显示找到的14个结果中的1-10个。
1, 11, 51, 131, 221, 333, 573, 893, 1093, 1343, 1903, 2463, 2863, 3423, 4223, 5183, 5913, 6393, 7633, 9153, 9905, 11025, 12865, 14465, 15665, 16875, 18875, 21115, 22715, 24395, 27115, 30315, 31795, 33235, 36915, 39955, 42205, 45005, 48285
雅可比θ函数θ_3（x）=Sum_{m=-oo..oo}x^（m^2）的展开式（k^2=n的整数解的个数）。
+10
1506
1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0
评论
一维晶格Z的Theta级数。
此外，本质上与一维晶格A_1、A*_1、D_1、D*_1的θ级数相同。
将n写成正方形的方法的数量。
密切相关：theta_4（x）=Sum_{m=-oo..oo}（-x）^（m^2）。请参见A002448号.
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第6个，它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
参考文献
Tom M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，第二版，施普林格出版社，1990年，练习1，第91页。
J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和AGM》，威利出版社，1987年，第64页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第104页，[5n]。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第93页，等式（34.1）；第78页，等式（32.22）。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《定理352》，第282页。
J.Tannery和J.Molk，Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques，第2卷，Gauthier-Villars，巴黎，1902年；切尔西，纽约，1972年，见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，剑桥大学出版社，第4版，1963年，第464页。
链接
史蒂文·芬奇，数学常数II，《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
配方奶粉
eta（q^2）^5/（eta（q）*eta（q^4））^2的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[2，-3，2，-1，…]。
G.f.A（x）满足0=f（A（x-迈克尔·索莫斯2004年7月20日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=w^4-v^4+w*（u-w）^3-迈克尔·索莫斯2019年5月11日
G.f.：求和{m=-oo..oo}x^（m^2）；
a（0）=1；对于n>0，a（n）=0，除非n是一个正方形，当a（n）=2。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））*（1+x^）（2*k-1））^2。
G.f.：s（2）^5/（s（1）^2*s（4）^2），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），其中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
雅可比三乘积恒等式表明，对于|x|<1，z！=0，产品{n>0}{（1-x^（2n））（1+x^。
对于n>0，a（n）=2*（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1）））-米凯尔·奥尔顿2015年1月17日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4t））=2^（1/2）（t/i）^（1/2）f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2016年5月5日
a（n）=（2/n）*和{k=1..n}A186690型（k） *a（n-k），a（0）=1-满山圣一2017年5月27日
狄利克雷g.f.:2*ζ（2s）-1-弗朗索瓦·奥格2019年10月26日
G.f.似乎等于exp（2*Sum_{n>=0}x^（2xn+1）/（2*n+1）*（1+x^））-彼得·巴拉2021年12月23日
G.f.A.（x）满足A（x）*A（-x）=A（-x^2）^2。
A（x）=和{n>=1}x^（n-1）*乘积{k>=n}1-（-x）^k。
A（x）^2=1+4*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*x^（2*n-1）/（1-x^。例如，见罚款，26.63。
A（x）=1+2*Sum_{n>=1}x^（n*（n+1）/2）*（乘积_{k=1..n-1}1+x^k）/（乘积_{k=1..n}1+x^（2*k））。见Fine，方程式14.43。（结束）
例子
G.f.=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q ^ 25+2*q ^ 36+2*q ^ 49+2*。。。
MAPLE公司
加法（x^（m^2），m=-10..10）：seq（系数（%，x，n），n=0..100）；
#备选方案
如果n=0，则
1;
elif issqr（n）那么
2;
其他的
0 ;
结束条件：；
结束进程：
数学
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
系数列表[Sum[x^（m^2），{m，-（n=10），n}]，x]
（4 q赭石[q^2]/q赭石[1，-q]^2+O[q]^101）[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^5/（eta（x+a）*eta（x^4+a））^2，n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
（PARI）{a（n）=发行方（n）*2-（n==0）}/*迈克尔·索莫斯1999年6月17日*/
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（4），1/2），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（Magma）L:=晶格（“A”，1）；A<q>：=θ系列（L，20）；A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]）
Q.representation_number_list（105）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（茱莉亚）
使用Nemo
函数JacobiTheta3（len，r）
R、 x=多项式环（ZZ，“x”）
e=θ_qexp（r，len，x）
0中j的[fmpz（系数（e，j））：len-1]结束
A000122列表（len）=JacobiTheta3（len，1）
A000122列表（105）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
（Python）
从sympy.theory.primetest导入为平方
数组：T（d，n）=将n写成d平方和的方法数，通过升序反对偶读取。
+10
29
1, 1, 2, 1, 4, 0, 1, 6, 4, 0, 1, 8, 12, 0, 2, 1, 10, 24, 8, 4, 0, 1, 12, 40, 32, 6, 8, 0, 1, 14, 60, 80, 24, 24, 0, 0, 1, 16, 84, 160, 90, 48, 24, 0, 0, 1, 18, 112, 280, 252, 112, 96, 0, 4, 2, 1, 20, 144, 448, 574, 312, 240, 64, 12, 4, 0, 1, 22, 180, 672, 1136, 840, 544, 320, 24, 30, 8, 0
评论
对于任意n！=，T（d，n）可被2d整除如果d是2的幂-宋嘉宁2018年9月5日
例子
行d=1,2,3，…的数组T（d，n），。。。列n=0,1,2,3，。。。读取
1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 ...
1 4 4 0 4 8 0 0 4 4 8 ...
1 6 12 8 6 24 24 0 12 30 24 ...
1 8 24 32 24 48 96 64 24 104 144 ...
1 10 40 80 90 112 240 320 200 250 560 ...
1 12 60 160 252 312 544 960 1020 876 1560 ...
1 14 84 280 574 840 1288 2368 3444 3542 4424 ...
1 16 112 448 1136 2016 3136 5504 9328 12112 14112 ...
1 18 144 672 2034 4320 7392 12672 22608 34802 44640 ...
1 20 180 960 3380 8424 16320 28800 52020 88660 129064 ...
MAPLE公司
A122141号：=proc（d，n）局部i，cnts；碳纳米管：=0；对于从-ttrunk（sqrt（n））到trunk（sqrt（n））的i，如果n-i^2>=0，则如果d>1，则cnts:=cnts+procname（d-1，n-i^2）；elif n-i^2=0，则cnts:=cnts+1；fi；fi；od；碳纳米管；
结束：
对于从1到14的diag，do对于从0到diag-1的n，do：=diag-n；printf（“%d，”，A122141号（d，n））；od；od；
#第二个Maple项目：
A： =proc（d，n）选项记忆`if`（n=0，1，`if`（n<0或d<1，0，
A（d-1，n）+2*加法（A（d-l，n-j^2），j=1…isqrt（n））
结束：
seq（seq（A（h-n，n），n=0..h-1），h=1..14）#阿洛伊斯·海因茨2014年7月16日
数学
A[d，n_]：=A[d，n]=如果[n=0，1，如果[n<0|d<1，0，A[d-1，n]+2*和[A[d-1，n-j^2]，{j，1，Sqrt[n]}]]；表[A[h-n，n]，{h，1，14}，{n，0，h-1}]//展平(*Jean-François Alcover公司2018年2月28日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
（Python）
从sympy.core.power导入isqrt
从functools导入缓存
@高速缓存
定义T（d，n）：
如果n==0：返回1
如果n<0或d<1：返回0
返回范围（1，isqrt（n）+1）中j的T（d-1，n）+和（T（d-1，n-（j**2））*2#达里奥·克拉维乔2024年2月6日
正方形数组A（n，k），n>=0，k>=0，由反对角线读取，其中k列是（乘积_｛j>=1｝（1-x^（2*j））^5/（（1-x^j）*（1-x^（4*j）））^2）^k的展开。
+10
26
1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 4, 0, 0, 1, 6, 4, 0, 0, 1, 8, 12, 0, 2, 0, 1, 10, 24, 8, 4, 0, 0, 1, 12, 40, 32, 6, 8, 0, 0, 1, 14, 60, 80, 24, 24, 0, 0, 0, 1, 16, 84, 160, 90, 48, 24, 0, 0, 0, 1, 18, 112, 280, 252, 112, 96, 0, 4, 2, 0, 1, 20, 144, 448, 574, 312, 240, 64, 12
配方奶粉
k列的G.f:（产品{j>=1}（1-x^（2*j））。
例子
方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 2, 4, 6, 8, ...
0, 0, 4, 12, 24, ...
0, 0, 0, 8, 32, ...
0, 2, 4, 6, 24, ...
MAPLE公司
A： =proc（n，k）选项记忆`if`（n=0，1，`if`（n<0或k<1，0，
A（n，k-1）+2*加法（A（n-j^2，k-1，j=1…isqrt（n）））
结束：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2017年5月27日
数学
A[n_，k_]：=A[n，k]=如果[n==0，1，如果[n<0|k<1，0，A[n、k-1]+2*和[A[n-j^2，k-1]，{j，1，Sqrt[n]}]]；
交叉参考
k=0-16列给出：A000007号,A000122号,A004018号,A005875号,A000118号,A000132号,A000141号,A008451号,A000143号,A008452号,A000144号,A008453号,A000145号,A276285型,A276286型,A276287型,A000152号.
A（n，k）=[x^k]JacobiTheta3（x）^n，通过降序反对偶读取的方阵，对于n>=0和k>=0，A（n、k）。
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18
1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 4, 6, 1, 0, 2, 0, 12, 8, 1, 0, 0, 4, 8, 24, 10, 1, 0, 0, 8, 6, 32, 40, 12, 1, 0, 0, 0, 24, 24, 80, 60, 14, 1, 0, 0, 0, 24, 48, 90, 160, 84, 16, 1, 0, 2, 4, 0, 96, 112, 252, 280, 112, 18, 1, 0, 0, 4, 12, 64, 240, 312, 574, 448, 144, 20, 1
参考文献
E.Grosswald，《整数作为平方和的表示》。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第121页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年。
J.Carlos Moreno和Samuel S.Wagstaff Jr.，《整数平方和》，Chapman&Hall/CRC，（2006）。
链接
L.Carlitz，关于四和六平方和的注记，程序。阿默尔。数学。《社会分类》第8卷（1957年），第120-124页。
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/0407061[math.NT]，2004年。
陈世超，rs（n）的同余《数论杂志》，第130卷，第9期，2010年9月，第2028-2032页。
例子
[ 0] 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, ...A000007号
[ 1] 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...A000122号
[ 2] 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, ...A004018号
[ 3] 1, 6, 12, 8, 6, 24, 24, 0, 12, 30, ...A005875号
[ 4] 1, 8, 24, 32, 24, 48, 96, 64, 24, 104, ...A000118号
[ 5] 1, 10, 40, 80, 90, 112, 240, 320, 200, 250, ...A000132号
[ 6] 1, 12, 60, 160, 252, 312, 544, 960, 1020, 876, ...A000141号
[ 7] 1, 14, 84, 280, 574, 840, 1288, 2368, 3444, 3542, ...A008451号
[ 8] 1, 16, 112, 448, 1136, 2016, 3136, 5504, 9328, 12112, ...A000143号
[ 9] 1, 18, 144, 672, 2034, 4320, 7392, 12672, 22608, 34802, ...A008452号
[10] 1, 20, 180, 960, 3380, 8424, 16320, 28800, 52020, 88660, ...A000144号
MAPLE公司
A319574行：=proc（n，len）系列（JacobiTheta3（0，x）^n，x，len+1）；
[seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）]结束：
seq（打印（[n]，A319574行（n，10）），n=0..10）；
数学
A[n_，k_]：=如果[n==k==0，1，平方R[n，k]]；
黄体脂酮素
（鼠尾草）
对于（0..10）中的n：
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*n）
打印（Q.theta_series（10）.list（））
1, 0, 0, 5, 0, 0, 10, 0, 5, 10, 0, 20, 5, 0, 30, 6, 10, 20, 20, 30, 5, 30, 30, 20, 35, 10, 60, 45, 0, 60, 50, 30, 45, 50, 60, 70, 35, 30, 110, 50, 31, 110, 80, 80, 50, 70, 120, 70, 75, 90, 140, 110, 20, 140, 160, 60, 135, 120, 120, 180, 40, 130, 230, 80, 120, 170, 200, 155, 85, 200, 190
配方奶粉
G.f.：（theta_3（x）-1）^5/32，其中theta_（）是雅可比θ函数。
MAPLE公司
b： =proc（n，t）选项记忆；
`如果`（n=0，`如果`（t=0，1，0），`如果'（t<1，0，添加（（s->
`如果`（s>n，0，b（n-s，t-1））（j^2），j=1..isqrt（n）））
结束：
a： =n->b（n，5）：
数学
nmax=75；系数列表[级数[（椭圆θ[3，0，x]-1）^5/32，{x，0，nmax}]，x]//下降[#，5]&
交叉参考
囊性纤维变性。A000132号,A000290型,A010052号,A025429号,A038671号,A063691号,A063725号,A063730型,A340905型,A340906,A340915型,A340946型,340947英镑.
1, 26, 312, 2288, 11466, 41808, 116688, 265408, 535704, 1031914, 1899664, 3214224, 5043376, 7801744, 12066912, 17689152, 24443978, 34039200, 48210760, 64966096, 83323344, 109157152, 145532816, 185245632, 227110416, 284788010, 363737712
评论
更一般地说，将n写成k平方和的方法数的普通生成函数是theta_3（0，q）^k=1+2*k*q+2*（k-1）*k*q ^2+（4/3）*（k-2）*（k-1）*k*q ^3+（2/3）*。。。，其中θ是雅可比θ函数。
配方奶粉
G.f.：theta_3（0，q）^13，其中theta_2（x，q）是第三个雅可比θ函数。
a（n）=（26/n）*和{k=1..n}A186690型（k） *a（n-k），a（0）=1-满山圣一2017年5月27日
数学
表[SquaresR[13，n]，{n，0，26}]
1/（总和{n=-oo..oo}x ^（n^2））^5的展开。
+10
三
1, -10, 60, -280, 1110, -3912, 12600, -37760, 106620, -286290, 736184, -1822920, 4365800, -10149320, 22971120, -50744448, 109643350, -232145040, 482403060, -985229640, 1980034104, -3920000400, 7652388280, -14742829440
配方奶粉
a（n）~（-1）^n*5^（3/2）*exp（Pi*sqrt（5*n））/（512*n^2）-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月18日
G.f.：1/θ_3（x）^5，其中θ_（3）是雅可比θ函数。
G.f.：产品{k>=1}1/（（1-x^（2*k））*（1+x^）（2*k-1））^2）^5。（结束）
数学
nmax=30；系数列表[系列[乘积[（（1+（-x）^k）/（1-（-x”^k））^5，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年8月18日*）
1, 40, 90, 240, 200, 560, 400, 800, 730, 1240, 752, 1840, 1200, 2000, 1600, 2720, 1480, 3680, 2250, 3280, 2800, 4320, 2800, 5920, 2960, 5240, 3760, 6720, 4000, 7920, 4800, 6720, 5850, 8960, 4320, 10720, 6200, 9840, 7600, 11040, 5872, 12960, 7520, 12400
评论
Ramanujanθ函数：f（q）：=Prod_{k>=1}（1-（-q）^k）（请参见A121373号)，φ（q）：=θ3（q）:=和{k=-oo..oo}q^（k^2）(A000122号)，psi（q）：=和{k=0..oo}q^（k*（k+1）/2）(A010054号)，chi（q）：=生产{k>=0}（1+q^（2k+1））(A000700元).
参考文献
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第118页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
通用公式：（θ_3（q^（1/2））^5+θ_4
（phi（q）^5+phi（-q）^5）/2的q^2次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2007年9月14日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16t））=64 2^（1/2）（t/i）^（5/2）G（t），其中q=exp（2Pi it），G（）是G.fA008422号.
例子
1+40*q^2+90*q^4+240*q^6+200*q^8+560*q^10+400*q^12+800*qq^14+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*=2；polceoff（和（k=1，平方（n），2*x^k^2，1+x*O（x^n））^5，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年11月3日*/
1, 0, 0, 0, 0, 3, 5, 20, 56, 112, 268, 618, 1922, 8531, 29021, 100407, 321531, 899618, 2937312, 9295401, 31615059, 117365818, 403433963, 1417579281, 4848439367, 15960316056, 55180971700, 190251417034, 670818005444, 2429973932322
例子
a（6）=3，因为有3种方法可以将6^3=216表示为6个不同的非零平方的和：216=1^2+2^2+4^2+5^2+7^2+11^2=1^2+3^2+5^2+6^2+8^2+9^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2。
黄体脂酮素
（PARI）a（i，n，k）=局部（s，j）；如果（k==1，如果（i平方（n）&&n<i^2，返回（1），返回（0）），s=0；对于（j=ceil（sqrt（n/k）），最小值（i-1，地板（sqrt（n-k+1）），s+=a（j，n-j^2，k-1））；（n=1,50，m=n^3；k=n；print1（a（m+1，m，k）“，”）\\Herman Jamke（hermanjamke（AT）fastmail.fm），2007年12月16日
扩展
2007年12月16日，赫尔曼·贾姆克（hermanjamke（AT）fastmail.fm）又发表了两篇文章
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