%I#190 2023年10月19日23:14:16

%S 0,1,4,12,33,8823260915964180109452865675024196417514228，

%电话1346268352457792274642415781663245985165580140433494436，

%电话：11349031692971212507277787420482036501107353162911721395838624443655296161956722026040

%N a（N）=斐波那契（2*N+1）-1。

%C也是T（2n+1，n+1），T由A027935给出。也是Inverse Stolarsky数组的第一行。

%C数组的第三对角线由T（i，1）=T（1，j）=1，T（i、j）=Max（T（i-1，j；T（i-1，j-1）+T（i，j-1））_Benoit Cloitre_，2003年8月5日

%C长度为2（n+1）的Schroeder路径的数量，正好有一个从偶数高度开始的向上台阶（Schroederpath是一个从（0,0）开始，在x轴上的一个点结束的晶格路径，仅由台阶U=（1,1）（向上台阶）、D=（1，-1）（向下台阶）和H=（2,0）（水平台阶）组成，永远不会低于x轴）。Schroeder路径由较大的Schroedernumber（A006318）进行计数。示例：a（1）=4，因为在长度为4的六条Schroeder路径中，只有路径（U）HD、（U）UDD、H（U）D、（U_Emeric Deutsch，2004年12月19日

%C另外：不可写的最小数，是小于n个正斐波那契数的和。例如，a（5）=88，因为它是需要至少5个斐波那契数的最小数：88=55+21+8+3+1。-_Johan Claes_，2005年4月19日[Mike Speciner_于2023年9月19日针对抵消和澄清进行了更正]一般来说，a（n）是n个正斐波那契数列的和，作为a（n）=和{i=1..n}A000045（2*i）。当负斐波那契数可以包含在总和中时，请参见A001076_Mike Speciner，2023年9月24日

%C除第一项外，数字a（n）在求和到n所需的斐波那契数字的数量中建立了一个新的记录。序列A007895中记录的位置_拉尔夫·斯蒂芬（Ralf Stephan），2005年5月15日

%C连续极值花瓣弯曲β（n）=a（n-2）。参见K.Stephenson的Rodin和Sullivan的环引理，《圆填充导论》（剑桥大学出版社，2005年），第73-74和318-321页大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net）

%Ca（n+1）=AAB^（n）（1），n>=1，由Wythoff的互补a（n）：=A000201（n）和B（n）=A001950（n”序列组成。参见A135817下的Wythoff链接，了解数字的Wythaff表示法（A表示1，B表示0，参数1省略）。例如，4=`110`，12=`1100`，33=`11000`，88=`110000`。。。，Wythoff代码。AA（1）=1=a（1），但由于唯一性原因，Wythoff码中的1=a（1）。-_N.J.A.Sloane，2008年6月29日

%C从n开始。每个n生成一个子列表{n-1，n-1，n-2，..，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。在所有术语中添加数字。例如，3->{2,2,1}和2->{1,1}，因此a（3）=3+2+2+1+1+1=1=12_乔恩·佩里（Jon Perry），2012年9月1日

%C对于n>0：最小数，使得Zeckendorf二进制表示的内积及其反比等于n:A216176（a（n））=n，另请参见A189920_Reinhard Zumkeller，2013年3月10日

%另外，数字m使得5*m*（m+2）+1是一个正方形_Bruno Berselli，2014年5月19日

%C此外，跨越整数初始区间的权重为n的多重集的非空子多重集的数量（参见第二个示例）_Gus Wiseman_，2015年2月10日

%C From _Robert K.Moniot，2020年10月4日：（开始）

%包含a（-1）：=0，连续项（a（n-1），a（n））=（u，v）或（v，u）给出双曲线u^2-u+v^2-v-4*u*v=0上的所有点，两个坐标都是非负整数。注意，这源于用马尔可夫三元组（1，斐波那契（2n-1），斐波纳契（2n+1））来标识（1，u+1，v+1）。参见A001519（Robert G.Wilson于2005年10月5日发表评论，Wolfdieter Lang于2015年1月30日发表评论）。

%C设T（n）表示第n个三角形数。如果i，j是上述序列的任意两个连续元素，则（T（i-1）+T（j-1））/T（i+j-1）＝3/5。（结束）

%D R.C.Alperin，非线性递归及其与切比雪夫多项式的关系，Fib。问，58:2（2020），140-142。

%D A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。12。

%H T.D.Noe，n表，n=0..200的a（n）</a>

%H Russ Euler和Jawad Sadek，<a href=“https://www.fq.math.ca/Scanned/39-1/elementary39-1.pdf“>问题B-912，基本问题和解决方案，《斐波那契季刊》，第39卷，第1期（2001年），第85页https://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/elementary39-5.pdf“>从乘积到总和，查尔斯·库克（Charles K.Cook）的问题B-912的解决方案，同上，第39卷，第5期（2001年），第468-469页。

%H克拉克·金伯利，<a href=“http://faulty.evansville.edu/ck6/integer/spers.html“>间隔</a>。

%H克拉克·金伯利，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-1993-1111434-0“>间断和分散，《美国数学学会学报》，117（1993）313-321。

%H Ioana-Claudia Lazér，<a href=“https://arxiv.org/abs/1904.06555“>t均匀单形复合物中的Lucas序列，arXiv:1904.06555[math.GR]，2019。

%H R.J.Mathar，<a href=“http://arxiv.org/abs/1311.6135“>用矩形瓷砖铺设矩形区域：榻榻米和非榻榻米瓷砖</a>，arXiv:1311.6135[math.CO]，2013，表60（加倍）。

%H Luis A.Medina和Armin Straub，<A href=“https://doi.org/10.1007/s00026-015-0292-7“>关于多重无穷对数压缩性，《组合数学年鉴》，第20卷，第1期（2016年），第125-138页；<a href=”http://arxiv.org/abs/1405.1765“>arXiv-print</a>，arXiv:1405.1765[math.CO]，2014；<a href=”http://arminstraub.com/downloads/pub/infinallogconcavity.pdf“>预印本，2014年。

%H LászlóNémeth，<a href=“http://arxiv.org/abs/1511.02067“>双曲帕斯卡金字塔，arXiv:1511.02067[math.CO]，2015（表1的第二行是3*a（n-2））。

%H LászlóNémeth，<a href=“https://arxiv.org/abs/1701.06022“>空间H^2×R</a>中的帕斯卡金字塔，arXiv:1701.06022[math.CO]，2016。参见第10页表1中的bn。

%H N.J.A.Sloane，经典序列。

%H与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>带常系数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-4,1）。

%Fa（n）=Sum_{i=1..n}二项式（n+i，n-i）.-_Benoit Cloitre_，2002年10月15日

%F G.F.：和{k>=1}x^k/（1-x）^（2*k+1）_Benoit Cloitre_，2003年4月21日

%F a（n）=和{k=1..n}F（2*k），即A001906的部分和_Benoit Cloitre_，2003年10月27日

%F a（n）=Sum_{k=0..n-1}U（k，3/2）=Sum _{k=0..n-1}S（k，3），其中S（k、3）=A001906（k+1）_保罗·巴里，2003年11月14日

%F.G.F.:x/（（1-x）*（1-3*x+x^2））=x/（1-4*x+4*x^2-x^3）。

%F a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2）+a（n-3），n>=2，a（-1）=0，a（0）=0、a（1）=1。

%F a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）+1，n>=1，a（-1）=0，a（0）=0。

%F a（n）=和{k=1..n}F（k）*L（k），其中L（k）=卢卡斯（k）=A000032（k）=F（k-1）+F（k+1）_Alexander Adamchuk，2007年5月18日

%F a（n）=2*a（n-1）+（总和{k=1..n-2}a（k））+n.-Jon Perry，2012年9月1日

%F总和{n>=1}1/a（n）=3-φ，其中φ=1/2*（1+sqrt（5））是黄金比率。相邻项r（n）：=a（n）/a（n-1）的比值满足n>=2的递推关系r（n+1）=（4*r（n_Peter Bala，2013年12月5日

%F a（n）=S（n，3）-S（n-1，3）-1，n>=0，使用切比雪夫S多项式（参见A049310），其中S（-1，x）=0.-_Wolfdieter Lang，2014年8月28日

%F a（n）=-1+（2^（-1-n）*（（3-平方（5））^n*（-1+平方（5_Colin Barker_，2016年6月3日

%例如：（sqrt（5）*sinh（sqert（5）*x/2）+5*cosh（sqrt（5）*1x/2））*exp（3*x/2）/5-exp（x）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年6月3日

%F a（n）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*Fibonacci（k）.-_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2016年10月14日

%F a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k+i+1，k-i）_韦斯利·伊万·赫特，2017年9月21日

%当n>1时，F a（n）*a（n-2）=a（n-1）*（a（n-1）-1）_Robert K.Moniot，2020年8月23日

%F a（n）=和{k=1..n}C（2*n-k，k）.-_韦斯利·伊万·赫特，2020年12月22日

%F a（n）=和{k=1..2*n+2}（-1）^k*Fibonacci（k）.-_彼得·巴拉（Peter Bala），2021年11月14日

%F a（n）=（2*cosh（（1+2*n）*arccsch（2））/sqrt（5）-1.-_Peter Luschny_，2021年11月21日

%F a（n）=F（n+（n mod 2））*L（n+1-（n mod2）），其中L（n）=A000032（n）和F（n）=0.00045（n）（Euler和Sadek，2001）_Amiram Eldar，2022年1月13日

%e a（5）=88=2*33+12+4+1+5。a（6）=232=2*88+33+12+4+1+6。-_乔恩·佩里（Jon Perry），2012年9月1日

%e a（4）=33统计最后一行的所有非空子多重集：[1][2][3][4]，[11][12][13][14][22][23][24][24][23][33][34]，[111][112][113][122][123][123][124][133][134][2223][233][234]_Gus Wiseman_，2015年2月10日

%p与（组合）：seq（fibonacci（2*n+1）-1，n=1..27）；#_Emeric Deutsch，2004年12月19日

%pa:=n->和（二项式（n+k+1,2*k），k=0..n）：序列（a（n），n=-1..26）；#_Zerinvary Lajos，2007年10月2日

%t表[Fibonacci[2*n+1]-1，{n，0,17}]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2008年7月21日*）

%t线性递归[{4，-4,1}，{0,1,4}，40]（*哈维·P·戴尔，2021年8月17日*）

%o（岩浆）[Fibonacci（2*n+1）-1:n in[0..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年4月18日

%o（PARI）a（n）=fibonacci（2*n+1）-1\\查尔斯·格里特豪斯四世，2012年11月20日

%o（PARI）concat（0，Vec（x/（（1-x）*（1-3*x+x^2））+o（x^40）））2016年6月3日

%o（哈斯克尔）

%o a027941=（减去1）。a000045。(+ 1) . (* 2)

%o--_Reinhard Zumkeller，2013年3月10日

%o（最大值）

%o a（n）：=和（二项式（n+1，k+1）*fib（k），k，0，n）；/*_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2016年10月14日*/

%Y参考A000045、A035507、A001906、A006318、A000032。

%Y与n上Fibonacci（k*n）的部分和有关：A000071，A099919，A058038，A138134，A053606；这个序列是k=2的情况。

%Y请参阅A212336，了解更多带有1/（1-k*x+k*x^2-x^3）类型g.f.的序列。

%Y参考A000225（子列表连接）。

%Y参见A258993（行总和，n>0），A000967。

%不，简单，好

%0、3

%百灵鸟金伯利_

%E来自James A.Sellers_的更多条款，2000年9月8日

%E·鲍尔·巴里（Paul Barry）2003年11月14日的公式，针对偏移量0和沃尔夫迪特·朗（_Wolfdieter Lang）添加的切比雪夫多项式的指数链接修正的重现性和g.f.，2014年8月28日