具有生成函数EXP（t*F（x））的三角形对角线。数据库中有几个三角形阵列，例如f形式exp（t*F（x）），其中F（0）＝0。这些包括多项式二项式序列，如下降阶乘A008275，贝尔多项式A008277，阿贝尔多项式x*（x+n）^（n-1），本质上是A061356，以及Lah数字A008297的三角形。继Drake之后，我们展示了由对角线读取的三角形数组是与关于（x-t*F（x））的x。- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -设F（x）是形式幂级数F（x）=F（1）*x+F（2）*x^2/2！+f（3）*x^3/3！+。。。。通过定义A（n，k）F（x）^k/k！=和{n>=k}A（n，k）*x^n/n！。显然，当k>n时，A（n，k）=0。因此函数exp（t*F（x））=和{k>=0}t^k*F（x）^k/k！=和{n，k>=0}A（n，k）*t^k*x^n/n！是下三角阵列（A（n，k））n的示例f.，k>=0：.n\k.|。。。。。0........1........2...=================================================================================================================================================..0..|...A（0,0）..1..|...A（1,0）。。。A（1,1）..2..|...A（2,0）。。。A（2,1）。。。A（2,2）...如果系数f（1）不为零，则该三角形的行为二项式多项式序列的系数。让d（n，t）=和{k>=0}A（n+k-1，k）*t^k表示三角形第n对角线的o.g.f.（n=1对应于主对角线）。然后指数生成对角线读取三角形的函数为sum｛n＞＝1｝d（n，t）*x^n/n！。在[1]中，Drake证明了d（n，t）是形式的有理函数p（n，t）/（1-f（1）*t）^（2n-1），其中p（n、t）是n-1最多。如果进一步f（1）=0，则d（n，t）=p（n，t）是多项式对于所有n。德雷克1.10中隐含的事实是，生成函数对角线和{n>=1}d（n，t）*x^n/n！等于成分函数（x-t*F（x））的逆函数（相对于x）。对于读者的便利，我们对Drake在命题1中的证明。我们需要拉格朗日反演公式，我们以以下形式说明：拉格朗日反演公式设H（x）=H（1）*x+H（2）*x^2+。。。成为正式的幂级数h（1）<>0。成分逆H^（-1）（x）具有展开式H^（-1）（x）=和{n>=1}c（n）*x^n，哪里c（n）=1/n*x^（n-1）in（x/H（x））^n的系数。命题1设F（x）是形式幂级数F（x）=F（1）*x+F（2）*x^2/2！+f（3）*x^3/3！+。。。，设（A（n，k））n，k>=0为下三角阵，其中f。exp（t*F（x））。让d（n，t）=和{k>=0}A（n+k-1，k）*t^k表示三角形第n对角线的o.g.f。设D（x，t）=（x-t*F（x））。然后D^（-1）（x，t），组成逆关于x的D，是对角线的示例f三角形（A（n，k））；也就是说，D^（-1）（x，t）=和{n>=1}D（n，t）*x^n/n！。证明根据拉格朗日反演公式D^（-1）（x，t）=和{n>=1}c（n）*x^n，哪里c（n）=1/n*x^（n-1）in（x/D（x，t））^n的系数。根据二项式定理（x/D（x，t））^n=1/（1-t/x*F（x））^n=和{k>=0}（t/x）^k*二项式（n+k-1，k）*F（x）^k。因此c（n）=1/n*和{k>=0}t^k*{x^（n+k-1）的系数二项式（n+k-1，k）*F（x）^k}=1/n*和{k>=0}t^k*二项式（n+k-1，k）*k*1/（n+k-1）！*A（n+k-1，k）=1/n*和{k>=0}t^k*A（n+k-1，k）=d（n，t）/n！。因此D^（-1）（x，t）=和{n>=1}c（n）*x^n=和{n>=1}d（n，t）*x^n/n！。示例1） F（x）=对数（1+x）。D（x，t）=x-t*对数（1+x）。函数exp（t*F（x））=（1+x）^t是例如，对于A008275，三角形第一类斯特林数。根据命题1A008275的对角线等于D（x，t）^（-1）=（x-t*log（1+x））^=x/（1-t）-t/（1-t）^3*x^2/2！+（2*t+t^2）/（1-t）^5*x^3/3！-（6*t+8*t^2+t^3）/（1-t）^7*x^4/4！+。。。。分子多项式的系数列于A112007中。2） F（x）=exp（x）-1。D（x，t）=x-t*（exp（x）-1））。函数exp（t*F（x））是例如，对于A008277第二类斯特林数。通过命题1，例如f。A008277的对角线为D（x，t）^（-1）=（x-t（exp（x）-1））^=x/（1-t）+t/（1-t，^3*x^2/2！+（t+2*t^2）/（1-t）^5*x^3/3！+（t+8*t^2+6*t^3）/（1-t）^7*x^4/4！+。。。。分子多项式的系数列在A008517中，二阶欧拉数的三角形。3） F（x）=对数（1+x）-x.D（x，t）=x-t*（对数（1+x）-x）。函数exp（t*F（x））是例如A008306的三角形第一类相关的斯特灵数。根据命题1例如，A008306的对角线等于D（x，t）^（-1）=x–t*x^2/2！+（2*t+3*t^2）x^3/3！-（6*t+20*t^2+15*t^3）*x^4/4！+。。。。t中的系数多项式是A111999的行多项式。4） F（x）=经验（x）-1-x。D（x，t）=x-t*（经验（x）-1-x）。函数exp（t*F（x））是例如，对于A008299第二类相关斯特林数。根据命题1例如，A008299的对角线等于D（x，t）^（-1）=（x-t*（exp（x）-1-x））^，（-1）=x+t*x^2/2！+（t+3*t^2）*x^3/3！+（t+10*t^2+15*t^3）*x^4/4！+。。。。t中的系数多项式是A134991中的行多项式。5） F（x）=x/（1-x）。D（x，t）=x-t*x/（1-x）。函数exp（t*F（x））是A105278（无符号三角形Lah数字）。根据命题1，A105278对角线的示例f等于D（x，t）^（-1）=（x-t*x/（1-x））^（-1）=x/（1-t）+2*t/（1-t，^3*x^2/2！+6*（t+t^2）/（1-t）^5*x^3/3！+24*（t+3*t^2+t^3）/（1-t）^7*x^4/4！+。。。。注意，这个展开式中的分子多项式是倍数A001263的Narayana多项式。其他示例包括A108767（F（x）=x/（1-x^2））和A173020（F（x））=x/（1-x^3））。参考文献[1] B Drake，标记树的一个反演定理和一些极限晶格路径下的区域。提交给布兰代斯艺术与科学研究生院大学，2008年-在线获取http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/students/drakethessis.pdfPeter Bala，2011年12月2日