27日
状态
经核准的

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