特殊函数S(x,y)、C(x,y)和D(x,y)满足以下关系。
(1a)S(x,y)=积分C(x,y)*C(y,x)dx。
(1b)S(y,x)=积分C(y,x)*C(x,y)dy。
(1c)C(x,y)=1+积分S(x,y)*C(y,x)dx。
(1d)C(y,x)=1+积分S(y,x)*C(x,y)dy。
(2a)C(x,y)^2-S(x,y)^2=1。
(2b)C(y,x)^2-S(y,x)^2=1。
(3a)S(x,y)=sinh(积分C(y,x)dx)。
(3b)S(y,x)=sinh(积分C(x,y)dy)。
(3c)C(x,y)=cosh(积分C(y,x)dx)。
(3d)C(y,x)=cosh(积分C(x,y)dy)。
(4a)C(x,y)+S(x,y)=exp(积分C(y,x)dx)。
(4b)C(y,x)+S(y,x)=exp(积分C(x,y)dy)。
(5a)d/dx S(x,y)=C(x,y)*C(y,x)。
(5b)d/dx C(x,y)=S(x,y)*C(y,x)。
(5c)d/dy S(y,x)=C(y,x)*C(x,y)。
(5d)d/dy C(y,x)=S(y,x)*C(x,y)。
引入函数D(x,y)完成对称关系如下。
(6a)D(x,y)=积分S(y,x)*C(x,y)dx。
(6b)D(y,x)=积分S(x,y)*C(y,x)dy。
(7a)S(x,y)=sinh(x)+积分C(x,y)*D(x,y]dy。
(7b)S(y,x)=sinh(y)+积分C(y,x)*D(y,×)dx。
(7c)C(x,y)=余弦(x)+积分S。
(7d)C(y,x)=余弦(y)+积分S(y,x)*D(y,xdx)。
(8a)C(x,y)+S(x,y)=exp(x+积分D(x,y]dy)。
(8b)C(y,x)+S(y,x)=exp(y+积分D(y,×)dx)。
(9a)积分C(y,x)dx=x+积分D(x,y)dy。
(9b)积分C(x,y)dy=y+积分D(y,x)dx。
(10a)d/dy S(x,y)=C(x,y*d(x,y-)。
(10b)d/dy C(x,y)=S(x,y*d(x,y-)。
(10c)d/dx S(y,x)=C(y,x)*d(y,×)。
(10天)d/dx C(y,x)=S(y,x)*d(y,×)。
(10e)d/dx d(x,y)=S(y,x)*C(x,y)。
(10f)d/dy d(y,x)=S(x,y)*C(y,x)。
为了简单起见,假设Cx=C(x,y),Cy=C(y,x),Sx=S(x,y),Sy=S(y,x),Dx=D。
(11a)Cx*Cy+Sx*Sy=cosh(y)+积分(Cy+Dy)*(Sx*Cy+Cx*Sy)dx。
(11b)Sx*Cy+Cx*Sy=sinh(y)+积分(Cy+Dy)*(Cx*Cy+Sx*Sy)dx。
(11c)Cx*Cy+Sx*Sy=cosh(x)+积分(Cx+Dx)*(Sx*Cy+Cx*Sy)dy。
(11d)Sx*Cy+Cx*Sy=sinh(x)+积分(Cx+Dx)*(Cx*Cy+Sx*Sy)dy。
(12a)(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=经验(y+积分Cy+Dy dx)。
(12b)(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=exp(x+积分Cx+Dx-dy)。
(12c)(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=exp(x+y+积分Dx-dy+积分dy-Dx)。
(12d)(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=exp(x+y+积分Sx*Cy+Cx*Sy-dx-dy)。
(12e)x+积分(Cx+Dx)dy=y+积分(Cy+dy)Dx。
(13a)d/dx(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=(Cx+Sx)x(Cy+Sy)*(Cy+Dy)。
(13b)天/天(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=(Cx+Sx)x(Cy+Sy)*(Cx+Dx)。
(14a)(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=经验(y)+积分(Cx+Sx)x(Cy+Sy)*(Cy+Dy)dx。
(14b)(Cx+Sx)*(Cy+Sy)=经验(x)+积分(Cx+Sx)x(Cy+Sy)*(Cx+Dx)dy。