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第一类无符号Stirling数s（n+1，2）：a（n+1）=（n+1）*a（n）+n！。
（原名M2902 N1165）
+10
175
0, 1, 3, 11, 50, 274, 1764, 13068, 109584, 1026576, 10628640, 120543840, 1486442880, 19802759040, 283465647360, 4339163001600, 70734282393600, 1223405590579200, 22376988058521600, 431565146817638400, 8752948036761600000, 186244810780170240000
评论
正好有两个循环的n+1元素的排列数。
的行和A094310号：在对称群S_n中，每个置换因子为k个独立的循环；a（n）=总和k除以S_n.-哈雷-弗兰德（哈雷（AT）umich.edu），2004年6月28日
最后一列的顶层与高度n的所有装饰性多柱体的总和。装饰性多柱体是一种定向柱形凸面多柱体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中达到。例如：a（2）=3，因为高度为2的装饰多面体是垂直和水平多米诺骨牌，其最后一列的标高分别为2和1-Emeric Deutsch公司，2006年8月12日
对于所有组合n>=6，a（n）可被n整除。a（2*n）可被2*n+1整除-勒罗伊·奎特2007年5月20日
对于n>=2，n-1 X n-1矩阵M（i，j）的行列式=i+2，对于i=j，则为1（i，j=1..n-1）。例如，对于n=3，[（3，1），（1，4）]的行列式。参见第53次普特南考试，1992年，问题B5-弗兰兹·弗拉贝克2008年1月13日，2008年3月26日
当我们对调和序列中的项求和（无需简化）时，分数的分子。(1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2; 3/2 + 1/3 = 9/6 + 2/6 = 11/6; 11/6 + 1/4 = 44/24 + 6/24 = 50/24;...). 这个分数的分母是n*A000142号. -埃里克·德斯比奥2009年1月7日
高阶指数积分E（x，m=2，n=1）~exp（-x）/x^2*（1-3/x+11/x^2-50/x^3+274/x^4-1764/x^5+13068/x^6-…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
a（n）是正好包含2个圈的[n+1]的置换数。例如：a（2）=3，因为置换（1）（23）、（12）（3）、（13）（2）是[3]仅有的两个循环的置换汤姆·伍德沃德（Tom Woodward（twoodward（AT）macalester.edu），2009年11月12日
除n=4外，如果n是复合的，则a（n）mod n=0，如果n为素数，则=n-1-加里·德特利夫斯2010年9月11日
调和数H（n）的分子=Sum_{i=1..n}1/i（未约化时）。请参见A001008号（Wolstenholme数）表示约化分子-拉胡尔·贾阿2015年2月18日
a（n）是前n个数的（n-1）-st初等对称函数-安东·扎哈罗夫2016年11月2日
对数（x）的第n次迭代积分是x^n*（n！*log（x）-a（n））/（n！）^2+具有任意系数的n-1次多项式。这可以用递推关系a（n）=（n-1）！+来证明n*a（n-1）-Mohsen Maesumi先生，2018年10月31日
[n]的所有排列中从左到右的最大值（或最小值）的总数。a（3）=11=3+2+2+1+1：（1）（2）（3），（1）-阿洛伊斯·海因茨2020年8月1日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，恒等式186-190。
N.Bleistein和R.A.Handelsman，积分的渐近展开，多佛出版社，1986年，见第2页。MR0863284（89天：41049）
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第217页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
Gao Shanzhen，具有限制性结构的置换（在制备中）。
K.Javorszky，《自然秩序：自然秩序》，2016年，ISBN 978-3-99057-139-2。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，简单的标记网格图案，arXiv:12011.1323[math.CO]，2012年。
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，象限标记的网格图案，J.国际顺序。15 (2012), #12.4.7.
Chanchal Kumar和Amit Roy，整数序列与单项式理想，arXiv:2003.10098[math.CO]，2020年。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
配方奶粉
设P（n，X）=（X+1）*（X+2）*（X+3）**（X+n）；则a（n）是X的系数；或a（n）=P'（n，0）-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月9日
求和{k>0}a（k）*x^k/k^2=经验（x）*（总和{k>0}（-1）^（k+1）*x^k/（k*k！））-迈克尔·索莫斯2004年3月24日；已由更正沃伦·史密斯2006年2月12日
a（n）是x^（n+2）在（-log（1-x））^2中的系数，乘以（n+2）/2
a（n）~2^（1/2）*Pi^（1/2）*log（n）*n^（1/1）*e^-n*n^n.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月6日
例如：log（1-x）/（x-1）。（=（log（1-x））^2/2，如果偏移量为1）-迈克尔·索莫斯2004年2月5日
带递归的D-有限：a（n）=a（n-1）*（2*n-1）-a（n-2）*（n-1）^2，如果n>1-迈克尔·索莫斯2004年3月24日
a（n）=n*和{k=1..n}（-1）^（k+1）*二项式（n，k）/k-弗拉德塔·乔沃维奇2005年1月29日
p^2将a（p-1）除以素数p>3。a（n）=（求和{i=1..n}1/i）/产品{i=1.n}1/i-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日
a（n+1）=和{i=1..层（（n-1）/2）}n/（（n-i）*i）+总和{i=天花板（n/2）..地板（n/2/（2*（n-i）*i）-山珍高2010年9月14日
a（n）=（a（n-1）*（n^2-2*n+1）+（n+1）！）/（n-1）对于n>2。
除n=2外，如果n是复合的，则（a（n+1）^2-a（n）^2）mod n^2=0，如果n为素数，则4*n。
除n=2外，如果n是复合的，（a（n+1）^3-a（n）^2）mod n=0；如果n是素数，则n-2。
除n=2外，如果n是复合的，则（a（n）^2+a（n+1）^2）mod n=0，如果n为素数，则mod n=2。（结束）
a（n）=积分{x=0..oo}（x^n-n！）*log（x）*exp（-x）dx-格鲁·罗兰2011年3月28日
a（n）=3*n/2+2*（n-2）*Sum_{k=0..n-3}二项式（k+2,2）/（n-2-k）对于n>=2-加里·德特利夫斯2011年9月2日
a（n）/（n-1）！=ml（n）=n*ml（n-1）/（n-1。ml的G.f.：x*（1-对数（1-x））/（1-x）^2-保罗·维森霍恩2011年11月18日
a（n）=det（|S（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-2），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
例如：x/（1-x）*E（0）/2，其中E（k）=2+E（k+1）*x*（k+1/（k+2）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年6月1日[编辑：迈克尔·索莫斯2013年11月28日]
0=a（n）*（a（n+4）-6*a（n+3）+7*a（n+2）-a（n+1））-a-迈克尔·索莫斯2013年11月28日
对于计算序列的简单方法，乘以n！通过（1-x^n）/（1-x）dx的0到1的积分-拉胡尔·贾阿，2015年2月18日
a（n）~sqrt（2*Pi*n）*n^n*（log（n）+gamma）/exp（nA001620号.（结束）
a（n）=（（-1）^（n+1）/2*（n+1”）*Sum_{k=1..n}k*Bernoulli（k-1）*Stirling1（n，k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月20日
a（n）=（n）！*（digamma（n+1）+gamma），其中gamma是Euler-Marcheroni常数A001620号. -佩德罗·卡塞雷斯2018年3月10日
伽马射线'（x）=a（x-1）-（x-1）*gamma，其中gamma'（x）是gamma函数在正整数处的导数，gamma是Euler-Mascheroni常数。例如。：
伽马'（1）=-伽马，伽马'，
伽马'（22）=186244810780170240000-51090942171709440000*伽马。（结束）
以下都是推测：
例如：对于非零m，（1/m）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*（1/n）*二项式（m*n，n）*x^n/（1-x）^11*x^3/3！+50*x^4/4！+。。。。
对于非零m，a（n）=（1/m）*n*求和{k=1..n}（-1）^（k+1）*（1/k）*二项式（m*k，k）*二项式（n+（m-1）*k，n-k）。
a（n）^2=（1/2）*n^2*Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*（1/k^2）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）。（结束）
a（n）=n！*1/（1-1 ^2/（3-2 ^2/-彼得·巴拉2024年3月16日
例子
（1x）^-1*（-log（1-x））=x+3/2*x^2+11/6*x^3+25/12*x^4+。。。
G.f.=x+x^2+5*x^3+14*x^4+94*x^5+444*x^6+3828*x^7+25584*x^8+。。。
MAPLE公司
a:=n->加（n！/k，k=1..n）：序列（a（n），n=0..21）#零入侵拉霍斯，2008年1月22日
数学
表[（PolyGamma[m]+EulerGamma）（m-1）！，{m，1，24}](*沃特·梅森*)
表[n！*谐波编号[n]，{n，0，19}](*罗伯特·威尔逊v2005年5月21日*）
表[Sum[1/i，{i，1，n}]/乘积[1/i、{i、1、n}]，{n，1，30}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日*）
Abs[StirlingS1[范围[20]，2]](*哈维·P·戴尔2011年8月16日*）
表[Gamma'[n+1]/。EulerGamma->0，{n，0，30}](*李涵2024年2月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（n+1）！/2*和（k=1，n，1/k/（n+1-k））}/*迈克尔·索莫斯2004年2月5日*/
（Sage）[范围（1，22）中i的stirling_number1（i，2）]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
（最大值）
a（n）：=（-1）^（n+1）/2*（n+1”）*和（k*bern（k-1）*stirling1（n，k），k，1，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月20日*/
（岩浆）a:=[]；对于[1..22]中的n，do a：=猫[Abs（StirlingFirst（n，2））]；结束；a//马吕斯·A·伯蒂2020年1月1日
三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，给出多项式（x+1）（x+2）的系数。。。（x+n），以x的递增幂展开，T（n，k）也是无符号斯特林数|s（n+1，k+1）|，表示正好包含k+1圈的n+1元素上的置换数。
+10
65
1, 1, 1, 2, 3, 1, 6, 11, 6, 1, 24, 50, 35, 10, 1, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1
评论
或者，三角形T（n，k），0<=k<=n，由[1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,6，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号.
高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号.指数积分E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+n*（n+1）/x^2-n*（n+1）*（n+2）/x ^3+…）的渐近展开式，见阿布拉莫维茨和斯特根。这个公式是根据渐近展开的一般公式得出的，参见A163932号.我们重写了E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+（n^2+n）/x^2-（2*n+3*n^2+n^3）/x^3+（6*n+11*n^2+6*n^3+n^4）/x ^3-…）并观察到T（n，m）是分母中的多项式系数。查看的a（n，m）公式A028421号,A163932号和A163934号，将上面给出的偏移量移动到1，我们可以写出T（n-1，m-1）=a（n，m）=（-1）^（n+m）*Stirling1（n，m），参见Maple程序。
（结束）
置换中i左边大于i的元素的数量给出了反演向量的第i个元素。（Skiena-Pemmaraju 2003，p.69。）T（n，k）是在其反转向量中正好具有k 0的n个置换数。参见下面Mathematica代码中的证据-杰弗里·克雷策2010年5月7日
T（n，k）统计具有n+2个节点的“自然生长”有根树森林中具有k+1个树干的有根树。这对应于表示向量、李导数或流场和形式群律的无穷小生成器的迭代导数的系数之和。参考中的链接A139605型. -汤姆·科普兰2014年3月23日
初始n＝1，T的行多项式为p（n，x）＝x（x+1）。。。（x+n-1），x的幂对应于上述“自然生长”森林中有根树的树干数。对于允许m种颜色的每个树干，p（n，m）给出了森林中此类非车道颜色树的数量，每棵树有n+1个顶点。
从Joni等人的链接来看，p（n，m）还表示n个可分辨标志在m个可分辨旗杆上的分布。
完整图K_n的色多项式是下降阶乘，它对K_n中n个顶点的着色进行编码，并给出p（n，m）的移位形式。
例如，对于行多项式：（1-y）^（-x）。
（结束）
不定项c（1）到c（n）中n X n Vandermonde矩阵V（n）的行列式|V（n
|V（n）|=产品{1<=j<k<=n}（c（j）-c（k））。设W（n，x）=|V（n）|*（c（1）c（2）。。。c（n））^x，则p（n，x）=W^（-1）[c（1）d/dc（1。参见Chervov链接，第47页-汤姆·科普兰2014年4月10日
让M表示下单位三角形数组A094587号对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0百万/
将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，M（0）=M。那么现在的三角形等于无限矩阵乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。（定义明确）。请参阅示例部分。（结束）
关于这种不断上升的阶乘与维耶诺·拉盖尔故事时刻的关系，请参见第4页的Hetyei链接-汤姆·科普兰2015年10月1日
参考文献
Sriram Pemmaraju和Steven Skiena，《计算离散数学》，剑桥大学出版社，2003年，第69-71页。[杰弗里·克雷策2010年5月7日]
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第5章，第227-251页。[来自约翰内斯·梅耶尔2009年10月7日]
伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科，关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期，国立乌法大学，Aeterna出版社，2024年，第15-19页。俄语。
配方奶粉
如果k>n或n<0，T（0,0）=1，T（n，k）=0，T（n，k）=T（n-1，k-1）+n*T（n-1，k）。T（n，0）=n=A000142号（n） ●●●●。T（2*n，n）=A129505号（n+1）。求和{k=0..n}T（n，k）=（n+1）=A000142号（n+1）。和{k=0..n}T（n，k）^2=A047796号（n+1）。T（n，k）=|箍筋1（n+1，k+1）|，参见A008275号.（x+1）（x+2）。。。（x+n）=和{k=0..n}T（n，k）*x^k阿里·博斯2008年7月11日]
对于k=1..n，设A={A_1，A_2，…，A_k}表示{1,2，…，n}的size-k子集。然后T（n，n-k）=总和（Product_{i=1..k}a_i），其中总和覆盖所有子集a。例如，T（4,1）=50，因为1*2*3+1*2x4+1*3*4+2*3*4=50-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
前面的公式表示T（n，k）=sigma_{n-k}（1,2,3，…，n），其中第（n-k）个初等对称函数sigma的不定项选择为1,2，。。。，n.参见2011年10月24日的评论A094638号sigma在那里被称为a-沃尔夫迪特·朗2013年2月6日
三角形的第n行=M^n的顶行，其中M是生产矩阵：
1, 1;
1, 2, 1;
1, 3, 3, 1;
1, 4, 6, 4, 1;
…（结束）
指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]。递归：T（n+1，k+1）=Sum_{i=0..n-k}（n+1）/（n+1-i）*T（n-i，k）-彼得·巴拉2014年7月21日
例子
三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=0：1
n=1：1 1
n=2:2 3 1
n=3:6 11 6 1
n=4:24 50 35 10 1
n=5:120 274 225 85 15 1
n=6:720 1764 1624 735 175 21 1
n=7:5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
n=8:40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
n=9:362880 1026576 1172700 723680 269325 63273 9450 870 45 1个
n=10:3628800 10628640 12753576 8409500 3416930 902055 157773 18150 1320 55 1
T（3,2）=6，因为有6个{1,2,3,4}的置换在它们的反转向量中正好有2个0：{1，2，4，3}，{1，3，2，4}，}，2,1，3。各个反转矢量是{0，0，1}，{0，1，0}，{0，2，0}，{1，0，0}，{2，0，0}，{3，0，0}-杰弗里·克雷策2010年5月7日
T（3,1）=11，因为{1,2,3,4}正好有11个置换，有2个循环，即（1）（234），（1），（243），（2）（134），（3）（124）-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
使用注释部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0*）M（1）*M（2）*。。。开始
/ 1 \/1 \/1 \ / 1 \
| 1 1 ||0 1 ||0 1 | | 1 1 |
| 2 2 1 ||0 1 1 ||0 0 1 |... = | 2 3 1 |
| 6 6 3 1 ||0 2 2 1 ||0 0 1 1 | | 6 11 6 1 |
|24 24 12 4 1||0 6 6 3 1||0 0 2 2 1| |24 50 35 10 1|
|... ||... ||... | |... |
（结束）
MAPLE公司
使用（组合）：A130534型：=进程（n，m）：（-1）^（n+m）*stirling1（n+1，m+1）结束进程：seq（seq(A130534型（n，m），m=0..n），n=0..10）#约翰内斯·梅耶尔，2009年10月7日，2012年9月11日修订
#将（1，0，0，…）添加为列0（并移动枚举）。
BellMatrix（n->n！，9）#彼得·卢什尼2016年1月27日
数学
表[Table[Length[Select[Map[ToInversionVector，Permutations[m]]，Count[#，0]==n&]]，{n，0，m-1}]，{m，0，8}]//网格(*杰弗里·克雷策2010年5月7日*）
行=10；
t=范围[0，行]！；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a130534 n k=a130534_tabl！！n！！k个
a130534_row n=a130534-tabl！！n个
a130534_tabl=地图（地图abs）a008275_tabl
第一类无符号斯特林数s（n，3）。
（原名M4218 N1762）
+10
30
1, 6, 35, 225, 1624, 13132, 118124, 1172700, 12753576, 150917976, 1931559552, 26596717056, 392156797824, 6165817614720, 102992244837120, 1821602444624640, 34012249593822720, 668609730341153280, 13803759753640704000
评论
具有正好3个循环的n个元素的排列数。
高阶指数积分E（x，m=3，n=1）~exp（-x）/x^3*（1-6/x+35/x^2-225/x^3+1624/x^4-13132/x^5+…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A163932号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第217页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
高善珍，限制结构排列（筹）-山珍高2010年9月14日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，简单的标记网格图案，arXiv:12011.1323[math.CO]，2012年。
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，象限标记网格图案，J.国际顺序。15 (2012), #12.4.7.
配方奶粉
例如：-log（1-x）^3/3！。
a（n）是x^（n+3）在（-log（1-x））^3中的系数，乘以（n+3）/6
a（n）=（（总和{i=1..n-1}1/i）^2-总和{i=1..n-1}1/i^2）*（n-1）/n>=3.-时为2克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de），2000年1月18日
a（n）=det（|S（i+3，j+2）|，1<=i，j<=n-3），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=（n-3）！+当n>=5时，为（2*n-3）*a（n-1）-（n-2）^2*a（n-2）。
当n>=6时，a（n）=3*（n-2）*a（n-1）-（3*n^2-15*n+19）*a。（结束）
例子
（-log（1-x））^3=x^3+3/2*x^4+7/4*x^5+15/8*x^6+。。。
MAPLE公司
seq（abs（斯特林1（n，3）），n=3..30）#罗伯特·伊斯雷尔，2015年7月5日
数学
a=对数[1/（1-x）]；范围[0，20]！系数列表[序列[a^3/3！，{x，0，20}]，x]
f[n_]：=Abs@StirlingS1[n，3]；数组[f，19，3]
Abs[StirlingS1[范围[3，30]，3]](*哈维·P·戴尔2014年6月23日*）
f[n_]：=伽马[n]*（谐波数[n-1]^2+泽塔[2，n]-泽塔[2]）/2；数组[f，19，3](*罗伯特·威尔逊v2015年7月5日*）
黄体脂酮素
（MuPAD）f:=proc（n）选项记忆；开始n^3*f（n-3）-（3*n^2+3*n+1）*f（n-2）+3*（n+1）*f（n-1）end_proc:f（0）：=1:f（1）：=6:f（2）：=35:
（PARI）用于（n=2,50，print1（polceoff（prod（i=1，n，x+i），2，x），“，”）
（鼠尾草）[范围（1，22）内i的stirling_number1（i+2,3）]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
1, 3, 3, 11, 18, 6, 50, 105, 60, 10, 274, 675, 510, 150, 15, 1764, 4872, 4410, 1750, 315, 21, 13068, 39396, 40614, 19600, 4830, 588, 28, 109584, 354372, 403704, 224490, 68040, 11466, 1008, 36, 1026576, 3518100, 4342080, 2693250, 949095, 198450
评论
高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号渐近展开式E（x，m，n）~E（x，m-1，n+1）/x-n*E（x，m-1，n+2）/x^2+n*（n+1）*E（x，m-1，n+3）/x^3-n*（n+1）*（n+2）*E（x，m-1，n+4）/x^4+的通式。。。。，m>=1，n>=1。
我们使用了这个公式和E（x，m=2，n）的渐近展开式，参见A028421号，以确定E（x，m=3，n）~（exp（-x）/x^3）*（1-（3+3*n）/x+（11+18*n+6*n^2）/x|2-（50+105*n+60*n^2+10*n*n^3）/x*3+…）。这个公式得出了上面给出的三角形系数。
渐近展开将n的值从1到10引入已知序列，参见交叉参考。
第一个Maple程序生成上述序列，第二个程序生成E（x，m=3，n）的渐近展开式。
配方奶粉
a（n，m）=（-1）^（n+m）*二项式（m+1,2）*stirling1（n+1，m+1）对于n>=1和1<=m<=n。
例子
三角形的前几行是：
[1]
[3, 3]
[11, 18, 6]
[50, 105, 60, 10]
MAPLE公司
nmax:=8；与（组合）：对于n1从1到nmax，对于m从1到n1，do做a（n1，m）：=（-1）^（n1+m）*二项式（m+1，2）*stirling1（n1+1，m+1）od:od:seq（seq（a（n1,m），m=1..n1），n1=1..nmax）；
#结束程序1
带（组合）：imax:=6；EA:=进程（x，m，n）局部E，i；E:=0：对于i从m-1到imax+1做E:=E+和（（-1）^（m+k1+1）*二项式（k1，m-1）*n^（k1-m+1）*stirling1（i，k1），k1=m-1..i）/x^（i-m+1）od:E:=exp（-x）/x~（m）*E:return（E）；结束：EA（x，3，n）；
#结束程序2
数学
a[n，m]/；n>=1&&1<=m<=n=（-1）^（n+m）*二项式[m+1，2]*斯特林S1[n+1，m+1]；扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}][[1；；42]](*Jean-François Alcover公司，2011年6月1日，公式*之后）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=1,10，对于（m=1，n，print1（（-1）^（n+m）*二项式（m+1，2）*斯特林（n+1，m+1，1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年8月8日
作者
约翰内斯·梅耶尔&尼科·巴肯（n.h.g.Baken（AT）tudelft.nl），2009年8月13日，2009年10月22日
第一类无符号斯特林数s（n，4）。
（原名M4730 N2022）
+10
20
1, 10, 85, 735, 6769, 67284, 723680, 8409500, 105258076, 1414014888, 20313753096, 310989260400, 5056995703824, 87077748875904, 1583313975727488, 30321254007719424, 610116075740491776
评论
正好有4个循环的n个元素的排列数。
高阶指数积分E（x，m=4，n=1）~exp（-x）/x^4*（1-10/x+85/x^2-735/x^3+6769/x^4-…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A163932号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2016年6月11日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第217页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
高善珍，带限制结构的排列（准备中）[来自山珍高，2010年9月14日]【截至2016年6月显然未发表】
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
配方奶粉
例如：（-log（1-x））^4/4！。[由更正约尔格·阿恩特，2009年10月5日]
a（n）是x^（n+4）在（-log（1-x））^4中的系数，乘以（n+4）/4!.
a（n）=（h（n-1，1）^3-3*h（n-1,1）*h（n-1，2）+2*h（n1，3））*（n-1）/三！，其中h（n，r）=总和{i=1..n}1/i^r.-克劳斯·斯特拉斯伯格，2000
a（n）=det（|S（i+4，j+3）|，1<=i，j<=n-4），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=y（n）*n/24，其中y（0）=y（1）=y*（3+n）*（4+n）*y（n+4）=0-本尼迪克特·欧文2016年7月12日
a（n）=2*（2*n-5）*a（n-1）-（6*n^2-36*n+55）*a（n-2）+（2*n-7）*（2*n^2-14*n+25）*α（n-3）-（n-4）^4*a（n-4）。
a（n）~n！*（对数（n））^3/（6*n）*（1+3*gamma/log（n）+（3*gamma^2-Pi^2/2）/（对数（n））^2），其中gamma是Euler-Marcheroni常数A001620号.（结束）
a（n）=A000254当n>=3时，（n-3）+（2*n-3）*a（n-1）-（n-2）^2*a（n-2）。
a（n）=（n-4）！+3*（n-2）*a（n-1）-（3*n^2-15*n+19）*a。（结束）
例子
（-log（1-x））^4=x^4+2*x^5+（17/6）*x^6+（7/2）*x*7+。。。
数学
Abs[StirlingS1[范围[4，20]，4]](*哈维·P·戴尔2011年8月26日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=3，50，print1（polcoeff（prod（i=1，n，x+i），3，x），“，”）
（Sage）[范围（4，22）内i的stirling_number1（i，4）]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
扩展
更多来自Klaus Strassburger（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）的条款，2000年1月18日
第一类无符号斯特灵数s（n，5）。
（原名M4983 N2142）
+10
20
1, 15, 175, 1960, 22449, 269325, 3416930, 45995730, 657206836, 9957703756, 159721605680, 2706813345600, 48366009233424, 909299905844112, 17950712280921504, 371384787345228000, 8037811822645051776, 181664979520697076096, 4280722865357147142912, 105005310755917452984576
评论
正好有5个循环的n个元素的排列数。
高阶指数积分E（x，m=5，n=1）~exp（-x）/x^5*（1-15/x+175/x^2-1960/x^3+22449/x^4-…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号对于E（x，m，n）信息和A163932号对于渐近展开的Maple过程-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Shanzhen Gao，带限制结构的排列（编制中）[山珍高2010年9月14日]
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
配方奶粉
例如：（-log（1-x））^5/5！。[由更正约尔格·阿恩特，2009年10月5日]
a（n）是x^（n+5）在（-log（1-x））^5中的系数，乘以（n+5）/5!.
a（n）=det（|S（i+5，j+4）|，1<=i，j<=n-5），其中S（n，k）是第二类斯特林数。[米尔恰·梅卡2013年4月6日]
例子
（-log（1-x））^5=x^5+5/2*x^6+25/6*x^7+35/6*x^8+。。。
数学
Abs[StirlingS1[范围[5，30]，5]](*哈维·P·戴尔2014年5月26日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=4，50，print1（polceoff（prod（i=1，n，x+i），4，x），“，”）
（Sage）[范围（5，22）内i的stirling_number1（i，5）]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
第一类无符号斯特灵数s（n，6）。
（原名M5114 N2216）
+10
14
1, 21, 322, 4536, 63273, 902055, 13339535, 206070150, 3336118786, 56663366760, 1009672107080, 18861567058880, 369012649234384, 7551527592063024, 161429736530118960, 3599979517947607200, 83637381699544802976, 2021687376910682741568, 50779532534302850198976, 1323714091579185857760000
评论
高阶指数积分E（x，m=6，n=1）~exp（-x）/x^6*（1-21/x+322/x^2-4536/x^3+63273/x^4-…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号对于E（x，m，n）信息和A163932号对于渐近展开的Maple过程-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
配方奶粉
例如：（-log（1-x））^6/6！。
a（n）是x^（n+6）在（-log（1-x））^6中的系数，乘以（n+6）/6!.
a（n）=det（|S（i+6，j+5）|，1<=i，j<=n-6），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
例子
（-log（1-x））^6=x^6+3*x^7+23/4*x^8+9*x^9+。。。
数学
下降[Abs[StirlingS1[Range[30]，6]]，5](*哈维·P·戴尔2013年9月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=5，50，print1（polceoff（prod（i=1，n，x+i），5，x），“，”）
（Sage）[范围（6，22）内i的stirling_number1（i，6）]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
1, 6, 4, 35, 40, 10, 225, 340, 150, 20, 1624, 2940, 1750, 420, 35, 13132, 27076, 19600, 6440, 980, 56, 118124, 269136, 224490, 90720, 19110, 2016, 84, 1172700, 2894720, 2693250, 1265460, 330750, 48720, 3780, 120
评论
我们使用了后一个公式和E（x，m=3，n）的渐近展开式，参见A163932号，以确定E（x，m=4，n）~（exp（-x）/x^4）*（1-（6+4*n）/x+（35+40*n+10*n^2）/x*2-（225+340*n+150*n^2+20*n*n^3）/x^3+…）。这个公式得出了上面给出的三角形系数。
渐近展开将n的值从1到5引入已知序列，参见交叉参考。
第一个Maple程序生成上述序列，第二个程序生成E（x，m=4，n）的渐近展开式。
配方奶粉
a（n，m）=（-1）^（n+m）*C（m+2,3）*stirling1（n+2，m+2），对于n>=1和1<=m<=n。
例子
三角形的前几行是：
1;
6, 4;
35, 40, 10;
225, 340, 150, 20;
MAPLE公司
使用（组合）：A163934号：=过程（n，m）：（-1）^（n+m）*二项式（m+2，3）*stirling1（n+2，m+2）end:seq（seq(A163934号（n，m），m=1..n），n=1..8）；
带（组合）：imax:=6；EA:=进程（x，m，n）局部E，i；E： =0：对于从m-1到imax+2的i，E：=E+和（（-1）^（m+k+1）*二项式（k，m-1）*n^（k-m+1）*stirling1（i，k），k=m-1..i）/x^（i-m+1）od:E:=exp（-x）/x~（m）*E：返回（E）；结束：EA（x，4，n）；
数学
a[n，m]/；n>=1&&1<=m<=n=（-1）^（n+m）*二项式[m+2，3]*斯特林S1[n+2，m+2]；扁平[表[a[n，m]，{n，1，8}，{m，1，n}][[1；；36]](*Jean-François Alcover公司，2011年6月1日，配方后*）
1, 36, 870, 18150, 357423, 6926634, 135036473, 2681453775, 54631129553, 1146901283528, 24871845297936, 557921681547048, 12953636989943896, 311333643161390640, 7744654310169576800, 199321978221066137360
数学
滴[表[Abs[StirlingS1[n，8]]，{n，0，20}]，8](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月6日*）
1, 45, 1320, 32670, 749463, 16669653, 368411615, 8207628000, 185953177553, 4308105301929, 102417740732658, 2503858755467550, 63030812099294896, 1634980697246583456, 43714229649594412832
数学
滴[表[Abs[StirlingS1[n，9]]，{n，0，20}]，9](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月6日*）
搜索在0.023秒内完成
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