例如:A(x)=x+2*x^2/2!+9*x^3/3!+52*x^4/4!+425*x^5/5!+4206*x^6/6!+48307*x^7/7!+632360*x^8/8!+9444465*x^9/9!+159240250*x^10/10!+。。。
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A(x)/x的对数开始展开
对数(A(x)/x)=x+2*x^2/2!+6*x^3/3!+36*x^4/4!+260*x^5/5!+2190*x^6/6!+21882*x^7/7!+268856*x^8/8!++A369091型(n) *x^n/n!+。。。
等于函数x^2*exp(x)的所有迭代的总和。
设R(x)是A(x)的级数反转,
R(x)=x-2*x^2/2!+3*x^3/3!+8*x^4/4!-155*x^5/5!+1464*x^6/6!-7931*x^7/7!-65360*x^8/8!+2742345*x^9/9!+。。。
则R(x)和f.A(x)满足:
(1) R(A(x))=x,
(2) R(x*A(x))=x^2*exp(x)。
生成方法。
设F(n)等于x^2*exp(x)的第n次迭代,因此
F(0)=x,
F(1)=x^2*exp(x),
F(2)=x^4*经验(2*x)*经验(x^2*exp(x)),
F(3)=x^8*经验(4*x)*经验(2*x^2*经验(x))*exp(F(2)),
F(4)=x^16*exp(8*x)*exp,
F(5)=x^32*exp(16*x)*exp,
...
F(n+1)=F(n)^2*经验
...
那么,例如f.A(x)等于
A(x)=x*经验(F(0)+F(1)+FF(n)+…)。
等效地,
A(x)=x*exp(x+x^2*exp。