%I#39 2024年7月4日09:21:16

%S 2,3,7,5,11,7,5,7,7,11,7,11,1,11,13,11,11,11,13,13,13,19,17，

%电话17,17,13,17,17,19,19,29,17,13G,23,19,23,19-23,19,19-23,17,29,17-23,23，

%U 19,23,19,23,17,31,23,29,19,29,29,19,23

%考虑所有可逆残数k mod N。对于每个这样的k，求三个素数p*q*r=k（modn）与最小max{p，q，r}的乘积。那么a（n）是所考虑k上的最大p。

%这是一个类似于Linnik定理的3-几乎素数_Charles R Greathouse IV，2024年6月30日

%H Charles R Greathouse IV，n表，n=1..100000的a（n）</a>

%H Ramachandran Balasubramanian、Olivier Ramaré和Priyamvad Srivastav，<a href=“https://doi.org/10.1142/S1793042123500422“>大算术级数中三个素数的乘积，国际数论杂志，第19卷，第4期（2023年），第843-857页https://arxiv.org/abs/2208.040031“>arXiv-print</a>，arXiv:2208.04031[math.NT]，2022。

%H Barnabás Szabó，<a href=“https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1112/blms.12990“>关于算术级数中素数乘积的存在性，《伦敦数学学会公报》56（3），第1227-12432024页。

%F Balasubramanian、Ramaré和Srivastav证明了a（n）<n^e对于每个e>3/2和足够大的n取决于e。

%F Szabó将其改进为e>6/5_Charles R Greathouse IV，2024年6月30日

%e来自M.F.Hasler_，2024年7月2日：（开始）

%e对于n=1，在Z/nZ={Z}中只有一个剩余类，它是可逆的（因为在这种情况下是0=1），并且p=q=r=2满足p*q*r=k（modn），并且给出了满足条件的最小素数，因此a（1）=2。

%e对于n=2，在Z/nZ中只有一个可逆剩余类，即k=1，并且p，q，r都不能等于2（在Z/2Z中=0）以得到p*q*r=1（mod n），所以p=q=r=3是p*q*r=1的最小解，其中a（2）=3。

%e对于n=3，两个可逆残数（mod n）分别为k=1和k=2。对于p=q=r=2，我们有p*q*r=8=2（mod 3），但对于剩余k=1，我们需要一个不同的解，因此不能有最大素数p=2（=>k=2），p=3=0（mod），也不能有p=5=2（mod 3）。但是p=7>=q=r=2确实有效，4*7=28=1（mod3），所以a（3）=7。（结束）

%o（PARI）do（m）=我的（mod=m.mod）；forprime（p=2，如果（mod%p==0，下一步）；对于素数（q=2，p，如果（mod%q==0，next）；对于初始阶跃（r=2，q，m/p/q，返回（p））

%o a（n）=我的（r=2）；对于（k=1，n-1，如果（gcd（k，n）>1，next）；r=最大值（do（Mod（k，n）），r））；第页

%o（PARI）a（n）=my（n，s=eulerphi（n））；对于素数（p=2，如果（n%p==0，next）；对于素数（q=2，p，如果（n%q==0，next）；我的（pq=p*q%n）；对于素数（r=2，q，如果（n%r==0，next）；我的（pqr=pq*r%n）；如果（位测试（N，pqr）==0，N+=1<<pqr；如果（s--==0，返回（p）））

%Y参考A358240、A038026、A085420、A014612。

%K nonn公司

%O 1,1号机组

%A _Charles R Greathouse IV，2023年1月18日

%E由Charles R Greathouse IV和M.F.Hasler于2024年7月2日澄清的定义