A227543-OEIS公司

A227543号

由g.f.A（x，q）定义的三角形，其中：A（x、q）=1+x*A（q*x和q）*A（x），按术语k=0..n*（n-1）/2读取，在行n>=0。

1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 4, 6, 7, 7, 5, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 5, 10, 14, 17, 16, 16, 14, 11, 9, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 15, 25, 35, 40, 43, 44, 40, 37, 32, 28, 22, 18, 13, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 7, 21, 41, 65, 86, 102, 115, 118, 118, 113, 106, 96, 85, 73, 63, 53, 42, 34, 26, 20, 15, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,6

参见相关三角形A138158号.

行总和是加泰罗尼亚数字(A000108号)，在g.f.中设置q=1以查看。

反对角线和相等A005169号，n枚硬币的喷泉数量。

三角形每行中的最大值为A274291号. -托尔斯滕·穆泽2018年11月28日

Dyck路径和x轴之间的区域可以分解为两种类型的单位面积三角形，即顶点位于整数晶格点（x，y）、（x+1，y+1）和（x+2，y）的上三角形和顶点位于整数格子点（x、y）、。表项T（n，k）等于包含k个向下三角形的半长n的Dyck路径数。请参阅链接部分中的插图。囊性纤维变性。A239927型. -彼得·巴拉2019年7月11日

此表的行多项式是由Carlitz和Riordan生成的加泰罗尼亚数字的q模拟。有关MacMahon的加泰罗尼亚数字q模拟，请参见A129175号. -彼得·巴拉2023年2月28日

链接

Paul D.Hanna和Seiichi Manyama，n的表，a（n）表示n=0..9919（三角形的n行=0..39，展平）。（保罗·D·汉纳（Paul D.Hanna）的前1351个术语）

彼得·巴拉，Dyck路径下区域的三角分解图解

彼得·巴拉，小Schröder路径下的区域：关于A224704、A326453和A326454的注释，第4节

卢卡·费拉里，单峰和Dyck路径，arXiv:1207.7295[math.CO]，2012年。

FindStat-组合统计查找器，Dyck路径的反弹统计,Dyck路径的对角反演统计,Dyck路径的区域.

J.Haglund，加泰罗尼亚路径和q，t-枚举.

Stéphane Ouvry和Alexios P.Polychronakos，离散谱粒子的排除统计，arXiv:2105.14042[第二阶段统计数据]，2021。

郝磐，Carlitz-Riordan q-Catalan数的有限域方法《代数组合数学杂志：国际期刊》，第56卷，第4期，2022年12月，第1005-1009页。

托马斯·普雷尔伯格，格点行走的面积周长母函数：q序列及其渐近性，幻灯片，伦敦大学玛丽女王数学科学学院，2009年7月1日。

埃里克·魏斯坦的数学世界，Rogers-Ramanujan连分式.

配方奶粉

G.f.：A（x，q）=1/（1-x/（1-q*x/（1-q^2*x/。

G.f.满足：A（x，q）=P（x，q/q（x，q），其中

P（x，q）=和{n>=0}q^（n^2）*（-x）^n/乘积{k=1..n}（1-q^k），

Q（x，Q）=和{n>=0}Q^（n*（n-1））*（-x）^n/产品{k=1..n}（1-Q^k），

由于Ramanujan的持续分数身份。

...

求和{k=0..n*（n-1）/2}T（n，k）*k=2^（2*n-1）-C（2xn+1，n）+C（2*n-1，n-1）=A006419号（n-1）对于n>=1。

g.f.A（x，q）的对数导数wrt x产生三角形A227532型.

发件人彼得·巴拉2019年7月11日：（开始）

（n+1）第行多项式R（n+1，q）=Sum_{k=0..n}q^k*R（k，x）*R（n-k，q），其中R（0，q）=1。

1/A（q*x，q）是三角形的生成函数A047998号.（结束）

猜想：第n行多项式是v_n，其中我们从元素v_i=1的定长向量v开始，对于i=1..m-1，对于j=i+1..m，应用v_j:=q^（j-i）*v_j+v_{j-1}。通过将q^（j-i）改为f（j-i.），我们还可以得到连续分数B（x）=1/（1-x/（1-f（1）*x/（1-f（2）*x/（1-f-（3）*x（1-f）/（1-…））））的类似结果，其中f（n）是任意函数-米哈伊尔·库尔科夫，2024年8月23日

例子

通用公式：A（x，q）=1+x*（1）+x^2*（1+q）+x*3*（1+2*q+q^2+q^3）

+x^4*（1+3*q+3*q^2+3*qq^3+2*q^4+q^5+q^6）

+x^5*（1+4*q+6*q^2+7*q^3+7*q ^4+5*q^5+5*q ^6+3*q ^7+2*q ^8+q ^9+q ^10）

+x^6*（1+5*q+10*q^2+14*q^3+17*q^4+16*q^5+16*q ^6+14*q ^7+11*q ^8+9*q^9+7*q^10+5*q^11+3*q^12+2*q^13+q^14+q^15）+。。。

其中g.f.：

A（x，q）=和{k=0..n*（n-1）/2，n>=0}T（n，k）*x^n*q^k

满足：

A（x，q）=1+x*A（q*x，q。

A（x，q）中系数T（n，k）的三角形开始于：

1, 1;

1, 2, 1, 1;

1, 3, 3, 3, 2, 1, 1;

1, 4, 6, 7, 7, 5, 5, 3, 2, 1, 1;

1, 5, 10, 14, 17, 16, 16, 14, 11, 9, 7, 5, 3, 2, 1, 1;

1, 6, 15, 25, 35, 40, 43, 44, 40, 37, 32, 28, 22, 18, 13, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1;

1, 7, 21, 41, 65, 86, 102, 115, 118, 118, 113, 106, 96, 85, 73, 63, 53, 42, 34, 26, 20, 15, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1;

1, 8, 28, 63, 112, 167, 219, 268, 303, 326, 338, 338, 331, 314, 293, 268, 245, 215, 190, 162, 139, 116, 97, 77, 63, 48, 38, 28, 22, 15, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1; ...

数学

T[n_，k_]：=模[{P，Q}，

P=总和[q^（m^2）（-x）^m/乘积[1-q^j，{j，1，m}]+xO[x]^n，{m，0，n}]；

Q=总和[Q^（m（m-1））（-x）^m/乘积[1-Q^j，{j，1，m}]+xO[x]^n，{m，0，n}]；

级数系数[P/Q，{x，0，n}，{Q，0，k}]

];

表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n（n-1）/2}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2018年7月27日，来自PARI*）

黄体脂酮素

（PARI）/*从g.f.A（x，q）=1+x*A（q*x，q*/

{T（n，k）=局部（A=1）；对于（i=1，n，A=1+x*子集（A，x，q*x）*A+x*O（x^n））；polceoff（polceof（A，n，x），k，q）}

对于（n=0，10，对于（k=0，n*（n-1）/2，打印1（T（n，k），“，”））；打印（“”）

（PARI）/*通过Ramanujan的连分数恒等式：*/

{T（n，k）=局部（P=1，Q=1）；

P=总和（m=0，n，q^（m^2）*（-x）^m/prod（k=1，m，1-q^k）+x*O（x^n））；

Q=总和（m=0，n，Q^（m*（m-1））*（-x）^m/prod（k=1，m，1-Q^k）+x*O（x^n））；

波尔科夫（波尔科夫，P/Q，n，x），k，Q）}

对于（n=0，10，对于（k=0，n*（n-1）/2，print1（T（n，k），“，”）；打印（“”）

（PARI）

P（x，n）=

{

如果（n<=1，返回（1））；

返回值（总和（i=0，n-1，P（x，i）*P（x、n-1-i）*x^（（i+1）*（n-1-i；

}

对于（n=0，10，打印（Vec（P（x，n）））\\乔格·阿恩特2024年1月23日

（PARI）\\记忆速度更快：

N=11；

VP=矢量（N+1）；VP[1]=VP[2]=1；\\单一基础；记忆

P（n）=VP[n+1]；

对于（n=2，n，VP[n+1]=和（i=0，n-1，P（i）*P（n-1-i）*x^（（i+1）*（n-1-i））；

对于（n=0，n，打印（Vec（P（n）））\\乔格·阿恩特2024年1月23日

交叉参考

囊性纤维变性。129175英镑,A138158号,A227532型,A005169号,A000108号,A274291号,A047998号,A224704号,A239927型.

上下文中的序列：A047010型 A047100型 A124772号*A366920型 A374932型 A344678型

相邻序列：A227540型 A227541号 A227542型*A227544号 A227545型 A227546号

关键词

非n,标签

作者

保罗·D·汉娜2013年7月15日

状态

经核准的