A306090-OEIS公司

A306090型

G.f.A（x）满足：（1+A（x））^A（x）=（1+x）^x；这个序列给出了g.f.A（x）中x^n系数的分子。

-1, 1, -1, 1, -1, 143, -79, 8483, -2953, 391753, -77983, 20963473, -182269, 192178874539, -355629691849, 248105704337, -206101262483, 253628381647657, -222936799599583, 37078279922025269, -43439069697425189, 1498102421014867632661, -951127545430874789837, 375811649512893381826067, -18430176119809328448967

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1, 6

g.f.A（x）中系数的分母如下所示A306091型.

链接

保罗·D·汉纳，n=1..300时的n，a（n）表

配方奶粉

G.f.A（x）=总和_｛n>=0｝A306090型（n）/A306091型（n） *x^n满足：

（1）和{n>=0}1/n！*产品{k=1..n}（n+1-k）*x+k*A（x）=1。

（2）和{n>=0}1/n！*产品{k=1..n}（n+1-k）*x+（k-p）*A（x）=（1+x）^p。

（3）和{n>=0}1/n！*产品{k=1..n}（n+1-k-m）*x+k*A（x）=（1+A（x。

（4）和{n>=0}1/n！*产品{k=1..n}（n+1-k-m）*x+（k-p）*A（x）=（1+x）^p*（1+A（x。

（5） A（A（x））=x。

（6）（1+A（x））^A（x”=（1+x）^x。

（7）和{n>=1}（-A（x））^（n+1）/n=x*log（1+x）。

（8）设F（x，y）=级数_反转（（exp（-x*y）-exp（-x））/A067948号).

例子

G.f.:A（x）=-x+1/2*x^2-1/4*x^3+1/6*x^4-1/8*x^5+143/1440*x^6-79/960*x^7+8483/120960*x^8-2953/48384*x^9+391753/7257600*x^10-77983/1612800*x^11+2096347360*x^12-182269/45619200*x^13+192178874539/523069747200*x^14-355629691849/1049 61394944000*x^15+248105704337/7846046208000*x^16-206101262483/6974263296000*x^17+2536281647657/9146248151040000*x^18-222936799599583/853649827430000*x^19+37078279922025269/150267476975616000*x*20++A306090型（n）/A306091型（n） *x^n+。。。

这样的话

（E.1）1=1+（x+A（x））+（x+2*A（x））*（2*x+A（x））/2！+（x+3*A（x））*（2*x+2*A（x））*（x+4*A（x））*（2*x+3*A（x））*（x+5*A（x））*（2*x+4*A（x））*。。。

（E.2）（1+x）^p=1+（x+（1-p）*A（x））+（x+（3-3）*A（x））*（2*x+（2-p）*A（x+（4-p）*A（x））*（2*x+（3-p）*A。。。

（E.3）（1+A（x））^m=1+（（1-m）*x+A（x））+（1-m（（1米）*x+3*A（x））*（2米）*x+2*A（x））*（（1米）*x+4*A（x））*（2米）*x+3*A（x））*。。。

函数方程。

系列A（x）满足：

（E.4）（1+A（x））^A（x”）=（1+x）^x=1+x^2-1/2*x^3+5/6*x^4-3/4*x^5+33/40*x^6-5/6*x^7+2159/2520*x^8-209/240*x^9+。。。

生成方法。

虽然函数方程（1+A（x））^A。

如果我们从A=-x开始，然后迭代

（E.5）A=（A+x*log（1+x）/log（1＋A））/2

那么A将收敛到g.f.A（x）。

特定值。

序列A（x）在x=-1时发散。这里我们评估一些特定值。

当t=A（1）=-0.653676637721419077935143447819113227。。。

A（t）=1/2，t=A（1/2）=-0.39863964905190680722071704282323882。。。

A（t）=1/3，t=A（1/3）=-0.285386940618446074866834432180324876。。。

A（t）=1/4，t=A（1/4）=-0.2221071774486052727246853117193。。。

A（t）=-1/2，t=A（-1/2）=0.673256694764839886028076283033520406。。。

A（t）=-1/3，t=A（-1/3）=0.400909109269336524488969643832206510。。。

A（t）=-1/4，t=A（-1/4）=0.285959998501428938843181474481790362。。。

数学

nmax=25；溶胶={a[1]->-1}；

Do[A[x_]=和[A[k]x^k，{k，1，n}]/。溶胶；eq=系数列表[（1+A[x]）^A[x]-（1+x）^x+O[x]^（n+1），x]==0/。溶胶；sol=sol~连接~求解[eq][1]，{n，1，nmax+1}]；

溶胶/。规则->集合；

a/@范围[1，nmax]//分子(*Jean-François Alcover公司2019年11月2日*）

黄体脂酮素

（PARI）/*从函数方程（1+A（x））*/

｛a（n）=my（a=-x+x*O（x^n））；对于（i=1，n，a=（a+x*log（1+x+x*O（x^n））/log（1+a））/2）；分子（polcoeff（a，n））｝

对于（n=1,40，打印1（a（n），“，”）

交叉参考

囊性纤维变性。A067948号,A306091型（分母），A306092型,A304866型.

囊性纤维变性。A306066型.

上下文中的序列：2005年2月57日 A077494号 A217142型*296887英镑 A293755型 A160781号

相邻序列：A306087型 A306088型 A306089型*A306091型 A306092型 A306093型

关键词

签名,压裂,美好的

作者

保罗·D·汉娜，2018年6月21日

状态

经核准的