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A356500型
当n>=0,k=0..3*n+1时,A(x,y)中x^n*y^k的系数T(n,k)满足:y=Sum_{n=-oo..+oo}(-x)^。
9
0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 28, 0, 0, 0, 22, 0, 3, 0, 0, 0, 84, 0, 0, 0, 219, 0, 0, 0, 140, 0, 0, 0, 0, 135, 0, 0, 0, 981, 0, 0, 0, 1807, 0, 0, 0, 969, 0, 0, 0, 120, 0, 0, 0, 2568, 0, 0, 0, 10764, 0, 0, 0, 15368, 0, 0, 0, 7084, 0, 0, 54, 0, 0, 0, 4284, 0, 0, 0, 38896, 0, 0, 0, 114240, 0, 0, 0, 133266, 0, 0, 0, 53820, 0, 9, 0, 0, 0, 4662, 0, 0, 0, 94390, 0, 0, 0, 525980, 0, 0, 0, 1187433, 0, 0, 0, 1171390, 0, 0, 0, 420732
抵消
0,11
评论
T(n,3*n+1)=[x^n*y^(3*n/1)]A(x,y)=二项式(4*n,n)/(3*n+1)=A002293号(n) 对于n>=0,其中g.f.g(x)为A002293号满足:G(x)=1+x*G(x)^4。
T(4*n,1)=A000716号(n) 对于n>=0(第1列中的非零项)。
T(4*n+3,2)=[x^(4*n+3)*y^2]A(x,y)=2*A354655型(n+1)对于n>=0,其中A354655型等于三角形的第2列A354650型.
T(4*n+2,3)=[x^(4*n+2)*y^3]A(x,y)=4*A354656型(n+1)对于n>=0,其中A354656型等于三角形的第3列A354650型.
T(2*n,2*n+1)=A356504型(n) ,对于n>=0。
T(2*n+1,2*n)=A356505(n) 对于n>=0。
T(3*n,n+1)=A356506型(n) 对于n>=0。
T(3*n+1,n)=A355365型(n) 其中A355365型是的中心术语A355360型=55360美元(2*n,n)。
Sum_{k=0..3*n+1}T(n,k)=A354248型(n) 对于n>=0(行总和)。
求和{k=0..3*n+1}T(n,k)*2^k=A356502型(n) 对于n>=0。
求和{k=0..3*n+1}T(n,k)*3^k=A356503型(n) 对于n>=0。
和{k=0..3*n+1}T(4*n+1-k,k)=A355872型(n+1)对于n>=0(非零反对角线和)。
特定值。
(V.1)1=A(x,y),x=-exp(-Pi),y=Pi^(1/4)/伽马(3/4)。
(5.2)1=A(x,y),x=-exp(-2*Pi),y=Pi^(1/4)/伽马(3/4)*(6+4*sqrt(2))^(1/4)/2。
(V.3)1=在x=-exp(-3*Pi)和y=Pi^(1/4)/伽玛(3/4)*(27+18*sqrt(3))^(1/4)/3时的A(x,y)。
(V.4)1=A(x,y),x=-exp(-4*Pi),y=Pi^(1/4)/伽马(3/4)*(8^(1/4)+2)/4。
(V.5)1=A(x,y),x=-exp(-sqrt(3)*Pi),y=γ(4/3)^(3/2)*3^(13/8)/(Pi*2^(2/3))。
链接
保罗·D·汉纳,n=0..3926时的n,a(n)表
配方奶粉
G.f.A(x,y)=和{n>=0}和{k=0..3*n+1}T(n,k)*x^n*y^k满足:
(1) y=Sum_{n=-oo..+oo}(-x)^(n^2)*A(x,y)^。
(2) y=A(x,y)*Product_{n>=1}(1-x^(2*n)*A。
(3) y=(-x)*Product_{n>=1}(1-x^(2*n)*A(x,y)^。
(4) y=A(x,F(x,y)),其中F(x、y)=和{n=-oo..+oo}(-x)^(n^2)*y^((n-1)^2)。
(5) 1=A(x,theta_4(x)),其中theta_3(x)=1+2*Sum_{n>=1}(-1)^n*x^(n^2)是雅可比θ函数。
例子
通用公式:A(x,y)=y+x*(1+y^4)+x^2*11+15368*y^15+7084*y^19)+x^7*(54*y^2+4284*y^6+38896*y^10+114240*y^14+133266*y^18+53820*y^22)+x^8*(9*y+4662*y^5+94390*y^9+525980*y^13+1187433*y^17+1171390*y ^21+420732*y ^25)+x^9*(3250*y ^4+160965*y ^8+1670942*y ^12+6640711*y ^16+12167001*y ^20+10399545*y*y ^24+3362260*y ^28)+。。。
使A=A(x,y)满足
y=…+x^16*A^25-x^9*A^16+x^4*A^9-x*A^4+A-x+x^4*A-x^9*A^4+x^16*A^9-x^25*A^16+…+(-x)^(n^2)*A(x,y)^。。。
当n>=0,k=0..3*n+1时,A(x,y)中x^n*y^k的系数T(n,k)的不规则三角形开始于:
n=0:[0,1];
n=1:[1,0,0,0,1];
n=2:[0,0,0,4,0,0,0,4];
n=3:[0,0,6,0,0,0,28,0,0,0,22];
n=4:[0,3,0,0,0,84,0,0,0,1219,0,0,0,140];
n=5:[0,0,0,0,0,135,0,0,0,981,0,0,0,1807,0,0,0,969];
n=6:[0,0,0,120,0,0,0,0,02568,0,0/0,10764,0,0-0,15368,0,0:0,7084];
n=7:[0,0,54,0,0,4284,0,0,0,38896,0,O,0,114240,0,0.0,133266,0,0,0,153820];
n=8:[0,9,0,0,0,0,4662,0,O,0,94390,0;
n=9:[0,0,0,0,0,3250,0,0,160965,0,0;
...
用非零反对偶函数[x^(4*n+1-k)*y^k]A(x,y)读取这个三角形,当n>=0,k=0..3*n+1时,得到三角形A356501型:
[1, 1];
[0, 3, 6, 4, 1,
[0, 9, 54, 120, 135, 84, 28, 4];
[0, 22, 294, 1360, 3250, 4662, 4284, 2568, 981, 219, 22];
[0, 51, 1260, 10120, 41405, 103020, 170324, 196172, 160965, 94390, 38896, 10764, 1807, 140];
[0, 108, 4590, 58380, 368145, 1404102, 3587696, 6515712, 8715465, 8763645, 6684744, 3863496, 1670942, 525980, 114240, 15368, 969];
...
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=my(A=[y],M);对于(i=1,n,A=concat(A,0);M=ceil(sqrt(n+1));
A[#A]=-polcoeff(总和(m=-m,m,(-x)^(m^2)*Ser(A)^,(m-1)^2),#A-1));波尔科夫(A[n+1],k,y)}
对于(n=0,9,对于(k=0,3*n+1,print1(T(n,k),“,”));打印(“”)
关键词
非n,标签
作者
保罗·D·汉娜2022年8月9日
状态
经核准的