%I#174 2024年6月3日16:12:09

%S 1,3,10,351254501625587527812510062503640625，

%电话：131718754765625017242187562382512570312508166015625，

%电话：29544921875106894531250386748046875139926757812550625976562501831665039062566270263671875239768066406250

%N F（N+1）的第二个二项式变换。

%C F（2*n-1）的二项式变换，索引移位1，其中F为A000045。-由_Richard R.Forberg于2013年8月12日更正

%C病例k=2复发家族a（n）=（2k+1）*a（n-1）-A028387（k-1）*a[n-2），a（0）=1，a（1）=k+1。

%C数量（s（0），s（1）。。。，s（2n+1）），使i=1，2。。。，2*n+1，s（0）=3，s（2*n/1）=4。

%C a（n+1）给出了长度为n且基态<2>的周期性多路杂耍序列的数目_史蒂夫·巴特勒（Steve Butler），2008年1月21日

%C a（n）也是腰围n（腰围（α）=max（Im（α）））的幂等序保偏变换（n元链）的个数_阿卜杜拉希·乌马尔，2008年9月14日

%C计算所有长度为（2*n+1）的路径，n>=0，从路径图P_9的初始节点开始，请参阅Maple程序_Johannes W.Meijer，2010年5月29日

%C给定3X3矩阵M=[1,1,1；1,1,0；1,1,3]，a（n）=M^（n+1）中的项（1,1）_Gary W.Adamson_，2010年8月6日

%C秩为n+2的0和1的非同构分次偏序集的数目，每个秩级正好有2个元素在0和1之间。还有秩为n+1的0的非同构分次偏序集的数目，每个秩级正好有2个元素在0以上。（这是斯坦利对分级的定义，即所有最大链都具有相同的长度。）——达维德·纳辛，2012年2月26日

%C a（n）=3^n a（n；1/3）=Sum_{k=0..n}C（n，k）*F（k-1）*（-1）^k*3^（n-k），这也意味着下面给出的Deleham公式，其中a（n，d），n=0,1，。。。，d、 表示A000045注释中定义的delta-Fibonacci数（另见Witula等人的论文）_罗曼·维图拉，2012年7月12日

%C极限比值a（n）/a（n-1）为1+phi^2。-_Bob Selcoe，2014年3月17日

%C a（n）计算K_2上的闭合行走，其中索引顶点上有3个循环，另一个顶点上有2个循环。等价于A^n的（1,1）项，其中有向图的邻接矩阵为A=（3,1；1,2）_David Neil McGrath_，2014年11月18日

%D R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第1卷，剑桥大学出版社，1997年，第96-100页。

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=0..1000的a（n）</a>

%H Santiago Alzate、Oscar Correa和Rigoberto Flórez，<a href=“https://arxiv.org/abs/2009.02639“>来自Jordan identities的斐波那契恒等式，arXiv:2009.02639[math.NT]，2020。

%H Carolina Benedetti、Christopher R.H.Hanusa、Pamela E.Harris、Alejandro H.Morales和Anthony Simpson，<a href=“https://arxiv.org/abs/2001.03219“>Kostant的配分函数和魔法多重杂耍序列</a>，arXiv:2001.03219[math.CO]，2020。见第12页的表1。

%H S.Butler和R.Graham，<a href=“http://arxiv.org/abs/0801.2597“>枚举（多路复用）杂耍序列，arXiv:0801.2597[math.CO]，2008。

%H P.E.Harris、E.Insko和L.K.Williams，<a href=“http://arxiv.org/abs/11401.0055“>李代数的伴随表示和Kostant权重重数公式的支持，arXiv预印本arXiv:1401.0055[math.RT]，2013。

%H Edyta Hetmaniok、Bożena Piątek和Roman Wituła，<a href=“https://doi.org/10.1515/math-2017-0047“>标度斐波那契数的二项式变换公式</a>，开放数学，15（1）（2017），477-485。

%H A.Laradji和A.Umar，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2003.10.023“>A.序保偏变换半群的组合结果，代数杂志278，（2004），342-359。

%H A.Laradji和A.Umar，<A href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Umar/um.html“>降阶部分变换半群的组合结果</a>，J.Integer Seq.7（2004），#04.3.8。

%H Mircea Merca，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Merca1/merca6.html“>关于余弦幂和的注释。《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。

%H D.Nacin，<a href=“http://arxiv.org/abs/1204.1534“>The Minimal Non-Koszul A（Gamma）</A>，arXiv预印本arXiv:1204.1534[math.QA]，2012.-发件人：N.J.A.Sloane，2012年10月5日

%H Roman Witula和Damian Slota，<a href=“http://dx.doi.org/10.2298/AADM0902310W“>delta-Fibonacci数字</a>，《应用分析离散数学3》（2009）310-329，<a href=”http://www.ams.org/mathscinet getitem？mr=2555042（网址：http://www.ams.org/mathscinet getitem？mr=2555042）“>MR2555042</a>。

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常数的线性重复出现的索引条目，签名（5，-5）。

%对于n>=2，F a（n）=5*a（n-1）-5*a（n-2），其中a（0）=1，a（1）=3。

%F a（n）=（1/2-sqrt（5）/10）*（5/2-sqert（5）/2）^n+（sqrt。

%F G.F.：（1-2*x）/（1-5*x+5*x^2）。

%F a（n-1）=和{k=1..n}二项式（n，k）*F（k）^2.-_Benoit Cloitre_，2003年10月26日

%F a（n）=A090041（n）/2^n.-包尔巴尔，2004年3月23日

%F序列0，1，3，10。。。其中a（n）=（5/2-sqrt（5）/2）^n/5+（5/2+sqert（5）/2^n/5是F（n）^2（A007598）的二项式变换_Paul Barry，2004年4月27日

%F From _ Paul Barry，2005年11月15日：（开始）

%F a（n）=求和{k=0..n}求和{j=0..n{二项式（n，j）*二项式（j+k，2k）；

%F a（n）=求和{k=0..n}求和{j=0..n{二项式（n，k+j）*二项式（k，k-j）2^（n-k-j）；

%F a（n）=和{k=0..n}和{j=0..n-k}二项式（n+k-j，n-k-j）*二项式。（结束）

%F a（n）=A111776（n，n）_阿卜杜拉希·乌马尔，2008年9月14日

%F a（n）=Sum_｛k=0..n｝A094441（n，k）*2^k.-Philippe Deléham_，2009年12月14日

%F a（n+1）=和{k=-floor（n/5）..floor（n/6）}（（-1）^k*二项式（2*n，n+5*k）/2）-_Mircea Merca，2012年1月28日

%F a（n）=A030191（n）-2*A030191_R.J.Mathar，2012年7月19日

%F G.F.:Q（0，u）/x-1/x，其中u=x/（1-2*x），Q（k，u）=1+u^2+（k+2）*u-u*（k+1+u）/Q（k+1）；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年10月7日

%F对于n>=3:a（n）=a（n-1）*（3+（a（n-1）mod a（n-2）-a（n-2_Bob Selcoe，2014年3月17日

%F a（n）=sqrt（5）^。这是矩阵A=（3,1；1,2）的A^n的（1,1）项。参见2014年11月18日达维德·尼尔·麦格拉思（_David Neil McGrath_）的评论_Wolfdieter Lang，2014年12月4日

%F猜想：a（n）=2*a（n-1）+A039717（n）.-_贝尼托·范德赞德，2015年11月20日

%F a（n）=A189315（n+1）/10.-_Tom Copeland_ 2015年12月8日

%F a（n）=A093129（n）+A030191（n-1）_Gary W.Adamson，2023年4月24日

%例如：exp（5*x/2）*（5*cosh（sqrt（5）*x/2）+sqrt（5）*sinh（sqrt（5）*x/2））/5.-_Stefano Spezia，2024年6月3日

%e a（4）=125:35*（3+（35 mod 10-10 mod 3）/（10-3））=35*（3+4/7）=125.-_Bob Selcoe，2014年3月17日

%p with（GraphTheory）：G:=PathGraph（9）：A:=AdjacencyMatrix（G）：nmax:=23；n2:=nmax*2+2:n从0到n2做B（n）：=A^n；a（n）：=加上（B（n）[1，k]，k=1..9）；od：序列（a（2*n+1），n=0..nmax）；#_Johannes W.Meijer_，2010年5月29日

%t表[MatrixPower[{{2,1}，{1,3}}，n][2][2]]，{n，0,44}]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2010年2月20日*）

%t线性递归[{5，-5}，{1,3}，30]（*Invenzo Librandi_，2012年2月27日*）

%o（岩浆）I:=[1,3]；[n le 2选择I[n]else 5*Self（n-1）-5*Self:n in[1..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2012年2月27日

%o（Python）

%o定义a（n，adict={0:1，1:3}）：

%o如果n在adict中：

%o返回根[n]

%o根[n]=5*a（n-1）-5*a（n-2）

%o返回adict[n]#_David Nacin_，2012年3月4日

%o（PARI）Vec（（1-2*x）/（1-5*x+5*x^2）+o（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2014年3月18日

%Y a（n）=5*A052936（n-1），n>1。

%A114164的Y行总和。

%Y参见A000045、A007051（INVERTi变换）、A007598、A028387、A030191、A039717、A049310、A081568（二项式变换）、P086351（INVERT变换）、C090041、A093129、A094441、A111776、A147748、A178381、A189315。

%K容易，不是

%0、2

%A Paul Barry，2003年3月22日