%I M4167 N1734#212 2022年8月29日02:21:22

%S 0,0,0,1,6,25,9030196630259330285018652616257889702375101，

%电话：7141686214578256443901019344810158060644617423436255079450，

%电话：156863355014706320080614119710254236107502901270865805301

%N第二类S（N，3）的斯特林数。

%C使用三个不同符号的回文结构数；莫比乌斯变换：A056279_马克斯·奈斯特_

%C将n个带标签的球放入k=3个无法区分的盒子中的方法数量_托马斯·维德，2004年11月30日

%C有两个前导零，这是cosh（x）-1的第二个二项式变换和A000225的二项式转换（带有额外的前导零）_保罗·巴里，2003年5月13日

%C让[m]表示前m个正整数。那么a（n）是函数f从[n]到[n+1]的个数，对于所有x满足（i）f（x）>x，对于3个元素满足（ii）f（x）=n+1，对于[n]的其余n-3个元素，满足（iii）f（f（x））=n+1。例如，a（4）＝6，因为从{1,2,3,4}到{1,2,3,4,5}正好有6个函数，使得f（x）＞x，f（x）＝5用于3个元素，f（f（x））＝5用于其余元素。函数为f1={（1,5），（2,5），，（3,4），（4,5）}，f2={（4，5）}.-_Dennis P.Walsh，2007年2月20日

%C推测。设S（1）={1}，对于n>1，设S（n）是S（n-1）中每个元素x的包含x、2x和3x的最小集。那么a（n+2）是S（n）中元素的和。（很容易证明S（n）中元素的数量是A001952给出的第n个三角数。）以这种方式定义的序列见A122554。-_John W.Layman，2007年11月21日；由Fered Daniel Kline于2014年10月2日更正（由于偏移变化，a（n）为a（n+2）

%C设P（A）是一个n元集A的幂集。然后A（n+1）=P（A）的元素对{x，y}的个数，其中x和y是不相交的，x不是y的子集，y不是x的子集。Wieder称这些为“不相交的严格2组合”_Ross La Haye_，2008年1月11日；由_Ross La Haye_于2008年10月29日更正

%C同样，设P（A）是n元集A的幂集。然后A（n+2）=P（A的元素对{x，y}的个数，其中0）x和y不相交，x是y的子集，y是x的子集，或者1）x和y不相交，其中x不是y的子集并且y不是x的子集，或2）x和y相交，其中x是y的适当子集，或y是x的适当子集

%C3*a（n+1）=p（n+1，其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k+1）对于k=0，1。。。，n.-Michael Somos，2012年4月29日

%C John W.Layman的猜想，a（n+2）是s（n）中元素的和，这是s（n）与A036561的前n行（其行和为A001047）的标识的结果_Fred Daniel Kline，2014年10月2日

%C来自M.Sinan Kul_2016年9月8日：（开始）

%C设m等于n-1个不同素数的乘积。那么a（n）等于通过将m的除数除以另一除数而产生的不同分数>=1。例如，对于m=2*3*5=30，我们有以下6个分数：6/5、3/2、5/3、5/2、10/3、15/2。

%C在这里，求分数等于将n-1个球（不同的素数）分布到两个没有空箱子的箱子（分子和分母）中，而空箱子可以通过第二类斯特林数找到。（n）的另一个定义是a（n）=Sum_{i=2..n-1}Stirling2（i，2）*二项式（n-1，i）。

%C对于n>0，a（n）=（d（m^2）+1）/2-d（m），其中m等于n-1个不同素数的乘积。例如，a（5）：m=2*3*5*7=210（四个不同素数的乘积），因此a（五）=（d（210^2）+1）/2-d（210）=41-16=25。（结束）

%C 6*a（n）是长度为n的三元字符串的数量，其中包含定义它们的3个符号中的至少一个。例如，对于n=4，字符串是0012的12个排列、0112的12种排列和0122的12种排序_恩里克·纳瓦雷特（Enrique Navarrete），2021年8月23日

%La Haye第一条评论的一种更简单的形式是：A（n+1）是我们可以形成[n]的两个非空子集的不相交并的方法的数量（参见下面的示例）。参见A001047，要求工会包含n.-_Enrique Navarrete_，2021年8月24日

%C作为尼科马科斯三角形行的部分和以及3和2的幂差（A001047），每次迭代都对应于Sierpinski三角形（3^n）的两个图形变化，与尼科马科斯三角相互关联，参见链接中的插图。（A001047）的Sierpinski半六边形堆叠并符合2^n-1三角数的足迹。3^n Sierpinski三角形减去其2^n底行，也与Nicomachus三角形相关，根据每个Sierpinski-三角形子行_约翰·埃利亚斯，2021年10月4日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第835页。

%D F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第223页。

%D M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。【第二章pdf文件见A056391】

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

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%H T.D.Noe，n的表格，n=0..200的a（n）</a>

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%H Harry Crane，<a href=“https://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/61/ajc_v61_p057.pdf“>左右排列、集合分区和模式避免，澳大利亚组合数学杂志，61（1）（2015），57-72。

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%H Fred Kline和Peter Taylor，<a href=“http://math.stackexchange.com/q/926105/28555“>尼科马科斯三角行的部分和产生第二类斯特林数，数学堆栈交换。-Fred Daniel Kline_，2014年9月22日

%H Ross La Haye，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/LaHaye/lahaye5.html“>n元集幂集上的二元关系，整数序列杂志，第12卷（2009年），第09.2.6条。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年。

%王凯，<a href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/58-5/wang.pdf“>广义斐波那契数列的Girard-Waring型公式</A>，《斐波那奇季刊》（2020）第58卷，第5期，第229-235页。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/MinimalCover.html“>最小覆盖</a>。

%H Thomas Wieder，<a href=“http://www.math.nthu.edu.tw/~amen/2008/070301.pdf“>n集的某些k组合的数量</a>，《应用数学电子笔记》，第8卷（2008年）。

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>常系数线性重复出现的索引条目，签名（6，-11,6）。

%F G.F.:x^3/（（1-x）*（1-2*x）x（1-3*x））。

%传真：（exp（x）-1）^3）/3！。

%F递归：a（n+3）=6*a（n+2）-11*a（n+1）+6*a（n），a（3）=1，a（4）=6，a（5）=25_托马斯·维德，2004年11月30日

%F偏移量为0时，这是9*3^n/2-4*2^n+1/2，3*3^n-2*2^n的部分和=A001047（n+1）_保罗·巴里（Paul Barry），2003年6月26日

%F a（n）=（1+3^（n-1）-2^n）/2，n>0.-_Dennis P.Walsh，2007年2月20日

%F对于n>=3，a（n）=3*a（n-1）+2^（n-2）-1_Geoffrey Critzer，2009年3月3日

%F a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）+1，当n>3时_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi）_ 2010年11月25日

%F a（n）=det（|s（i+3，j+2）|，1<=i，j<=n-3），其中s（n，k）是第一类斯特林数_Mircea Merca，2013年4月6日

%F G.F.：x^3+12*x^4/（G（0）-12*x），其中G（k）=x+1+9*（3*x+1）*3^k-8*（2x+1）*2^k-x*（9*3^k+1-8*2^k）*（81*3^k+1-32*2^ k）/G（k+1）；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2014年2月1日

%对于n>0，F a（n+2）=（1-2^（2+n）+3^（1+n））/2_Fred Daniel Kline，2014年10月2日

%F对于n>0，a（n）=（1/2）*和{k=1..n-1}和{i=1..n-1}C（n-k-1，i）*C（n-1，k）.-_韦斯利·伊万·赫尔特，2017年9月22日

%Fa（n）=Sum_{k=0..n-3}2^（k-1）*（3^（n-2-k）-1）.-_J.M.Bergot，2018年2月5日

%e a（4）=6。让我们表示Z[i]第i个标记元素=“ball”。然后，对于n=4，有六种不同的方法用标记的元素填充集合=“框”：

%e集合（集合（Z[3]，Z[4]），集合（Z[1]），集合]）、设置（Z[4]）、设置。

%总资产=x^3+6*x^4+25*x^5+90*x^6+301*x^7+966*x*8+3025*x*9+。。。

%e例如，对于n=3，a（4）=6，因为不相交的并集是：{1} U型{2}, {1} U型{3}, {1} U型{2,3}, {2} U型{3}, {2} U型{1,3}和｛1，2｝U{3}. - _恩里克·纳瓦雷特（Enrique Navarrete），2021年8月24日

%p A000392:=n->9/2*3^n-4*2^n+1/2；[序列（9/2*3^n-4*2^n+1/2，n=0..30）]；#_托马斯·维德_

%p A000392：=-1/（z-1）/（3*z-1）或（2*z-1_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%t斯特林S2[范围[0,30]，3]（*哈维·P·戴尔，2011年12月29日*）

%o（PARI）{a（n）=3^（n-1）/2-2^（n-1）+1/2}；

%o（Sage）[stirling_number2（i，3）for i in（0..40）]#_Zerinvary Lajos_，2008年6月26日

%o（GAP）列表（[0..400]，n->斯特林2（n，3））；#_Muniru A Asiru_，2018年2月4日

%Y参考A008277（斯特林2三角形）、A007051、A056509、A000225。

%Y参见A003462、A003463、A00346、A023000、A023001、A002452、A002275、A016123、A016125、A016256。

%Y参考A028243、A122554。

%K nonn，很好，很容易

%0、5

%A _N.J.A.斯隆_

%E偏移由_N.J.A.斯隆更改，2008年2月8日