Matveev复杂性在连通和下是可加的，因此要知道任何流形的复杂性，只需要知道其连通和的复杂性；除了一些简单的例外，素流形的复杂度等于三角剖分所需的最小四面体数。Heard确定了复杂度为5的所有（0,1,2）-不可约对，允许不连续的图，但禁止在复杂度5中没有顶点的分量。结果是列出了129对子午线，其中123对是双曲线和抛物线子午线。彼得罗尼奥（第31页）指出，马特维耶夫用一个（复杂的）理论论证表明，复杂性小于9的封闭流形不可能是双曲线。
Martelli证明了精确存在4个复杂度为9的闭可定向双曲3流形，它们与已知最小体积的流形一致。Heard给出了复杂度高达4的双曲图的图片，如图16，复杂度1（1个示例），第28页；图17，复杂性2（4个示例），第28页；图18，复杂性3（8个示例），第29页；图19-22。复杂性4（32例），第30-33页。参见第27-33页，在基本空间不是S^3时，以手术描述的形式给出了复杂度为4的双曲图的Heard图。
对于每个图，我们给出了带抛物线子午线的双曲线结构的名称和体积。这些数字是使用Orb和打结图形普查生成的。论文的理论框架是双重的，基于Matveev的脊椎理论和Thurston的想法（后来由几位作者发展），即通过三角剖分构造双曲线结构。其中许多结果是通过计算机调查获得（或提出）的。
