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第页1
1, 3, 3, 11, 18, 6, 50, 105, 60, 10, 274, 675, 510, 150, 15, 1764, 4872, 4410, 1750, 315, 21, 13068, 39396, 40614, 19600, 4830, 588, 28, 109584, 354372, 403704, 224490, 68040, 11466, 1008, 36, 1026576, 3518100, 4342080, 2693250, 949095, 198450
评论
高阶指数积分E(x,m,n)定义于A163931号渐近展开式E(x,m,n)~E(x,m-1,n+1)/x-n*E(x,m-1,n+2)/x^2+n*(n+1)*E(x,m-1,n+3)/x^3-n*(n+1)*(n+2)*E(x,m-1,n+4)/x^4+的通式。。。。,m>=1,n>=1。
我们使用了这个公式和E(x,m=2,n)的渐近展开式,参见A028421号,以确定E(x,m=3,n)~(exp(-x)/x^3)*(1-(3+3*n)/x+(11+18*n+6*n^2)/x|2-(50+105*n+60*n^2+10*n*n^3)/x*3+…)。这个公式得出了上面给出的三角形系数。
渐近展开将n的值从1到10引入已知序列,参见交叉参考。
第一个Maple程序生成上述序列,第二个程序生成E(x,m=3,n)的渐近展开式。
配方奶粉
a(n,m)=(-1)^(n+m)*二项式(m+1,2)*stirling1(n+1,m+1)对于n>=1和1<=m<=n。
例子
三角形的前几行是:
[1]
[3, 3]
[11, 18, 6]
[50, 105, 60, 10]
MAPLE公司
nmax:=8;与(组合):对于n1从1到nmax,对于m从1到n1,do做a(n1,m):=(-1)^(n1+m)*二项式(m+1,2)*stirling1(n1+1,m+1)od:od:seq(seq(a(n1,m),m=1..n1),n1=1..nmax);
#结束程序1
带(组合):imax:=6;EA:=进程(x,m,n)局部E,i;E:=0:对于i从m-1到imax+1做E:=E+和((-1)^(m+k1+1)*二项式(k1,m-1)*n^(k1-m+1)*stirling1(i,k1),k1=m-1..i)/x^(i-m+1)od:E:=exp(-x)/x~(m)*E:return(E);结束:EA(x,3,n);
#结束程序2
数学
a[n,m]/;n>=1&&1<=m<=n=(-1)^(n+m)*二项式[m+1,2]*斯特林S1[n+1,m+1];扁平[表[a[n,m],{n,1,9},{m,1,n}][[1;;42]](*Jean-François Alcover公司,2011年6月1日,公式*之后)
黄体脂酮素
(PARI)对于(n=1,10,对于(m=1,n,print1((-1)^(n+m)*二项式(m+1,2)*斯特林(n+1,m+1,1),“,”))\\G.C.格鲁贝尔2017年8月8日
作者
约翰内斯·W·梅耶尔&尼科·巴肯(n.h.g.Baken(AT)tudelft.nl),2009年8月13日,2009年10月22日
1, 18, 245, 3135, 40369, 537628, 7494416, 109911300, 1698920916, 27679825272, 474957547272, 8572072384512, 162478082312064, 3229079010579072, 67177961946534528, 1460629706845766400, 33139181950164806400, 783398920650352012800, 19268391564147377318400
评论
高阶指数积分E(x,m=4,n=3)~exp(-x)/x^4*(1-18/x+245/x^2-3135/x^3+40369/x^4-537628/x^5+…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A163934号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
对于非负整数n,m和复数a,b(b<>0),数字R_n^m(a,b)是由Mitrinovic(1961)和Mitrinovic和Mitrinovic(1962)使用稍微不同的符号引入的。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}(x-(a+b*r))=Sum_{m=0..n}r_n^m(a,b)*x^m定义的,对于n>=0。
因此,当n>=m>=1时,R_n^m(a,b)=R_{n-1}^{m-1}(a,b)-(a+b*(n-1))*R_{n-1}^m(a,b。
在a=0和b=1的条件下,我们得到了第一类Stirling数S1(n,m)=R_n^m(a=0,b=1)=A048994号(n,m)对于n,m>=0。
对于n>=m>=0,我们有R_n^m(a,b)=Sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*S1(n,m+k)。
对于当前序列,对于n>=0,a(n)=R{n+3}^3(a=-3,b=-1)。(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。,第77号(1962年),1-77[jstor稳定版]。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
配方奶粉
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n+k)*二项式(k+3,3)*3^k*斯特林1(n+3,k+3)2004年1月26日,Borislav Crstici公司
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{k=0..n-i}二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0..k-1}(-a-j),那么对于n>=3,a(n-3)=|f(n、3,3)|-米兰扬吉奇2008年12月21日
a(n)=[x^3]Product_{r=0}^{n+2}(x+3+r)=(Product_{r=0}^{n=2}(r+3))*Sum_{0<=i<j<=n+2}1/((3+i)*(3+j)*(3+k))。
由于a(n)=R_{n+3}^3(a=-3,b=-1),A001712号(n) =R_{n+2}^2(a=-3,b=-1),以及A001711号(n) =R{n+1}^1(a=-3,b=-1),方程R{n+3}^3(a=-3,b=-1
(i) a(n)=A001712号(n) 当n>=1时,为+(n+5)*a(n-1)。
(ii)a(n)=A001711号(n) 当n>=2时,+(2*n+9)*a(n-1)-(n+4)^2*a(n-2)。
(iii)a(n)=(n+2)/当n>=3时,2+3*(n+4)*a(n-1)-(3*n^2+21*n+37)*a。
(iv)a(n)=2*(2*n+7)*a(n-1)-(6*n^2+36*n+55)*a。(结束)
数学
nn=23;t=范围[0,nn]!系数列表[级数[-Log[1-x]^3/(6*(1-x)^3),{x,0,nn}],x];落差[t,3](*T.D.诺伊2012年8月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=总和(k=0,n,(-1)^(n+k)*二项式(k+3,3)*3^k*stirling(n+3,k+3,1))\\米歇尔·马库斯2016年1月20日
(PARI)b(n)=产品(r=0,n+2,r+3);
c(n)=总和(i=0,n+2,总和(j=i+1,n+2,总和(k=j+1,n=2,1/((3+i)*(3+j)*(3+k)));
1, 25, 445, 7140, 111769, 1767087, 28699460, 483004280, 8460980836, 154594537812, 2948470152264, 58696064973000, 1219007251826064, 26390216795274288, 594982297852020288, 13955257961738192448, 340154857108405040256, 8606960634143667938688
评论
高阶指数积分E(x,m=5,n=3)~exp(-x)/x^5*(1-25/x+445/x^2-7140/x^3+111769/x^4-…)的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号对于E(x,m,n)信息和163932英镑对于渐近展开的Maple过程-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
对于非负整数n,m和复数a,b(b<>0),数字R_n^m(a,b)是由Mitrinovic(1961)和Mitrinovi及Mitrinovis(1962)使用稍微不同的符号引入的。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}(x-(a+b*r))=Sum_{m=0..n}r_n^m(a,b)*x^m定义的,对于n>=0。
因此,当n>=m>=1时,R_n^m(a,b)=R_{n-1}^{m-1}(a,b)-(a+b*(n-1))*R_{n-1}^m(a,b。
在a=0和b=1的条件下,我们得到了第一类Stirling数S1(n,m)=R_n^m(a=0,b=1)=A048994号(n,m)对于n,m>=0。
对于n>=m>=0,我们有R_n^m(a,b)=Sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*S1(n,m+k)。
对于当前序列,对于n>=0,a(n)=R{n+4}^4(a=-3,b=-1)。(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。,第77号(1962年),1-77[jstor稳定版]。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。第77号(1962年),1-77。
配方奶粉
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n+k)*二项式(k+4,4)*3^k*斯特林1(n+4,k+4)Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{k=0..n-i}二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0..k-1}(-a-j),那么对于n>=4,a(n-4)=|f(n、4,3)|-米兰扬吉奇2008年12月21日
a(n)=[x^4]乘积_{r=0}^{n+3}(x+3+r)=(乘积_{r=0}^{n+3}(r+3))*总和_{0<=i<j<k<m<=n+3}1/((3+i)*(3+j)*(3+k)*(3+m))。
例如:求和{n>=0}a(n)*x^(n+4)/(n+4)!=(log(1-x))^4/(1-x)^3/24。
由于a(n)=R_{n+4}^4(a=-3,b=-1),A001713号(n) =R_{n+3}^3(a=-3,b=-1),A001712号(n) =R_{n+2}^2(a=-3,b=-1),以及A001711号(n) =R{n+1}^1(a=-3,b=-1),方程R{n+4}^4(a=-3,b=-1
(i) a(n)=A001713号(n) 当n>=1时,为+(n+6)*a(n-1)。
(ii)a(n)=A001712号(n) 当n>=2时,+(2*n+11)*a(n-1)-(n+5)^2*a(n-2)。
(iii)a(n)=A001711号(n) 当n>=3时,+3*(n+5)*a(n-1)-(3*n^2+27*n+61)*a。
(iv)a(n)=(n+2)/当n>=4时,2+2*(2*n+9)*a(n-1)-(6*n^2+48*n+97)*a(n-2)+(2*n+7)*(2*n^2+14*n+25)*a(n-3)-(n+3)^4*a(n-4)。
(v) 通过取差a(n)-(n+2)*a(n-1),并使用上面的(iv),我们得到了多项式次数系数最多为5的5阶线性递归。我们省略了细节。(结束)
数学
nn=24;t=范围[0,nn]!系数列表[级数[Log[1-x]^4/(24*(1-x)^3),{x,0,nn}],x];下降[t,4](*T.D.诺伊2012年8月9日*)
扩展
更多术语来自Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日
初等对称函数a_k(3,4,…,n+2)的表(no 1和2)。
+10 三
1, 1, 3, 1, 7, 12, 1, 12, 47, 60, 1, 18, 119, 342, 360, 1, 25, 245, 1175, 2754, 2520, 1, 33, 445, 3135, 12154, 24552, 20160, 1, 42, 742, 7140, 40369, 133938, 241128, 181440, 1, 52, 1162, 14560, 111769, 537628, 1580508, 2592720, 1814400, 1, 63, 1734, 27342, 271929, 1767087, 7494416, 19978308, 30334320, 19958400
评论
一般来说,三角形S_{i,j}(n,k),n>=k>=0,1<=i<j<=n+2对于n<i定义为a_k(1,2,…,n),而对于n>=i定义为a_k(1,2,……,i-1,i+1,…,j-1,…,n+2)。
a_0():=1。现在的三角形是S_{1,2}(n,k)(不允许1和2)。
配方奶粉
如果n<k,a(n,k)=a_k(3,4,…,n+2),n>=0,k=0,。。。,n、 使用初等对称函数ak(参见上面的注释)。
a(n,k)=和(2^k*(|s(n+3,n+3-k+2*p)|-(s_1(n+1,k-1-2*p)+2*s_2(n+1、k-1-2*1)),p=0..floor(k/2)),第一类斯特林数s(n,m)=A048994号(n,m)和数字三角形S_1(n,k)=A145324号(n+1,k+1)和S_2(n,k)=A196841号(n,k)。
例子
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7。。。
0: 1
1: 1 3
2: 1 7 12
3: 1 12 47 60
4: 1 18 119 342 360
5: 1 25 245 1175 2754 2520
6: 1 33 445 3135 12154 24552 20160
7: 1 42 742 7140 40369 133938 241128 181440
...
a(3,2)=a2(3,4,5)=3*4+3*5+4*5=47。
a(3,2)=1*(s(6,4)|-(1*14+2*13))+2*(|s(6,16)|-“1*0+2*0”)=85-40+2(1-0)=47。
a(4,3)=a3(3,4,5,6)=3*4*5+3*4*6+3*5*6+4*5*6=342。
a(4,3)=1*(s(7,4)|-(1*155+2*137))+2*(s[7,6)|-“1*1+2*1”)=735-429+2*(21-3)=342。
三角形T(n,k)=[x^n](n+k+x)/(k+x)!对于0<=k<=n,按行读取。
+10 2
1, 1, 1, 2, 5, 1, 6, 26, 12, 1, 24, 154, 119, 22, 1, 120, 1044, 1175, 355, 35, 1, 720, 8028, 12154, 5265, 835, 51, 1, 5040, 69264, 133938, 77224, 17360, 1687, 70, 1, 40320, 663696, 1580508, 1155420, 342769, 46816, 3066, 92, 1
配方奶粉
T(n,k)=和{j=0..n-k}二项式(j+k,k)*|Stirling1(n,j+k)|*(k+1)^j。
例子
三角形开始:
[0] 1
[1] 1, 1
[2] 2, 5, 1
[3] 6, 26, 12, 1
[4] 24, 154, 119, 22, 1
[5] 120, 1044, 1175, 355, 35, 1
[6] 720, 8028, 12154, 5265, 835, 51, 1
[7] 5040, 69264, 133938, 77224, 17360, 1687, 70, 1
[8] 40320, 663696, 1580508, 1155420, 342769, 46816, 3066, 92, 1
[9] 362880, 6999840, 19978308, 17893196, 6687009, 1197273, 109494, 5154, 117, 1
MAPLE公司
T:=(n,k)->加(二项式(j+k,k)*(k+1)^j*abs(斯特林1(n,j+k)),j=0..n-k);
seq(seq(T(n,k),k=0..n),n=0..8);
#请注意,对于n>16,Maple无法(至少在某些版本中)计算
#条款。插入“简化”或数值计算可能会有所帮助。
A325137行:=proc(n)本地ogf,ser;ogf:=(n,k)->(n+k+x)/(k+x)!;
ser:=(n,k)->级数(ogf(n,k),x,k+2);seq(系数(ser(n,k),x,k))结束:seq(A325137行(n),n=0..8);
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