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空间

这个空间在许多应用中具有相关性物理学结构比平纹多拓扑空间，他们肯定几何的结构，由本地模型空间指定。

几何结构

这可以通过固定（∞，1）-范畴 $\数学{T}$我们认为是谁的对象位点–测试空间，其中所有空间都具有$\数学{T}$-几何结构可能会被探讨，我们认为是哪些态射在尊重几何结构的位点之间的映射。

自规范$\数学{T}$编码我们想要的意思是通过几何结构,$\数学{T}$称为几何学（或者更确切地说是一个预几何体）。

通过一般抽象的胡说八道空间和数量，最普遍的概念空间根据中的测试对象建模$\数学{T}$是一个∞-堆栈上的(pro-objects（问题对象）英寸）$\数学{G}$.我们写作

选择（∞，1）-带轮类别在问题对象中的$\数学{T}$：的格罗斯（∞，1）-拓扑属于$\数学{T}$-几何空间.选择$\矩阵{H}$除了选择$\数学{T}$将概念编码地方的空间建模$\数学{T}$.

这个Yoneda嵌入 $\mathcal{T}\hookrightarrow Sh_\infty（\mathcal{T}）$确保每个测试空间$\数学{T}$可以规范地被视为模拟的一般空间$\数学｛T｝$在研究几何学时，有兴趣通过减少刚性几何结构的空间类型的层次结构将这种非常简单的包含细化为非常一般的空间，例如：

哪里

• $结构（\mathcal{T}）$是$\数学{T}$-结构化（∞，1）-拓扑锿：这些$\数学{T}$-可能发生的空间具有类似于潜在的拓扑空间以基础的广义形式娇小的（∞，1）-拓扑它配备了结构滑轮属于函数数量对象中包含值$\数学{T}$;

• $Sch（\mathcal{T}）$是$\数学{T}$-广义方案秒：这些$\数学{T}$-不仅可由对象探测的结构化空间$\数学{T}$，但都是本地同构的到中的对象$\数学{T}$.

基础物理模型通常包括

• 一个不错的空间$X（X）$–例如a$\数学{T}$-广义方案：的目标空间物理时空模型；

• 辅助空间的集合，它们是更一般的对象$\矩阵{H}$，因此

  • 映射空间$地图（\Sigma，X）$的地图到$X（X）$–参见过程–微分结构、动力学-微分结构、动态）

  • 系数对象$A类$对于自行车 $X\到A$在$X（X）$对背景进行编码仪表场在$X（X）$–见几何上同调）。

几何上同调

每（∞，1）-拓扑伴随着它的概念非贝拉上同调.

对于$\数学｛T｝=｛*｝$琐碎的事几何学，这是顶部。如果改为$\数学{T}$是某种光滑的几何图形，对应上同调属于$\mathbf{H}=Sh_{（\infty，1）}（Pro（\mathcal{T}））$是一种味道光滑上同调：它不仅对拓扑进行分类主∞束s、 但是光滑的 $\英菲$-捆绑包。

运动学

这些$\英菲$-上的束$X（X）$编码运动学对于在中传播的物理对象$X（X）$.

…

例如自旋结构,字符串结构,五膜结构.

过程

基础（量子）物理学描述了中的流程空间s的形式为$d日$-追踪轨迹的维粒子

在一个空间中。

由于所有空间都是在测试对象上为（预）几何 $\数学{T}$，可容许的几何轨迹应通过每个物体的几何轨迹集合来确定$\数学{T}$此外$k个$-维度轨迹应该是$（k-1）$-维度轨迹和二$k个$-维度轨迹应该可以沿关节边界合成到新的$k个$-维度轨迹。最后，所有轨迹的集合本身应该是一个空间模型$\数学{T}$.

这表明几何规范$d日$-维度轨迹由地图编码

这样，对于$X\in\mathcal{T}$这个$（infty，n+1）$-捆$\数学{博尔德}_n（十）$分配给测试空间$U\in\mathcal{G}$一个（∞，n）-范畴 $Bord_n（X）（U）$谁的$k个$-形态是$U型$-家庭$k个$-空间轨迹$X（X）$。特别是对于它指定的普通非结构化版本协边的（∞，n）-范畴

基础（量子）物理学的性质表明$Bord_n（X）$应该是这样的$确定$a的组合$k个$-维轨迹及其颠倒的版本由$（k+1）$-常数的尺寸轨迹$k个$-轨迹。这尤其意味着我们期望$边界（X）$为a（稳定对称）∞-广群因为它不只是在$Sh_{（infty，infty）}（mathcal{T}）$但实际上在$Sh_{（\infty，1）}（\mathcal{T}）$.

最后，量子物理的局域性应该特别意味着$k个$-无边界的空间轨迹是通过粘合获得的$k个$-有边界的三维轨迹。这应该意味着有一个最小的子集合

基本轨迹的所有其他轨迹都是在沿着公共边界粘合的情况下生成的。

差动结构

总之，我们发现编码空间中的进程相当于选择结构$\Pi公司$的$专业（\mathcal{T}）$-结构化（∞，1）-拓扑上格罗斯$（第1页）$-地形 $\mathbf{H}=Sh_{（\infty，1）}{Pro（\mathcal{T}）}$它本身

这个路径∞-广群就像一个结构层总收入（∞，1）-拓扑.

这导致了结构化（∞，1）-拓扑，事实上我们正在处理双向起伏

在这种特殊情况下，我们有Yoneda扩建

的路径∞-广群建设$\Pi（-）$到一个态射

计算$\英菲$-一般路径$\数学{T}$-空格。这有一个右伴随

这样的选择几何结构 $\Pi:Pro（\mathcal{T}）\to\mathbf{H}=Sh_{（\infty，1）}（Pro（\mathcal{T}））$总收入$（第1页）$-拓扑我们称之为微分几何结构或者只是差动结构.

微分上同调

总收入$（\infty，1）$-地形$\矩阵{H}$ 结构化的通过选择路径∞-广群作业$\圆周率（-）$we几何上同调）$\矩阵{H}$提炼为一个概念

• 微分上同调?.

目标空间上的微分循环$X（X）$是什么编码仪表场在$X（X）$.

动力学

这些$\英菲$-连接在上的束$X（X）$编码动力学对于在中传播的对象$X（X）$.

…例如。仪表场第页，扭曲微分非贝拉上同调中的背景场,扭曲的微分弦和五膜结构