显示找到的17个结果中的1-10个。
广义斯特林数:a(n)=n!*和{k=0..n-1}(k+1)/(n-k)。 (原名M3944 N1625)
+10 49
0, 1, 5, 26, 154, 1044, 8028, 69264, 663696, 6999840, 80627040, 1007441280, 13575738240, 196287356160, 3031488633600, 49811492505600, 867718162483200, 15974614352793600, 309920046408806400, 6320046028584960000, 135153868608460800000, 3024476051557847040000
评论
a(n)也是[n]的所有排列中从右到左的极小值的位置之和。例如:a(3)=26,因为置换123132213231312和321中从右到左的最小值的位置分别为123、13、23、3、23和3,并且1+2+3+3+2+3+2+3+3+3+3=26-Emeric Deutsch公司2008年9月22日
高阶指数积分E(x,m=2,n=2)~exp(-x)/x^2*(1-5/x+26/x^2-154/x^3+1044/x^4-8028/x^5+69264/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
a(n)是[n+1]的所有排列中的循环总数(不包括不动点)-奥利维尔·杰拉德2012年10月23日;2012年12月31日
通过在(0,1)中随机选择(一个接一个)n个实数,形成长度n序列。a(n)/(n+1)!是这样一个序列中新最大值之和的期望值。例如,对于n=3:如果我们选择(按此顺序):0.591996、0.646474、0.163659,我们将添加0.591996+0.646474,这将略高于a(3)/4的平均值!=26/24. -杰弗里·克雷策2013年10月17日
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
J.-L.Baril和S.Kirgizov,置换的纯下降统计量《离散数学》,340(10)(2017),2550-2558。
陈刚(Gang Chen)、亨利克·约翰逊(Henrik Johansson)、费腾(Fei Teng)和王田恒(Tianheng Wang),下一代MHV Yang-Mills运动学代数,arXiv:2104.12726【第七天】,2021年。见第46页。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
罗伯特·莫里茨,关于n个连续整数乘积的和,华盛顿大学数学出版物。,第1期(1926年第3期),第44-49页。[带注释的扫描副本]
配方奶粉
前n个谐波数乘以n!的部分和!。
a(n)=n*求和{m=1..n}求和{k=1..m}1/k=n*和{m=1..n}H(m),其中H(m)=和{k=1..m}1/k=A001008号(米)/A002805号(m) 是第m个谐波数。
例如:-log(1-x)/(1-x)^2。
a(n)=(n+1)!*H(n)-n*n!,H(n)=和{k=1..n}(1/k)。
a(n)=和{k=0..n-1}((-1)^(n-1+k)*(k+1)*2^k*斯特林1(n,k+1))Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
交替符号:Ramanujan多项式psi_2(n,x)计算值为0-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日
a(n)=总和{k=1..n}(k*StirlingCycle(n+1,k+1))-大卫·卡伦2006年9月25日
对于n>=1,a(n)=Sum_{j=0..n-1}((-1)^(n-j-1)*2^j*(j+1)*Stirling1(n,j+1))-米兰扬吉奇2008年12月14日
a(n)=(2*n+1)*a(n-1)-n^2*a(n-2)-加里·德特利夫斯2009年11月27日
a(n)=(n+1)*(H(n+1)-1),其中H(n)是第n个谐波数-加里·德特利夫斯2009年12月18日
a(n)=n*Sum_{k=1..n}(-1)^(k+1)*二项式(n+1,k+1)/k-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月10日
a(n)=(n+1)*和{k=1..n}(-1)^(k+1)*二项式(n+1,k+1)*k/(k+1-彼得·巴拉2022年2月15日
a(n)=伽马(n+2)*(Digamma(n+2)+EulerGamma-1)-彼得·卢什尼2022年2月19日
a(n)=n*(n+1)*超深层([1,1,1-n],[2,3],1)/2-彼得·卢什尼2022年6月22日
例子
(1-x)^-2*(-log(1-x))=x+5/2*x^2+13/3*x^3+77/12*x^4+。。。
示例:a(6)=6*(1/6 + 2/5 + 3/4 + 4/3 + 5/2 + 6/1) = 8028; a(20)=20*(1/20 + 2/19 + 3/18 + 4/17 + 5/16 + ... + 16/5 + 17/4 + 18/3 + 19/2 + 20/1) = 135153868608460800000. -亚历山大·阿达姆丘克2004年10月9日
4个元素的所有排列的循环分解给出了以下列表:{3,4}}、{1,3,2}、}4}}、{1,4,3}},{1,4,1,2}}, {{1,4,2,3}}, {{1,2,3,4}}, {{1,2,4},{3}}, {{1,3,4},{2}}, {{1,4},{2},{3}}, {{1,3,2,4}}, {{1,4},{2,3}}}.
删除不动点会得到以下26项:4}、{1,3,4},{1,4}和{1,32,4}。(结束)
MAPLE公司
a:=n->加((n+1)/k、 k=2..n+1):序列(a(n),n=0..21)#零入侵拉霍斯2008年1月22日;已编辑约翰内斯·W·梅耶尔2012年11月28日
a:=n->((n+1)*(h(n+1)-1):h:=n->谐波(n):seq(a(n),n=0..21)#加里·德特利夫斯2009年12月18日;已由更正约翰内斯·W·梅耶尔2012年11月28日
数学
表[n!*Sum[Sum[1/k,{k,1,m}],{m,1,n}],}n,0,20}](*亚历山大·阿达姆丘克2006年4月14日*)
a[n_]:=(n+1)!(EulerGamma-1+PolyGamma[n+2]);
表[a[n],{n,0,21}](*彼得·卢什尼,2022年2月19日*)
黄体脂酮素
(最大值)
a(n):=n*和((-1)^(k+1)*二项式(n+1,k+1))/k,k,1,n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月10日*/
(PARI)对于(n=0,25,打印1(n!*总和(k=0,n-1,(k+1)/(n-k)),“,”)\\G.C.格鲁贝尔2017年1月20日
(Python)
从数学导入阶乘
f=阶乘(n)
范围(n)内k的返回和(f*(k+1)//(n-k))#柴华武2022年6月23日
行读取三角形:T(n,k)=(k+1)*A132393号(n+1,k+1),对于0<=k<=n。
+10 31
1, 1, 2, 2, 6, 3, 6, 22, 18, 4, 24, 100, 105, 40, 5, 120, 548, 675, 340, 75, 6, 720, 3528, 4872, 2940, 875, 126, 7, 5040, 26136, 39396, 27076, 9800, 1932, 196, 8, 40320, 219168, 354372, 269136, 112245, 27216, 3822, 288, 9
评论
以前的名字是:数字三角形f(n,k)来自序列{1/m^2}_{m>=1}的第n个差,对于n>=0;第n个差分序列是{(-1)^n*n!*P(n,m)/D(n,m)^2}{m>=1},其中P(n、x)是行多项式P(n,x)=和{k=0..n}f(n,k)*x^k和D(n,x)=x*(x+1)**(x+n)。
我们使用了一般公式和E(x,m=1,n)的渐近展开式,参见A130534型,以确定E(x,m=2,n)~(exp(-x)/x^2)*(1-(1+2*n)/x+(2+6*n+3*n^2)/x^2-(6+22*n+18*n^2+4*n^3)/x*3+…)可通过EA(x,2,n)公式进行验证,参见A163932号该展开的分母中的系数导致上面给出的序列。
(结束)
带符号三角形t(n,k):=(-1)^{n-k}*f(n,k)给出了(n+1)*n(-1;n,x)=Sum_{k=0..n}t(n、k)*x^k,其中n(-1,n,x)是参数为a=-1的Narumi多项式(参见Weisstein链接)。
上述序列{1/m^2}_{m>=1}的第n个差分序列的成员满足递归δ(n,m)=δ(n-1,m+1)-δ(n-1,m),对于n>=1,m>=1,输入δ(0,m)=1/m^2。解是delta(n,m)=(n+1)*N(-1;N,-m)/risefac(m,N+1)^2,具有Narumi多项式N(-1;N,x)和上升阶乘risefac(x,N+1)=D(N,x)=x*(x+1)**(x+n)。
上述行多项式P满足P(n,x)=(-1)^n*(n+1)*n(-1;n,-x),对于n>=0。对于n>=1和P(0,x)=1,递推公式为P(n,x)=(-x^2*P(n-1,x+1)+(n+x)^2*P(n-1、x))/n。(结束)
配方奶粉
例如:d/dt(-log(1-t)/(1-t^x)-弗拉德塔·乔沃维奇2003年10月12日
偏移量为1:y=x+(1+2*t)*x^2/2!+的示例f(2+6*t+3*t^2)*x^3/3!+。。。关于x的级数反转等于y-(1+2*t)*y^2/2!+(1+3*t)^2*y^3/3!-(1+4*t)^3*y^4/4!+。。。。这是签名版本的示例139526英镑. -彼得·巴拉2013年7月18日
复发:如果n<k,则T(n,k)=0;如果k=0,则T(0,0)=1,T(n,0)=n*T(n-1,0。从未签名的Stirling1复发-沃尔夫迪特·朗2018年11月25日
例子
三角形T(n,k)开始于:
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
------------------------------------------------------------------------------------
0: 1
1: 1 2
2: 2 6 3
3: 6 22 18 4
4: 24 100 105 40 5
5: 120 548 675 340 75 6
6: 720 3528 4872 2940 875 126 7
7: 5040 26136 39396 27076 9800 1932 196 8
8: 40320 219168 354372 269136 112245 27216 3822 288 9
9: 362880 2053152 3518100 2894720 1346625 379638 66150 6960 405 10
10: 3628800 21257280 38260728 33638000 17084650 5412330 1104411 145200 11880 550 11
MAPLE公司
A028421号:=程序(n,k)(-1)^(n+k)*(k+1)*箍筋1(n+1,k+1)末端:
egf:=(1-t)^(-x-1)*(1-x*log(1-t
ser:=系列(egf,t,16):系数t:=n->展开(系数(ser,t,n)):
seq(seq(n!*系数(系数n),x,k),k=0..n),n=0..8)#彼得·卢什尼2022年6月12日
黄体脂酮素
riordan_square(-ln(1-x),10,真)#彼得·卢什尼2019年1月3日
作者
彼得·维根(Wiggen(AT)math.psu.edu)
1, 7, 47, 342, 2754, 24552, 241128, 2592720, 30334320, 383970240, 5231113920, 76349105280, 1188825724800, 19675048780800, 344937224217600, 6386713749964800, 124548748102195200, 2551797512248320000, 54804198761303040000, 1231237843834521600000
评论
高阶指数积分E(x,m=2,n=3)~exp(-x)/x^2*(1-7/x+47/x^2-342/x^3+2754/x^4-24552/x^5+241128/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
对于n>4,对于n个复合,a(n)mod n=0,对于n素数=n-3-加里·德特利夫斯2011年7月18日
对于非负整数n,m和复数a,b(其中b<>0),数字R_n^m(a,b)是Mitrinovic(1961)使用稍微不同的符号引入的。米特里诺维奇和米特里诺奇(1962)对其进行了进一步检查。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}(x-(a+b*r))=Sum_{m=0..n}r_n^m(a,b)*x^m定义的,对于n>=0。
因此,R_n^m(a,b)=R_{n-1}^{m-1}(a,b)-(a+b*(n-1)
对于n>=m>=0,我们有R_n^m(a,b)=Sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*S1(n,m+k)。
对于当前序列,对于n>=0,a(n)=R_{n+1}^1(a=-3,b=-1)。(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。,第77号(1962年),1-77[jstor稳定版]。
罗伯特·莫里茨,关于n个连续整数乘积的和,华盛顿大学数学出版物。,第1期(1926年第3期),第44-49页。[带注释的扫描副本]
配方奶粉
例如:如果偏移量为1,则为-log(1-x)/(1-x)^3。偏移量为0:(d/dx)(-log(1-x)/(1-x,^3)=(1-3*log(1-x))/(1-x)^4。
a(n)=Sum_{k=0..n}((-1)^(n+k)*(k+1)*3^k*斯特林1(n+1,k+1))。-Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
a(n)=n*和{k=0..n-1}((-1)^k*二项式(-3,k)/(n-k))-米兰扬吉奇2008年12月14日
a(n)=((n+3)/4) *(2*h(n+3)-3),其中h(n)=和{k=1…n}(1/k)是第n个谐波数-加里·德特利夫斯2010年8月15日
a(n)=n*[2] h(n),其中[k]h(n-加里·德特利夫斯2011年1月4日
a(n)=(n+3)!*和{k=1..n+1}(1/(2*k+4))-加里·德特利夫斯2011年9月14日
a(n)=(n+1)!*和{k=0..n}(二项式(k+2,2)/(n+1-k))-加里·德特利夫斯2011年12月1日
a(n)~n^(n+7/2)*exp(-n)*sqrt(Pi/2)*log(n)*(1+(gamma-3/2)/log(nA001620号. -瓦茨拉夫·科泰索维奇2016年7月12日
递归D-有限猜想:a(n)+(-2*n-5)*a(n-1)+(n+2)^2*a(n-2)=0-R.J.马塔尔2020年2月16日
由于a(n)=R_{n+1}^1(a=-3,b=-1),Mitrinovic(1961)和Mitrinovic and Mitrinovic(1962)得出:
a(n)=[x]Product_{r=0}^n(x+3+r)=(Product_{r=0}^n(3+r))*Sum_{s=0}*n1/(3+s)。
a(n)=(n+2)/n>=1时为2+(n+3)*a(n-1)。[这可以用来证明R.J.马塔尔的重复出现。](结束)
MAPLE公司
a:=n->加(1/2*((n+3)/(k+3)),k=0..n):序列(a(n),n=0..19)#零入侵拉霍斯2008年1月22日
a:=n->(n+1)*hs2(n+1):hs2:=n->加(hs(k),k=0..n):hs:=n->加法(h(k)、k=0..n):h:=n->add(1/k,k=1..n):seq(a(n),n=0..19)#加里·德特利夫斯2011年1月1日
数学
f[k_]:=k+2;t[n_]:=表[f[k],{k,1,n}];a[n_]:=对称多项式[n-1,t[n]];表[a[n],{n,1,16}];(*克拉克·金伯利,2011年12月29日*)
表[(n+3)!*和[1/(2*k+4),{k,1,n+1}],{n,0,100}](*G.C.格鲁贝尔,2017年1月15日*)
黄体脂酮素
(PARI)用于(n=0,19,打印1((n+1)!*总和(k=0,n,二项式(k+2,2)/(n+1-k)),“,”)\\因德拉尼尔·戈什2017年3月13日
(PARI)R(n,m,a,b)=总和(k=0,n-m,(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*stirling(n,m+k),1);
aa(n)=R(n+1,1,-3,-1);
扩展
更多术语来自Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
1, 9, 74, 638, 5944, 60216, 662640, 7893840, 101378880, 1397759040, 20606463360, 323626665600, 5395972377600, 95218662067200, 1773217155225600, 34758188233574400, 715437948072960000, 15429680577561600000, 347968129734973440000, 8190600438533990400000
评论
高阶指数积分E(x,m=2,n=4)~exp(-x)/x^2*(1-9/x+74/x^2-638/x^3+5944/x^4-60216/x^5+662640/x^6-…)的渐近展开得到了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
对于非负整数n,m和复数a,b(b<>0),数字R_n^m(a,b)是由Mitrinovic(1961)和Mitrinovi及Mitrinovis(1962)使用稍微不同的符号引入的。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}(x-(a+b*r))=Sum_{m=0..n}r_n^m(a,b)*x^m定义的,对于n>=0。
因此,当n>=m>=1时,R_n^m(a,b)=R_{n-1}^{m-1}(a,b)-(a+b*(n-1))*R_{n-1}^m(a,b。
在a=0和b=1的条件下,我们得到了第一类Stirling数S1(n,m)=R_n^m(a=0,b=1)=A048994号(n,m)对于n,m>=0。
对于n>=m>=0,我们有R_n^m(a,b)=Sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*S1(n,m+k)。
对于当前序列,对于n>=0,a(n)=R_{n+1}^1(a=-4,b=-1)。(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。,第77号(1962年),1-77[jstor稳定版]。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
配方奶粉
a(n)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n+k)*(k+1)*4^k*stirling1(n+1,k+1)。-Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
a(n)=n!*[3] h(n),其中[k]h(n。[加里·德特利夫斯2011年1月4日]
a(n)=(n+1)!*和{k=0..n}(-1)^k*二项式(-4,k)/(n+1-k)。[加里·德特利夫斯2011年7月16日]
a(n)=(n+4)!*求和{k=1..n+1}1/(k+3)/6。[加里·德特利夫斯2011年9月14日]
例如,(对于偏移量1):1/(1-x)^4*log(1/(1-x))-瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年1月19日
例如:(1+4*log(1/(1-x)))/(1-x)^5-伊利亚·古特科夫斯基2017年1月23日
a(n)=[x]产品{r=0..n}(x+4+r)=(产品{r=0...n}(4+r))*求和{i=0..n{1/(4+1)。
由于a(n)=R{n+1}^1(a=-4,b=-1)和R_n^m(a,b)=R_{n-1}^{m-1}
(i) a(n)=(n+3)/n>=1时为6+(n+4)*a(n-1);
(ii)当n>=2时,a(n)=(2*n+7)*a(n-1)-(n+3)^2*a(n-2)。(结束)
数学
f[k_]:=k+3;t[n_]:=表[f[k],{k,1,n}];a[n_]:=对称多项式[n-1,t[n]];表[a[n],{n,1,16}](*克拉克·金伯利2011年12月29日*)
休息[CoefficientList[Series[(1-x)^(-4)*Log[1/(1-x)],{x,0,20}],x]*Range[0,20]!](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年1月19日*)
黄体脂酮素
(PARI)R(n,m,a,b)=总和(k=0,n-m,(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*stirling(n,m+k),1);
aa(n)=R(n+1,1,-4,-1);
扩展
更多术语来自Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
0, 1, 13, 146, 1650, 19524, 245004, 3272688, 46536624, 703404576, 11277554400, 191338156800, 3427105248000, 64651956364800, 1281740285145600, 26648514872985600, 579892995734169600, 13183403757582643200
评论
高阶指数积分E(x,m=2,n=6)~exp(-x)/x^2*(1-13/x+146/x^2-1650/x^3+19524/x^4-245004/x^5+3272688/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
Mitrinovic,D.S.和Mitrinovi,R.S.:见三角形参考A051338号.
配方奶粉
例如:-log(1-x)/(1-x)^6。
对于n>=1,a(n)=n*和{k=0..n-1}(-1)^k*二项式(-6,k)/(n-k)-米兰扬吉奇2008年12月14日
a(n)=n*[5] h(n),其中[k]h(n-加里·德特利夫斯2011年1月4日
猜想:a(n)+(-2*n-9)*a(n-1)+(n+4)^2*a(n-2)=0-R.J.马塔尔2013年8月4日
数学
f[k_]:=k+5;t[n_]:=表格[f[k],{k,1,n}]
a[n_]:=对称多项式[n-1,t[n]]
表[a[n],{n,1,16}]
0, 1, 15, 191, 2414, 31594, 434568, 6314664, 97053936, 1576890000, 27046454400, 488849155200, 9293295110400, 185464792800000, 3878247384345600, 84822225638169600, 1937048605944883200, 46113230058645657600
评论
高阶指数积分E(x,m=2,n=7)~exp(-x)/x^2*(1-15/x+191/x^2-2414/x^3+31594/x^4-434568/x^5+631464/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
Mitrinovic,D.S.和Mitrinovic,R.S.见三角形参考A051339号.
配方奶粉
例如:-log(1-x)/(1-x)^7。
a(n)=n*求和{k=0,..,n-1}((-1)^k*二项式(-7,k)/(n-k)),对于n>=1-米兰扬吉奇2008年12月14日
a(n)=n*[6] h(n),其中[k]h(n-加里·德特利夫斯2011年1月4日
数学
f[k_]:=k+6;t[n_]:=表格[f[k],{k,1,n}]
a[n_]:=对称多项式[n-1,t[n]]
表[a[n],{n,1,16}]
0, 1, 17, 242, 3382, 48504, 725592, 11393808, 188204400, 3270729600, 59753750400, 1146140409600, 23046980025600, 485075533132800, 10669304848204800, 244861798361241600, 5854837379724748800
评论
高阶指数积分E(x,m=2,n=8)~exp(-x)/x^2*(1-17/x+242/x^2-3382/x^3+48504/x^4-725592/x^5+11393808/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
Mitrinovic,D.S.和Mitrinovi,R.S.见三角形参考A051379号.
配方奶粉
例如:-log(1-x)/(1-x)^8。
a(n)=n*求和{k=0..n-1}((-1)^k*二项式(-8,k)/(n-k)),对于n>=1-米兰扬吉奇2008年12月14日
a(n)=n*[7] h(n),其中[k]h(n-加里·德特利夫斯,2011年1月4日
猜想:a(n)+(-2*n-13)*a(n-1)+(n+6)^2*a(n-2)=0-R.J.马塔尔,2013年8月4日
数学
f[k_]:=k+7;t[n_]:=表格[f[k],{k,1,n}]
a[n_]:=对称多项式[n-1,t[n]]
表[a[n],{n,1,16}]
0, 1, 19, 299, 4578, 71394, 1153956, 19471500, 343976400, 6366517200, 123418922400, 2503748556000, 53091962697600, 1175271048201600, 27123099523027200, 651708291206649600, 16282170039031142400
评论
高阶指数积分E(x,m=2,n=9)~exp(-x)/x^2*(1-19/x+299/x^2-4578/x^3+71394/x^4-1153956/x^5+19471500/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
Mitrinovic,D.S.和Mitrinovic,R.S.见三角形参考A051380号.
配方奶粉
例如:-log(1-x)/(1-x)^9。
a(n)=n*求和{k=0..n-1}((-1)^k*二项式(-9,k)/(n-k)),对于n>=1-米兰扬吉奇2008年12月14日
a(n)=n*[8] h(n),其中[k]h(n-加里·德特利夫斯2011年1月4日
数学
f[k_]:=k+8;t[n_]:=表格[f[k],{k,1,n}]
a[n_]:=对称多项式[n-1,t[n]]
表[a[n],{n,1,16}]
0, 1, 21, 362, 6026, 101524, 1763100, 31813200, 598482000, 11752855200, 240947474400, 5154170774400, 114942011990400, 2669517204076800, 64496340380102400, 1619153396908185600, 42188624389562112000
评论
高阶指数积分E(x,m=2,n=10)~exp(-x)/x^2*(1-21/x+362/x^2-6026/x^3+101524/x^4-1763100/x^5+31813200/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
Mitrinovic,D.S.和Mitrinovi,R.S.见三角形参考A051523号.
配方奶粉
例如:-log(1-x)/(1-x)^10。
a(n)=n*求和{k=0..n-1}((-1)^k*二项式(-10,k)/(n-k)),对于n>=1-米兰扬吉奇2008年12月14日
a(n)=n*[9] h(n),其中[k]h(n-加里·德特利夫斯2011年1月4日
数学
f[n]:=n*求和[(-1)^k*二项式[-10,k]/(n-k),{k,0,n-1}];数组[f,17,0]
范围[0,16]!系数列表[系列[-Log[(1-x)]/(1-x)^10,{x,0,16}],x]
(*或者,使用初等对称函数:*)
f[k_]:=k+9;t[n_]:=表格[f[k],{k,1,n}]
a[n_]:=对称多项式[n-1,t[n]]
表[a[n],{n,1,16}]
1, 3, 1, 11, 5, 1, 50, 26, 7, 1, 274, 154, 47, 9, 1, 1764, 1044, 342, 74, 11, 1, 13068, 8028, 2754, 638, 107, 13, 1, 109584, 69264, 24552, 5944, 1066, 146, 15, 1, 1026576, 663696, 241128, 60216, 11274, 1650, 191, 17, 1
评论
高阶指数积分E(x,m,n)定义于A163931号E(x,m=2,n)~(exp(-x)/x^2)*(1-(1+2*n)/x+(2+6*n+3*n^2)/x^2-(6+22*n+18*n^2+4*n^3)/x*3+…)的渐近展开在中进行了讨论A028421号.渐近展开式导致n=1,2,3。。,到上面给出的三角形的左侧列。
这个三角形的行和导致A093344号令人惊讶的是,鉴于e(x,m=1,n=1)=Ei(n=1,x),行和Egf(x)=(exp(1)*Ei(1,1-x)-exp(1。我们指出exp(1)*Ei(1,1)=A073003型.
Maple程序生成上述三角形的系数。第一个利用了三角形系数之间的关系,见公式,第二个利用了E(x,m=2,n)的渐近展开式。
配方奶粉
a(n,m)=(n-m+1)*a(n-1,m)+a!。
a(n,m)=乘积(i,i=m.n)*和(1/i,i=m.n)。
MAPLE公司
nmax:=9;对于n从1到nmax,做a(n,n):=1od:对于n从2到nmmax,做a(n,1):=n*a(n-1,1)+(n-1)!od:对于从3到nmax的n,do对于从2到n-1的m,do a(n,m):=(n-m+1)*a(n-1,m)+a(n-l,m-1)od:od:seq(seq(a(n、m),m=1..n),n=1..nmax);
#结束程序1
nmax:=nmax+1:m:=2;使用(组合):EA:=proc(x,m,n)局部E,i;E: =0:对于从m-1到nmax+2的i,E:=E+总和((-1)^(m+k1+1)*二项式(k1,m-1)*n^(k1-m+1)*stirling1(i,k1),k1=m-1..i)/x^(i-m+1)od:E:=exp(-x)/xqu(m)*E:return(E);结束:对于从1到nmax的n1,do f(n1-1):=简化(exp(x)*x^(nmax+3)*EA(x,m,n1));对于从0到nmax+2的m1,做b(n1-1,m1):=系数(f(n 1-1),x,nmax+2-m1)od:od:对于从0至nmax-1的n1,做m1从0至n1-m+1的do a(n1-m+2,m1+1):=abs(b(m 1,n1-m1))od:od:seq(seq(a(n,m),m=1..n),n=1..nmax-1);
#结束程序2
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