计算“标准顺序”中的单词Joerg Arndt，纽伦堡技术学院，Fakultät EFI公司，Rothenberger大街174号，德国纽伦堡90439号和Neil J.A.斯隆，OEIS基金会，南阿德莱德大道11号，美国新泽西州高地公园089042016年12月6日摘要。---------字母表B={1,2,3，…，B}上长度为n的单词在“标准顺序”，如果每当出现字母r（2<=r<=b），字母r-1已经出现在单词中了。在本注释中，我们确定了按标准顺序排列的单词数，按标准顺序排列且至少有一个重复字母的数字，以及按标准顺序排列的数字，其中每个字母存在的至少出现两次。这回答了Daniel Devatman Hromada提出的一些问题。0.这三个问题。----------------------我们研究由以下字母组成的长度为n的单词W=（W_1，W_2，…，W_n）大小为B的字母B={1,2,3，…，B}，其中B>=1。有可能长度为n的单词。如果单词W=（W_1，W_2，…，W_n）具有w_1=1的性质，对于2<=i<=n，如果w_i=x，则w_j=x-1一些j<i。换句话说，只有当x-1已经出现时，x>1才能出现在单词中。我们确定以下问题的答案。问题1：在一个大小为b的字母表中，有多少长度为n的单词是按标准顺序排列的？Q2：与Q1相同，但有一些字母的附加限制在单词中出现多次Q3：与Q1相同，但附加限制是每个字母出现在单词中的必须出现不止一次。这些问题分别由丹尼尔·德瓦特曼·霍马达（Daniel Devatman Hromada）在[1]和2中提出序列（A273977和A273978）于2016年11月提交给OEIS[2]。答案将涉及[2]中的许多其他序列，其中一些是新的。答案在第1节至第3节以及第4到6包含结果表。1.问题Q1的答案。-----------------------------回想一下，由n个标记为1的事物组成的“集合分区”[3]，尽管n是一种方式把这些数字分成一堆。例如，集合分区{1,2,3,4,5,6}的可能是{1,5}，{2,3,6}，{4}。在这个例子中有三堆。将n个事物划分为b个堆的集合分区的数量是Stirling第二类数Stirling_2（n，b）。参见OEIS中的条目A008277，那里有大量关于这些数字的信息。有一种简单的方法可以将集合分区更改为单词。按照字典顺序排列堆，就像我们在这里已经做的那样：{1,5}，{2,3,6}，}。这意味着我们将每个堆的内容按递增顺序排序，然后进行排序根据每个堆中的最小数量进行堆。我们在大小为b的字母表上得到一个长度为n的单词通过在第一个堆中列出的位置写入1，在中写入2第二个堆中列出的位置，位置中有3个列在第三个堆中，依此类推。在本例中，字母表的大小为b=3，单词为122312，长度n=6。因为集合分区已排序，单词将自动按标准顺序排列。所以问题1的答案是长度为n的单词在大小为b的字母表中的数量为总和{j=1..b}斯特林_2（n，j）。2.问题Q2的答案。-----------------------------第1节中的计算超过了Q2的答案，因为它包括那些按标准顺序排列的单词符号重复。这些是单词1、12、123、1234。。。，1234…b。从1到b，每个长度都有一个，我们必须将它们从总数中排除。所以问题2的答案是长度为n的单词在大小为b的字母表中按标准顺序排列的单词数其中至少有一个符号出现多次和{j=1..b}斯特林_2（n，j），除了当且仅当n≤b时必须减去1。3.问题Q3的答案。-----------------------------现在我们要求所有堆的大小必须至少为2。要回答这个问题，我们利用所谓的“相关斯特林数”第二类”，在OEIS条目A008299中进行了描述。堆和单词之间的映射与第1节中的映射完全相同。将n个事物划分成b堆的集合分区数至少为2是第二种关联的斯特林数，即AStirling_2（n，b）（或A008299（n，b））。所以第三季度的答案是长度为n的单词在大小为b的字母表中按标准顺序排列的单词数单词中出现的每个符号必须出现多次求和{j=1..b}AStirling_2（n，j）。这回答了三个问题。还有两个重要的相关序列。j=1到n的所有斯特林数Stirling_2（n，j）之和为钟号A000110（n）。所有相关斯特林数AStirling_2（n，j）之和j=1到n是“无单体的集合分区”编号A000296（n）。4.问题Q1的数值结果。-------------------------------------阵列A278984中总结了Q1的答案。枫树代码：f1（n，b）是给定n和b的解的个数。Q1（b）给出了给定值b的解的数量列表。with（组合）；f1:=程序（L，b）局部t1；i；t1:=加（斯特林2（L，i），i=1..b）；结束时间：Q1:=b->[seq（f1（L，b），L=1..20）]；对于从1到6的b，进行lprint（Q1（b））；日期：1,.1,..1,...1,...1,...1,...1,....1..; b=1，A0000121,.2,..4,...8,..16,..32,..64,..128..; b=2，A0000791,.2,..5,..14,..41,.122,.365,.1094..; b=3，A0070511,.2,..5,..15,..51,.187,.715,.2795..; b=4，A0075811,.2,..5,..15,..52,.202,.855,.3845..; b=5，A0562721,.2,..5,..15,..52,.203,.876,.4111..; b=6，A056273...此数组的第1行到第10行是A000012、A000079、A007051、A007581（或A124303）、A056272、A056263、A099626、A099663、A164863和A164864。随着b的增加，行收敛到序列A000110，即贝尔数。事实上，第b行的前b项与A000110的第一b项相同。A278985中列出了b=3的单词。5.问题Q2的数值结果。-------------------------------------阵列A278986中总结了Q2的答案。枫树代码：f2（n，b）是给定n和b的解的数目。Q2（b）给出了给定值b的解的数量列表。with（组合）；f2：=proc（L，b）局部t1；i；t1:=加（斯特林2（L，i），i=1..b）；如果L<=b，则t1:=t1-1；fi；t1；结束；Q2:=b->[seq（f2（L，b），L=1..20）]；对于从1到6的b，进行lprint（Q2（b））；日期：0,.1,..1,...1,...1,...1,...1,....1..; b=1，0,.1,..4,...8,..16,..32,..64,..128..; b=2，0,.1,..4,..14,..41,.122,.365,.1094..; b=3，0,.1,..4,..14,..51,.187,.715,.2795..; b＝4，0,.1,..4,..14,..51,.202,.855,.3845..; b=5，0,.1,..4,..14,..51,.202,.876,.4111..; b=6，...b=9的单词列在Daniel Devatman Hromada的序列A273977中。6.问题Q3的数值结果。-------------------------------------第3季度的答案总结在阵列A278987中。枫树代码：f3（n，b）是给定n和b的解的个数。Q3（b）给出了给定b值的解的数量列表。A008299:=进程（n，k）局部i，j，t1；如果k<1或k>楼层（n/2），则t1:=0；其他的t1:=加（（-1）^i*二项式（n，i）*加（（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！），j=0..k-i），i=0..k）；fi；t1；结束；f3:=进程（L，b）全局A008299；局部i；添加（A008299（L，i），i=1..b）；结束；问题3:=b->[序列（f3（L，b），L=1..40）]；对于从1到6的b，进行lprint（Q3（b））；日期：0,.1,.1,.1,..1,..1,...1,...1,....1,.....1,.....1,......1,.......1,........1,.... b=10,.1,.1,.4,.11,.26,..57,.120,..247,...502,..1013,...2036,....4083,.....8178,.... b=20,.1,.1,.4,.11,.41,.162,.610,.2165,..7327,.23948,..76352,..239175,...739909,.... b=30,.1,.1,.4,.11,.41,.162,.715,.3425,.16777,.80928,.379347,.1726375,..7654817,.... b=40,.1,.1,.4,.11,.41,.162,.715,.3425,.17722,.98253,.569922,.3363010,.19776927,.... b=50,.1,.1,.4,.11,.41,.162,.715,.3425,.17722,.98253,.580317,.3633280,.23876022,.... b=6数组的第1行到第4行是A000012、A000295（或A130103）、A278988和A278989。随着b的增加，行接近A000296，即“设置无单例分区”数字。事实上，b行的前2b+1项与A000296的前2b+1项相同。b=9的单词列在Daniel Devatman Hromada的序列A273978中。参考文献。-----------[1] D.D.Hromada，威廉·莎士比亚全集中重复表达生态系统的基于整数的命名法，提交给2016年《计算论证研究中修辞数字的论证与计算》特刊。[2] 整数序列在线百科全书（或OEIS），网址：https://oeis.org/[3] R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第1卷，第2版，剑桥，2012年。--------------涉及序列A000012、A000079、A000110、A000295、A000296、A007051、A007581，A008277、A008299、A056272、A056263、A099626、A099663、A124303、A130103、A164863、，A164864、A273977、A273988、A278984、A278995、A278966、A278977、A2 78988和A278989