文件a126671.txt关于卡洛·伍德多项式的注记N.J.A.Sloane等人2007年2月13日，星期二第1部分：。卡洛·伍德（卡罗（AT）alinoe.com）今天给我写信关于他构造的多项式族，并询问是否有比他有一个。下面是一个简单的递归构造等价于伍德版本的多项式族（见本文件末尾）。对于每个n=1、2、3。。。有一个n X n数组A[n]系数。所以数组A[1]、A[2]、A[3]。。。形成一个数字的无限方形金字塔。我使用正数，因为负数原始版本中的符号完全可以预测。此外，似乎最好使用生成函数对于A[n]的列，而不是行以下是前几个系数数组：答[1]：s=0我0 1答[2]：s=0 1我0 3 11 1 1A[3]：s=0 1 2我0 11 6 11 7 9 22 2 3 1答[4]：s=0 1 2 3我0 50 35 10 11 46 69 26 32 26 45 22 33 6 11 6 1A[5]：s=0 1 2 3 4我0 274 225 85 15 11 326 545 270 55 42 274 525 320 75 63 126 255 170 45 44 24 50 35 10 1（下面给出了前10行。）让我们定义f[n，s]（x）：=Sum_{i=0..n-1}A[n][i，s]x^（n-1-i）（A[n]的k列的生成函数）。例如，f[4,2]=6+22*x+26*x^2+10*x^3。然后，以下递归定义这些数组：f[1,0]=1f[n，n-1]=（1+x）^（n-1），n>1，f[n，s]=n*x*f[n-1，s]+abs（斯特林1（n，s+1））*（1+x）^（n-1），对于n>1，s<n-1，其中斯特林1是第一类斯特林数。以下是Maple代码：with（组合）；f[1,0]：=1；对于n，从2到10 dof[n，n-1]：=排序（展开（（1+x）^（n-1）））；对于从0到n-2的s dof[n，s]：=排序（展开（n*x*f[n-1，s]+abs（斯特林1（n，s+1））*（1+x）^（n-1））；od；od；对于n从1到10 dol打印（“n=”，n）；对于从0到n-1的s dol打印（f[n，s]）；日期：日期：它给出了“n=”，11“n=”，23*x+1x+1“n=”，311*x^2+7*x+26*x^2+9*x+3x^2+2*x+1“n=”，450*x^3+46*x^2+26*x+635*x^3+69*x^2+45*x+1110*x^3+26*x^2+22*x+6x^3+3*x^2+3*x+1“n=”，5274*x^4+326*x^3+274*x^2+126*x+24225*x^4+545*x^3+525*x^2+255*x+5085*x^4+270*x^3+320*x^2+170*x+3515*x^4+55*x^3+75*x^2+45*x+10x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1等。阵列A[1]、A[2]、A[3]、…的左手列。。。（换句话说，每组中的第一个多项式）是OEIS中条目A126671-A126674的来源-----------------------------------------------------------第2部分。Vladeta Jovovic的评论，2007年2月13日：和{n>=k}f[n，s]*y^n/n！=（-ln（1-（1+x）*y））^（s+1）/（1-x*y）*（1+x）*（s+1！）例如：三ln（1-（1+x）y）-1/6 ------------------（1-x年）（1+x）展开给予（x^2+2*x+1）*y^3+（10*x^3+26*x^2/22*x+6）*y*4+。。。--- ---6 24这是正确的。----------------------------------------------------------第3部分。这些多项式的原始版本如下：P_0.1（k）=kP_0.2（k）=k/2（-k+3）P_1.2（k）=k/2（k-1）P_0,3（k）=k/6（k^2-6k+11）P_1.3（k）=k/6（-2k^2+9k-7）P_2.3（k）=k/6（k^2-3k+2）P_0.4（k）=k/24（-k^3+10k^2-35k+50）P_1.4（k）=k/24（3k^3-26k^2+69k-46）P_2.4（k）=k/24（-3k^3+22k^2-45k+26）P_3.4（k）=k/24（k^3-6k^2+11k-6）P_0.5（k）=k/120（k^4-15k^3+85k^2-225k+274）P_1.5（k）=k/120（-4k^4+55k^3-270k^2+545k-326）P_2.5（k）=k/120（6k^4-75k^3+320k^2-525k+274）P_3.5（k）=k/120（-4k^4+45k^3-170k^2+255k-126）P_4,5（k）=k/120（k^4-10k^3+35k^2-50k+24）等等。---------------------------------------------------第4部分。前12个数组A[1]到A[12]（参见A126682）：n=1s=0我0 1n=2s=10我0 1 31 1 1n=3s=2 1 0我0 1 6 111 2 9 72 1 3 2n=4个s=3 2 1 0我0 1 10 35 501 3 26 69 462 3 22 45 263 1 6 11 6n=5s=43 2 10我0 1 15 85 225 2741 4 55 270 545 3262 6 75 320 525 2743 4 45 170 255 1264 1 10 35 50 24n=6s=5 4 3 2 1 0我0 1 21 175 735 1624 17641 5 99 755 2745 4640 25562 10 186 1300 4170 5890 28443 10 174 1120 3270 4270 19564 5 81 485 1335 1670 7445 1 15 85 225 274 120n=7s=6 5 4 3 2 1 0我0 1 28 322 1960 6769 13132 130681 6 161 1743 9695 28959 43064 222122 15 385 3927 20125 53550 67690 307083 20 490 4718 22540 55370 65170 280924 15 350 3192 14420 33705 38150 160085 6 133 1155 5005 11319 12502 51606 1 21 175 735 1624 1764 720n=8s=7 6 5 4 3 2 1 0我0 1 36 546 4536 22449 67284 118124 1095841 7 244 3542 27664 124943 323596 435988 2129762 21 708 9842 72576 303149 704172 815948 3515043 35 1140 15190 106344 417235 902580 978740 4011364 35 1100 14070 94136 352275 729260 762580 3044645 21 636 7826 50400 182189 366324 374444 1471206 7 204 2422 15120 53263 104916 105588 410407 1 28 322 1960 6769 13132 13068 5040n=9s=8 7 6 5 4 3 2 1 0我0 1 45 870 9450 63273 269325 723680 1172700 10265761 8 351 6564 68166 428568 1662759 3857356 4800564 22393442 28 1197 21660 215586 1281756 4612293 9645020 10411884 42924963 56 2331 40836 390726 2214240 7523019 14738164 14945364 58681444 70 2835 48120 444150 2418654 7880355 14832020 14534100 55625765 56 2205 36300 324450 1710744 5407605 9911860 9506700 35820006 28 1071 17124 148806 764652 2363319 4251716 4018644 14983207 8 297 4620 39186 197232 599193 1063180 994284 3679208 1 36 546 4536 22449 67284 118124 109584 40320n=10s=9 8 7 6 5 4 3 2 1 0我0 1 55 1320 18150 157773 902055 3416930 8409500 12753576 106286401 9 485 11340 150690 1251117 6709605 23140710 49127860 57244824 256593602 36 1900 43290 556800 4433688 22513260 72175410 138667400 141075576 559886403 84 4340 96390 1202160 9222192 44765700 136019310 245888440 235686024 891633604 126 6370 137970 1671900 12413898 58121490 169987230 296080400 274689576 1013486405 126 6230 131670 1553700 11216898 51042390 145259730 246878800 224415576 815428806 84 4060 83790 965040 6802992 30269820 84422310 141023960 126418824 454651207 36 1700 34290 386400 2669688 11668020 32044410 52849000 46899576 167428808 9 415 8190 90510 614817 2648415 7185960 11735540 10335024 36691209 1 45 870 9450 63273 269325 723680 1172700 1026576 362880n=11s=10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0我0 1 66 1925 32670 357423 2637558 13339535 45995730 105258076 150917976 1205438401 10 649 18535 306240 3235320 22782837 107974955 338642810 667942220 735979464 3185409602 45 2871 80300 1292940 13224585 89363043 401407710 1172357010 2099252320 2030120136 7791710403 120 7524 206140 3238290 32156520 209690712 902454300 2505352410 4235201960 3867983064 14162529604 210 12936 347270 5329170 51523230 325984428 1356891690 3635854530 5935135360 5253599736 18768830405 252 15246 401170 6022170 56849496 350703738 1422532650 3717051030 5929567952 5146988616 18114292806 210 12474 321860 4733190 43747770 264264462 1050523320 2694640410 4229514520 3622621464 12621643207 120 6996 177100 2555190 23183160 137613168 538379820 1361628510 2111768120 1791332136 6196276808 45 2574 63965 906840 8095395 47355462 182894415 457473060 703001860 591974064 2036563209 10 561 13695 191070 1681680 9716553 37131875 92055480 140435460 117578736 4027968010 1 55 1320 18150 157773 902055 3416930 8409500 12753576 10628640 3628800n=12个s=11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0我0 1 78 2717 55770 749463 6926634 44990231 206070150 657206836 1414014888 1931559552 14864428801 11 846 28963 581790 7606533 67836978 420128929 1801652490 5221552556 9675404376 10157735808 42615763202 55 4170 140327 2760450 35173545 303760710 1806030941 7346657670 19857478300 33491516520 30991352832 115454764803 165 12330 407913 7864230 97834275 821075310 4717311819 18418747050 47431811460 75723889560 66305530368 235813075204 330 24300 790482 14948340 181899630 1488672900 8313859686 31461291180 78365419440 121024556400 102822664032 356951404805 462 33516 1072302 19907580 237395466 1900745748 10371310026 38320419060 93233843472 140878920336 117455117472 401787129606 462 33012 1039038 18955860 221927706 1743525036 9334038714 33856307100 80964916032 120478279152 99162711648 335875334407 330 23220 719202 12906300 148611870 1148592060 6053404566 21639148740 51074707200 75144149520 61275452832 206080761608 165 11430 348513 6158130 69856875 532341810 2769288819 9784028430 22857259260 33337488360 26993422368 90301478409 55 3750 112607 1961190 21951105 165245850 850273061 2975347650 6893859940 9985714200 8040856032 267878016010 11 738 21835 375210 4149453 30906414 157559545 546956190 1258752836 1813140648 1453525920 48263040011 1 66 1925 32670 357423 2637558 13339535 45995730 105258076 150917976 120543840 39916800----------------------------------------------------------------第5部分。卡洛·伍德的进一步评论日期：2007年2月14日星期三23:05:24+0100粉红多项式（不过如果你继续打电话，我不会反对它们是伍德多项式），定义如下：P_{i，n}（k）是n次变量k中的多项式，为0<=i<n定义，使得如果0<=k<=i，P_{i，n}（k）=0如果i<k<=n，则为1因此，它们可以写成P_{i，n}（k）=k/n！\和{s=0}^{n-1}c（s，i，n）k^s然后，系数c（s，i，n）由下式给出：数学：c[s_，i_，n]：=n！（-1）^（s+i）和[（-1）（n-r-s-1）StirlingS1[n-r，s+1]二项式[n-1-r，i]/（n-r）！，{r，0，n-1-s}]；乳胶：c（s，i，n）=（-1）^{s+i}\sum_{r=0}^{n-1-s}{\frac{n！}{（n-r）！}\left|s（n-r，s+1）\right|\binom{n-1-r}{i}}其中s（）是第一类斯特林数。Ascii艺术：n-1-秒-----, _ _（s+i）\n！||n-r||/n-1-r\c（s，i，n）=（-1））------||||||/（n-r）！| | _s+1 _ ||\i/-----` r=0C++代码：//返回Pink多项式的“系数”//（需要额外的系数k/n！）。mpz_class c（int s，int i，int n）{mpz类和（0）；对于（整数r=0；r<=n-1-s；++r）总和+=乘积（n-r，n）*abs_stirling1（n-r、s+1）*二项式（n-1-r，i）；如果（s+i）&1==1）sum=-总和；收益总额；}这些系数可以表示为无限方形金字塔。保持i或s不变，我们可以以三角形。由于s和i都在[0，n）范围内，这将给出当我们考虑n在[1，m]范围内时，可以将其提高到2m。为了帮助人们在正在尝试用谷歌查找大量数据，我将包括所有24个切片这里是n到12的值。s=0n/i=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 12 3 -13 11 -7 24 50 -46 26 -65 274 -326 274 -126 246 1764 -2556 2844 -1956 744 -1207 13068 -22212 30708 -28092 16008 -5160 7208 109584 -212976 351504 -401136 304464 -147120 41040 -50409 1026576 -2239344 4292496 -5868144 5562576 -3582000 1498320 -367920 4032010 10628640 -25659360 55988640 -89163360 101348640 -81542880 45465120 -16742880 3669120 -36288011 120543840 -318540960 779171040 -1416252960 1876883040 -1811429280 1262164320 -619627680 203656320 -40279680 362880012 1486442880 -4261576320 11545476480 -23581307520 35695140480 -40178712960 33587533440 -20608076160 9030147840 -2678780160 482630400 -39916800s=1n/i=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 -1 13 -6 9 -34 -35 69 -45 115 -225 545 -525 255 -506 -1624 4640 -5890 4270 -1670 2747 -13132 43064 -67690 65170 -38150 12502 -17648 -118124 435988 -815948 978740 -762580 374444 -105588 130689 -1172700 4800564 -10411884 14945364 -14534100 9506700 -4018644 994284 -10958410 -12753576 57244824 -141075576 235686024 -274689576 224415576 -126418824 46899576 -10335024 102657611 -150917976 735979464 -2030120136 3867983064 -5253599736 5146988616 -3622621464 1791332136 -591974064 117578736 -1062864012 -1931559552 10157735808 -30991352832 66305530368 -102822664032 117455117472 -99162711648 61275452832 -26993422368 8040856032 -1453525920 120543840s=2n/i=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113 1 -2 14 10 -26 22 -65 85 -270 320 -170 356 735 -2745 4170 -3270 1335 -2257 6769 -28959 53550 -55370 33705 -11319 16248 67284 -323596 704172 -902580 729260 -366324 104916 -131329 723680 -3857356 9645020 -14738164 14832020 -9911860 4251716 -1063180 11812410 8409500 -49127860 138667400 -245888440 296080400 -246878800 141023960 -52849000 11735540 -117270011 105258076 -667942220 2099252320 -4235201960 5935135360 -5929567952 4229514520 -2111768120 703001860 -140435460 1275357612 1414014888 -9675404376 33491516520 -75723889560 121024556400 -140878920336 120478279152 -75144149520 33337488360 -9985714200 1813140648 -150917976s=3n/i=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 114 -1 3 -3 15 -15 55 -75 45 -106 -175 755 -1300 1120 -485 857 -1960 9695 -20125 22540 -14420 5005 -7358 -22449 124943 -303149 417235 -352275 182189 -53263 67699 -269325 1662759 -4612293 7523019 -7880355 5407605 -2363319 599193 -6728410 -3416930 23140710 -72175410 136019310 -169987230 145259730 -84422310 32044410 -7185960 72368011 -45995730 338642810 -1172357010 2505352410 -3635854530 3717051030 -2694640410 1361628510 -457473060 92055480 -840950012 -657206836 5221552556 -19857478300 47431811460 -78365419440 93233843472 -80964916032 51074707200 -22857259260 6893859940 -1258752836 105258076s=4n/i=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 1 -4 6 -4 16 21 -99 186 -174 81 -157 322 -1743 3927 -4718 3192 -1155 1758 4536 -27664 72576 -106344 94136 -50400 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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 -1 13 -7 9 -24 -46 69 -26 35 -326 545 -270 55 -46 -2556 4640 -2745 755 -99 57 -22212 43064 -28959 9695 -1743 161 -68 -212976 435988 -323596 124943 -27664 3542 -244 79 -2239344 4800564 -3857356 1662759 -428568 68166 -6564 351 -810 -25659360 57244824 -49127860 23140710 -6709605 1251117 -150690 11340 -485 911 -318540960 735979464 -667942220 338642810 -107974955 22782837 -3235320 306240 -18535 649 -1012 -4261576320 10157735808 -9675404376 5221552556 -1801652490 420128929 -67836978 7606533 -581790 28963 -846 11i=2n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113 2 -3 14 26 -45 22 -35 274 -525 320 -75 66 2844 -5890 4170 -1300 186 -107 30708 -67690 53550 -20125 3927 -385 158 351504 -815948 704172 -303149 72576 -9842 708 -219 4292496 -10411884 9645020 -4612293 1281756 -215586 21660 -1197 2810 55988640 -141075576 138667400 -72175410 22513260 -4433688 556800 -43290 1900 -3611 779171040 -2030120136 2099252320 -1172357010 401407710 -89363043 13224585 -1292940 80300 -2871 4512 11545476480 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-12611 1876883040 -5253599736 5935135360 -3635854530 1356891690 -325984428 51523230 -5329170 347270 -12936 21012 35695140480 -102822664032 121024556400 -78365419440 31461291180 -8313859686 1488672900 -181899630 14948340 -790482 24300 -330i=5n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 116 -120 274 -225 85 -15 17 -5160 12502 -11319 5005 -1155 133 -68 -147120 374444 -366324 182189 -50400 7826 -636 219 -3582000 9506700 -9911860 5407605 -1710744 324450 -36300 2205 -5610 -81542880 224415576 -246878800 145259730 -51042390 11216898 -1553700 131670 -6230 12611 -1811429280 5146988616 -5929567952 3717051030 -1422532650 350703738 -56849496 6022170 -401170 15246 -25212 -40178712960 117455117472 -140878920336 93233843472 -38320419060 10371310026 -1900745748 237395466 -19907580 1072302 -33516 462i=6n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117 720 -1764 1624 -735 175 -21 18 41040 -105588 104916 -53263 15120 -2422 204 -79 1498320 -4018644 4251716 -2363319 764652 -148806 17124 -1071 2810 45465120 -126418824 141023960 -84422310 30269820 -6802992 965040 -83790 4060 -8411 1262164320 -3622621464 4229514520 -2694640410 1050523320 -264264462 43747770 -4733190 321860 -12474 21012 33587533440 -99162711648 120478279152 -80964916032 33856307100 -9334038714 1743525036 -221927706 18955860 -1039038 33012 -462i=7n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 118 -5040 13068 -13132 6769 -1960 322 -28 19 -367920 994284 -1063180 599193 -197232 39186 -4620 297 -810 -16742880 46899576 -52849000 32044410 -11668020 2669688 -386400 34290 -1700 3611 -619627680 1791332136 -2111768120 1361628510 -538379820 137613168 -23183160 2555190 -177100 6996 -12012 -20608076160 61275452832 -75144149520 51074707200 -21639148740 6053404566 -1148592060 148611870 -12906300 719202 -23220 330i=8n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 119 40320 -109584 118124 -67284 22449 -4536 546 -36 110 3669120 -10335024 11735540 -7185960 2648415 -614817 90510 -8190 415 -911 203656320 -591974064 703001860 -457473060 182894415 -47355462 8095395 -906840 63965 -2574 4512 9030147840 -26993422368 33337488360 -22857259260 9784028430 -2769288819 532341810 -69856875 6158130 -348513 11430 -165i=9n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1110 -362880 1026576 -1172700 723680 -269325 63273 -9450 870 -45 111 -40279680 117578736 -140435460 92055480 -37131875 9716553 -1681680 191070 -13695 561 -1012 -2678780160 8040856032 -9985714200 6893859940 -2975347650 850273061 -165245850 21951105 -1961190 112607 -3750 55i=10n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1111 3628800 -10628640 12753576 -8409500 3416930 -902055 157773 -18150 1320 -55 112 482630400 -1453525920 1813140648 -1258752836 546956190 -157559545 30906414 -4149453 375210 -21835 738 -11i=11n/s=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 -39916800 120543840 -150917976 105258076 -45995730 13339535 -2637558 357423 -32670 1925 -66 1------------------------------------------------------第6部分：卡洛·伍德（Carlo Wood）的附言，2007年2月17日：下面是递归的一个简单版本：让我们定义f[n，s]（x）：=Sum_{i=0..n-1}A[n][i，s]x^i然后，以下递归定义这些数组：f[n，n-1]=（1+x）^（n-1），n>1，f[n，s]=n*f[n-1，s]+abs（斯特林1（n，s+1））*（1+x）^（n-1），因此，不需要x^（n-1-i）==>x^i，f[1,0]=1，并且可以去掉因子*x。Maple程序随后变为：with（组合）；对于n从1到10 dof[n，n-1]：=排序（展开（（1+x）^（n-1）））；对于从0到n-2的s dof[n，s]：=排序（展开（n*f[n-1，s]+abs（斯特林1（n，s+1））*（1+x）^（n-1））；od；od；对于n从1到10 dol打印（“n=”，n）；对于从0到n-1的s dol打印（f[n，s]）；日期：日期：它给出了“n=”，11“n=”，2x+3x+1“n=”，32*x^2+7*x+113*x^2+9*x+6x^2+2*x+1“n=”，46*x^3+26*x^2+46*x+5011*x^3+45*x^2+69*x+356*x^3+22*x^2+26*x+10x^3+3*x^2+3*x+1“n=”，524*x^4+126*x^3+274*x^2+326*x+27450*x^4+255*x^3+525*x^2+545*x+22535*x^4+170*x^3+320*x^2+270*x+8510*x^4+45*x^3+75*x^2+55*x+15x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1等。如果我们想考虑减号，f[]变成：g[n，n-1]=（x-1）^（n-1）g[n，s]=n*g[n-1，s]+斯特林S1[n，s+1]（x-1）^（n-1）则g[n，s]=\sum{i=0}^{n-1}c（s，i，n）x^i其中c（s，i，n）如定义。