谜题84我们将证明，给定一个具有n个元素的集S，使得所有子集中的元素之和是复合的，该集可以通过添加另一个保持相同性质的元素来扩展。S有2^n个子集，包括空集。设这些子集的和为s_0=0，s_1，s_2，s_3……等等。我们构造了一个同余列表，如下所示。设T={s_0，s_1，s_2，s_3，s_4…….}是所有当前存在和的集合。当T不为空时，选择一个奇素数p。在这个阶段选择的素数都是不同的。找到x_p，这样x_p+s_i=0 mod p就有了T中s_i的一些解（选择x_p可以使T中的s_i最多，但不一定能找到最小的解）。写下Q=x_p mod p，并从T中删除那些s_i。由于每一步都从T中删除至少一个元素，算法以几个不同素数p的一组同余Q=x_p mod p终止。根据中国剩余定理，这些同余在算术级数中有无穷多个解，并且这些解的无穷多是复合的。如果你需要奇数解，把Q=1模2加到方程组中。为了证明这一点，请注意，新集合S具有所有原始子集，加上通过将Q添加到原始子集而形成的2^n个新子集。由于在算法中对某些素数p消除了每个s_i，因此Q+s_i可以被p整除，因此是复合的。（如果Q+s_i=p，只需为Q选择下一个解决方案）。注意，这只是一个存在性证明，但它显示了一种找到解决方案的方法（不一定是最小的）。例如，考虑1、8、24、86、90、780、5940。共有64个子集。选择p=3。我们可以选择x_3来消除T中至少1/3的元素，因此至少消除了22个元素，剩下42个。对于p=5，我们从42中至少再消除9个。所以我们剩下33个。对于p=7，我们至少再消除5个，剩下28个。对于p=11，我们至少去掉3个，剩下25个。p=13,17,19每一项至少消除2个，剩下19个。至多需要接下来的19个底漆才能完成施工。Q的解是算术级数。第一项小于这些素数的乘积，差异是这些素数乘积。如果乘积是P，则存在一个小于P^2的复合解Q（如果a+nP是算术级数，则输入n=a得到复合项）。请注意，P^2非常大，所以我相信人们会找到更小的解决方案！（我没有尝试这一部分，因为这只是新谜题的第一天）。请注意，这个问题实际上会变得更加困难，而且仍然会有无限序列。例如，您可以添加一个条件，不仅所有子集的和都需要复合，而且它们可以没有共同的因子-只需在上面的构造中选择一个素数和一个值x，该值只有x+s_i=0 mod p的一个解。[为了说明证据]，我将用它作为初始条件A052349的编号：1，8，24？？？；A128687:1、9、15、？？？；和A1289688:1、8、24、？？？。1): 1, 8, 24, ???:首先，我们列出所有子集的和：{0，1，8，9，24，25，32，33}。首先取p=2。我们注意到这个集合的4个成员等于0模2。所以我们选择Q=0模2（所以Q加上这四个成员中的任何一个都可以被2整除）。剩下的是{1,9,25,33}。现在取p=3。2个成员是0模3，2是1模3。我们将选择Q=0模3，剩下的是{1,25}。对于p=5，我们还有一个选择。1成员是0模5。所以选择Q=0模5。剩下的是{1}。最后，对于p=7，最后一个成员是1模7。所以选择Q=6模7。注意，在每个阶段，我们都有很多选择，每个选择都会产生不同的结果。所以我们解决了Q=0模块2Q=0模式3Q=0模块5Q=6模块7我们将Q=90+210k作为合适的解决方案。Q=90很好。（但这不是最小的）。另外两个我会做得更快。2) 1, 9, 15, ???. 我们需要一个奇怪的答案，所以Q=1模2。总和列表是{0,1,9,10,15,16,24,25}。我们已经可以消除这些奇怪的成员。剩下的是{0,10,16,24}。p=3:2个成员等于0 mod 3。选择Q=0 mod 3，剩下的是{10,16}。p=5。1个成员等于0 mod 5。选择Q=0 mod 5。我们只剩下｛16｝。p=7。1个成员等于2 mod 7。选择Q=5 mod 7。Q=75在这里起作用。（再次不如39，但我们再次有了选择）。3) 1, 8, 24, ???. 我们需要一个均匀的答案，Q=0 mod 2。其余的如下所示，我们发现解Q=90。