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本页包含本卷的前言、导言和内容提纲

大约。357页；精装本，国际标准图书编号-10：ISBN-10:0-8218-5195-0，0-8218-5195-0,ISBN-13:978-0-8218-5195-1，ISBN-13：978-0-8218-5195-1(AMS公司ams:pspum-83书店)

目录

前言

基础理论的概念进展物理学与搜索合适的数学结构这就是所讨论的物理模型。有数字表明，今天我们正处于一个基本数学本质量子场论（QFT）和世界卷的方面弦理论正在识别。后代人不太可能将千禧年之交和21世纪初视为一个完全确立QFT（特别是世界容量理论）的时代表示属于高等类配体具有结构或双重编码共檐属于可观测的局部代数,顶点算子代数,因式分解代数和他们的兄弟姐妹。

虽然在过去几年里，人们对这些问题有了重要的见解，但它们的全部影响可能还没有得到应有的重视，尤其是在大多数理论物理学家中，但对他们来说，这应该是最重要的。与此同时，那些真正欣赏数学结构的人可能会想知道，这一切是如何融入量子场和弦论的大物理图景的。

本卷旨在通过收集原始演示文稿以及对量子场和世界体积弦理论本质下数学结构解构方面最新实质性进展的回顾和调查，试图改善这种情况。所有稿件都经过仔细审阅。

令人欣慰的是，最近一些关于基础物理和数学物理的会议开始见证了理论物理学家和数学家之间新的、更实质性的互动，后者不再仅仅提取出孤立的引人注目的猜想，即黑箱理论几十年来一直在创造，但最终掌握在他们手中的是一个可行的公理系统，它允许人们以正式的方式真正考虑QFT的核心方面。这本书是根据这些会议的经验编写的。

编辑们对作者表示感谢，感谢他们为本卷提供了他们的作品。我们也感谢裁判的辛勤工作。我们感谢谢尔盖·盖尔芬德（Sergei Gelfand）、克里斯蒂娜·蒂维耶格（Christine Thivierge）和美国数学学会（American Mathematical Society）敬业的工作人员为出版这本书所做的努力。我们还感谢阿瑟·格林斯彭仔细校对论文，以及他对整本书的投入。

介绍

通过希沙姆·萨蒂和Urs Schreiber公司(arXiv:1109.0955)

摘要本卷的贡献旨在指出量子场论和微扰弦理论坚实可行的数学基础的核心方面。在这里，我们提供一些激励性的背景，以及各种文章适合的总体情况。

理论基础物理的历史是一个寻找合适的数学概念和结构概念的过程，这些概念可以自然地模拟所讨论的物理现象。也许值得回忆几个例子：

• 识别辛几何作为经典的基本结构哈密顿力学;

• （semi-）的标识黎曼微分几何作为重力;

• 识别组和表象理论作为底层结构动物园的基本粒子;

• 识别Chern-Weil理论和微分上同调作为规范理论.

所有这些例子都展示了精确数学语言的识别，这种语言自然地捕捉了所研究的物理学。虽然每一种语言在引入理论物理时最初都会遇到一些怀疑甚至敌意，但回顾过去，我们确实知道，如果没有这些语言的使用，理论物理各个领域的现代见解和结果实际上是不可想象的。一个著名的历史例子是Wigner-Weyl方法以及当时主流物理学家对它的敌意排斥（“Gruppenpest公司”); 我们现在知道了群论和表象理论已经成为每一个理论和数学物理学家不可或缺的工具。

自从上一次在理论物理领域取得如此大的形式化成功以来，时间已经过去了。The rise of量子场论（QFT）在上个世纪中叶取得了令人瞩目的成功，尽管其缺乏正式的结构基础，但这使得理论物理学家有足够的信心尝试攻击下一个开放的结构问题，即规范力的量子理论 包括重力–没有比民间传说更多的结构指导路径积分，无论这在其他方面证明是多么有用。

虽然所有相关人员都欣然承认，没有人知道

$\,\,\,\,\,$ 什么是弦论？

也许人们逐渐忘记了，甚至没有人知道

$\,\,\,\,\,$ 什么是量子场论？

虽然随后就景观 模空间属于背景对于弦理论，也许人们忘记了，甚至没有人能给出一个接近完整答案的答案

$\,\,\,\,\,$ 弦论背景是什么？

甚至是一个更简单的问题：

$\,\,\,\,\,$ 经典弦论的背景是什么？

这反过来又是一个基本问题：

$\,\,\,\,\,$ 什么是全二维$\西格玛$-模型共形场理论？

大多数文献都是关于二维的共形场理论（2d CFT）描述了所谓的手征共形场理论，形式化为顶点算子代数或局部共形网。但这只捕获了全纯的和低-属的方面共形场理论是完整CFT所需数据的一半，其余部分是缝制约束这使得理论对所有人都有明确的定义属.

这些问题对于微扰弦理论来说是基本的，但似乎太难回答，于是大量相关的模型和玩具模型量子场论系统引起了人们的关注。一系列拓扑（量子）场理论（T（Q）FT）或近似于拓扑中的物理相关CFTA型和B型，或对这些进行编码全息地在他们的边界理论中Chern-Simons理论和它的玩具模型Dijkgraaf-书面理论.

通过这种方式，大量的世界体积QFT似乎以某种方式被认为编码了有关弦论的信息。此外，在每种情况下，真正重要的是满的worldvolume QFT：分配规则相关器到所有可能的世界卷配体，因为这是写下相应的第二量化的 摄动级数然而，尽管对理解任意坐标系上的QFT有着迫切的必要性，但很长一段时间以来，研究甚至精确表述这一点的工具基本上都不可用。然而，关于如何使这些问题易于开发合适的数学机器的建议已经为人所知。

根据拓扑示例，早期有人建议路径积分并且它应该产生的状态传播算子只不过是一个表示的共序范畴(收件人88). 进一步注意到，该处方并不限于TQFTs，事实上CFT公司s被提议公理化为共形坐标范畴的表示(序号04).

在这一发展的同时，另一所学校发展了一种双重图景，现在称为地方的或代数量子场论（AQFT）(Ha92型)，如果不是国家宣传-薛定谔图片–QFT是公理化的，可供高功率机械使用，但更确切地说可观测代数–海森堡图片QFT的。

虽然这些公理化被少数研究人员所熟知并高度重视，但它们大多被量子场论和弦论界所忽视；在很大程度上是正确的：任何人都不应该相信一个尚未通过提供有用的定理和描述有趣的非平凡示例来证明其价值的公理系统。但长期以来，除了少数个别例外情况外，无论是对配基表示法还是对可观测代数系统的研究，都无法为那些重视物理学中形式结构的人的世界观增添太多内容，但对数学中的先验形式结构却没有多大贡献。正是这一点正在改变。

关于公理的主要结构结果已被证明函数量子场论（FQFT）以协边表示形式和双重表示形式本地网络代数（AQFT）和因式分解代数此外，还构造了一些物理上有趣的例子，使这些公理系统充满了生命。我们现在提供了一份此类结果的清单，虽然这些结果必然不完整，但可能有助于给人一种该领域现状的印象，并有助于正确看待本书的贡献。

一、合作主义表现

（i） 拓扑情况

最基本的结果是TQFT公司可以说是公式和证明(卢尔09b)的配体假说(BaDo95公司)哪个分类扩展（意思是：“完全本地”）$n个$-维度的TQFT公司由“完全可对偶性的“空间”上的“-结构”状态（一）对象在一个对称单（∞，n）-范畴)分配给指向（在本卷中伯格纳的贡献调查了配体假说的形成和证明）。这极大地促进了扩展的有趣示例的构建$n个$-维度TQFT。例如

• 最近人们了解到，3d TQFT的状态和构造来自融合类别（例如(巴基00))被配体假说-定理与事实(决策支持系统11)融合类别是完全可对偶对象在中（∞，3）-范畴属于单体范畴具有双模类别为态射;

• Calabi-Yau A-∞类别那个孔采维奇推测的(95千卡)对参与的2d TQFT进行编码同调镜对称被理解为“几乎完全可二元化”的物体(Calabi-Yau对象)将扩展的开放/闭合二维TQFT分类在具有非空输出边界的坐标系上，其值在$（\infty，1）$-链状络合物范畴(“TCFT公司s“(Cos07a公司), (卢尔09b));

在这种情况下维滕的观察结果(无线92)已经做得很精确了(成本07b)，有关Chern-Simons理论到有效的目标空间理论A类-和B型拓扑字符串，从而为有效背景理论的一个示例提供了严格的处理方法，该示例由所有属的字符串扰动序列诱导。

（ii）保形壳

完整的分类理性的完整2dCFT公司上的配体所有的属已获得Frobenius代数物体在里面 模张量范畴(财务报告准则第06号). 虽然对于弦论中最有趣的应用来说，有理情况仍然“过于简单”，但其完整的解决方案表明，在这里已经找到了比许多物理文献中幼稚的考虑所建议的更有趣的结构。（Kapustin-Saulina的贡献和由Kong提供在本卷中讨论了这方面的问题。）

（iii）超几何情况

现在有了一个充分的证据，从公理开始配分函数的$(2|1)$-维度超对称2d-QFT确实是一个模块化形式，根据建议维滕的工作(无线86)在上配分函数的杂化串和指数的狄拉克算子在循环空间.（这一事实的形式化证明超几何的 共生 表示描述见Stolz-Teichner的贡献到本卷。）这表明超弦和广义上同调理论打电话tmf（tmf）（用于拓扑模形式)–在某种意义上椭圆上同调理论–这提升了两者之间更为熟悉的关系超级物品(旋量)和K理论到高级范畴的尺寸。（这是Douglas-Henriques的贡献在本卷中。）

（iv）边界条件和缺陷/域壁

一种简单的额外结构在配体这一点非常重要，即边界标记和坐标域分解，在域墙(“缺陷”). （缺陷QFT的定义是Davydov-Kong-Runkel的贡献到此卷）。带有字符串编码边界的坐标表示D膜在目标空间最初被放大了摩尔和西格尔(MoSe06公司). 通常情况下，开闭式QFT完全由其开放扇区和边界条件决定(Cos07a公司)导致卢里的证据配体假说.（2d呈现结果列表调查CFT公司边界数据的代数位于香港出资到本卷。）

（v） 全息原理

提到了理性CFT分类的一个显著方面在上面是通过一个版本的全息原理这表明在某些条件下配分函数和相关器的$n个$-维度的质量功能测试编码在状态的$（n+1）$-余维1中的维TQFT。第一个例子是三维之间的全息关系Chern-Simons理论和二维WZW CFT公司在开创性的工作中(无线89)，这标志着对TQFT公司首先。这一原则的一个伟大例子是AdS/CFT猜想，其中指出II型弦理论它本身是全息相关的超级杨美尔理论虽然迄今为止还没有AdS/CFT的数学形式化，但低维示例正在寻找精确的公式。（Kapustin-Saulina的贡献在本卷中，讨论了如何通过(财务报告准则第06号)是将全息原理应用于有缺陷的Chern-Simons理论而自然产生的）。

其中一位编辑曾建议，在用坐标表示法进行形式化时，全息摄影对应于这样一个事实：转换之间$（n+1）$-函子位于组件中，组件本身本质上由n函子中给出了扩展二维QFT的这一观察结果的形式化(SP10标准). （Stolz-Teichner的贡献对于本卷来说，关键是使用高维QFT之间的转换来扭曲低维QFT。）

二、。可观测代数系统

（i） 代数网

以Haag-Kastler公理通过可观测的局部代数对QFT进行了描述，给出了一个清晰的数学公式(哈木06)很久以前(哈卡64). 这种方法早就产生了关于QFT的基本结构结果，例如PCT定理和自旋统计定理（参见(标准Wi00)). 直到最近才最终详细展示(巴西存托凭证09)如何示例AQFT公司 网络确实可以沿着微扰理论和威尔逊有效场理论从而将实践粒子物理学家的主要工具与主要形式公理系统之一联系起来。使用歌剧演员的变体哈格·卡斯特勒篮网在欧几里得（“Wick旋转“）QFT–称为因式分解代数–在中概述了类似的讨论(CoGw公司). 同时，发现原始公理自然地从闵可夫斯基时空到一般(全局双曲)弯曲和拓扑非平凡时空(BFV01型).

（ii）边界和缺陷

这个Haag-Kastler公理在描述二维共形场理论方面取得了最丰硕的成果（“共形网“），用于对手性2d CFT进行分类(卡洛03)(卡03，构造可积2d QFT(勒06)并深入了解边界场理论（开放弦）(LoRe04系列). 值得注意的是，后者最近允许进行严格的重新审查(低Wi10)关于弦场理论.（Douglas-Henriques的贡献在本卷中，介绍了Haag-Kastler公理对于共形网并将讨论从边界场理论扩展到场理论有缺陷.)

（iii）高级手性代数

几何重组顶点算子代数依据手性代数(04年12月)已经证明是卓有成效的，特别是在高级分类的概括(卢尔11)通过可分解coslevels$\英菲$-代数。而经典AQFT公司学校限制了人们对平凡拓扑上的QFT的关注，结果表明拓扑QFT也可以通过代数“可观测度”的局部赋值来描述和构造。在(卢尔09b)$n个$-维度的扩展TQFT构造自En-代数–上的代数小n立方体轻歌剧–由一个名为拓扑手性同调_，这是对Hochschild同源在任意拓扑上。（Weiss的贡献在本卷中讨论了操作数上的同伦代数参与这些施工。）

这最后一项工作可能是目前两个公理系统（函数和代数公理系统）之间最形式化和最直接的桥梁。这表明了一个大的思想圈的结束，并使完整的高级菜单QFT的全面基本形式化的轮廓可见。

三、 经典场论的量子化

虽然现实的公理化是所有数学进步的基础质量功能测试，也许从长远来看，对物理学来说更重要的是假设结果的(路径积分)量化因此，通过QFT公理精确确定的过程，可以考虑量化流程本身。这在QFT的应用中尤其重要，因为世界卷中的理论弦理论，其中人们希望明确考虑作为量化sigma模型具有指定的仪表背景字段。很好地理解这个量化步骤是世界卷理论和目标空间理论，因此在世界体积QFT的抽象代数描述和其目标空间中相关器的现象学解释之间，最终将理论与实验联系起来。我们指出了在数学上理解一般量化过程和sigma模型特别地。

（i） 路径积分量化

有人建议（例如(法国06)那个路径积分抽象地理解为推拉操作–一个积分变换–作用于状态以某种形式自行车首先将它们沿着传入边界诱导的地图向上拉到世界体积配置的空间，然后沿着传出边界诱导的图向前推。这一点大家都很清楚Dijkgraaf-书面理论(编号93). 在(FHLT10型)据称，至少对于所有Dijkgraaf-Writed的高级类似物理论（例如Yetter模型(2007年5月))存在一个形式化的拉-推路径积分量化过程结肠炎属于n-范畴代数，产生完全扩展的TQFT。

一个更几何的示例，其中推拉量化被很好地理解为格罗莫夫-威滕理论(卡06). 最近还有Chas-Sullivan的字符串拓扑对单个字符串的操作是这样理解的膜英寸(G007号)最近在(Ku11号机组). 在(BZFNa11型)证明了这种积分变换存在于稳定（∞，1）-范畴属于准相干带对所有人来说目标空间都很完美导出代数堆栈因此，每种方法都可以从背景几何数据中生成二维TQFT。

（ii）较高的背景测量场

甚至在进入之前(路径积分)量化的定义中包含了相当多的数学微妙之处一串的动作功能在描述耦合到更高级别的术语中背景仪表场例如Neveu-Schwarz（NS）B字段和Ramond-Ramond（RR）字段所有这些最近都被系统地理解为广义微分上同调(高速05).

早期已经观察到字符串与
B字段通过线路的高维模拟在全球范围内发生全能学的圆形束：的表面完整性(伽雷02)(FNSW09型的带连接的圆形2束（[Sch11]施赖伯）：a束gerbe带连接，按3级分类常微分上同调。一般来说，打开定向流形 目标空间背景是非贝拉教的 $（\mathbb{Z} _2//U（1））$-表面完整性(附表W05(镍11)在无方向曲面上(不锈钢05).

想法实现后RR字段必须考虑在内K理论(MoWi00手机) (00财年)它最终变得清晰起来(频率01)所有高阿贝尔背景场都出现在超重力弦理论被恰当地视为自行车在里面广义微分上同调(高速05)–RR场由描述微分K理论(布施11)–更普遍的是扭曲的此类理论：B字段使RR字段处于活动状态扭曲K理论（参见(宝马Z08).

一幅非常清晰的画面扭曲广义上同调理论方面相关的E∞-模谱∞-束已在中给出(ABG10公司). 本文特别指出了tmf（tmf）-理论，这是预期的(Sa10级) (安莎11)发挥作用M理论在更高的类比中扭曲K理论在里面弦理论.

（三）量子异常消除

取消量子异常属于费米子上超级环的世界卷–他们的（差分）类别普法费安玻色子上的线束配置空间–对背景仪表场在弦与之耦合的时空上。

通过广义机械微分上同调，最近()完全准确地表达了关于著名人物的世界纪录版本的“杀人回击”的旧观点Green-Schwarz异常消除（引发“第一次超弦革命”的效应），使用模型扭曲的差动串结构秒(SSS10型) (FSS11型)就以下方面而言丛生gerbes，由于(Wa09公司). 这些差动弦结构–由更高的谎言和Chern-Weil理论的光滑管柱2组(亨利08) (BCSS07号机组)-更高的超弦类似物是否具有更高的光滑几何(表111)的旋转-捆 带连接控制纺丝/超微粒的动力学。

（在我们的卷中Distler-Free-Moore的贡献提供了迄今为止最准确的关于微分上同调一般超弦背景规范场的类球形的和定向流形 目标空间.)

见解

综上所述，所有这些发展将大大有助于理解任意坐标系上QFT的基本性质以及由此类2d QFT定义的字符串扰动序列的基本性质。然而，即使考虑到所有这些发展，习惯于主流物理文献的读者可能仍然会抱怨说，QFT在所有属的协边上的这些进展都没有给出弦论真正是什么的定义。当然，如果通过“弦论”理解它的非微扰定义，这是正确的。但目前，弦论的这个假定的非扰动定义是遥不可及的。令人惊讶的是，他们对自己的大胆有些钦佩，对这一点的错误定义让社区忘记了一些更为平凡的事情，CFT相关器上的扰动序列定义了微扰弦理论，一直以来都没有明确定义：只有完整CFT的机器在协元表示方面给出了字符串扰动序列是一个序列的确切含义。也许这会使失望的感觉从对非微扰弦论的推测领域被抛回到微扰级数。但至少这一次，人们的土地是坚实的，这是唯一一块可以作为进一步推测的良好起点的土地。

在弦论中，将理论的主要概念性见解称为转数理论的基础。社区谈到了第一次和第二次超弦革命，可以感觉到对第三次革命到来的某种渴望。由于社区中有很大一部分人正忙于使用可以证明是不够的工具来攻击大型结构，所以当第三个结构出现时，它将来自数学系似乎并不牵强。¹

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• （StWi0）R.F.Streater和A.S.Wightman，PCT、旋转统计等普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿（2000）

• （Wa09）K.~Waldorf，弦连接与Chern-Simons理论，预打印(arXiv:0906.0117)

• （Wi86）E.Witten，循环空间中Dirac算子的指数《代数拓扑中的椭圆曲线和模形式》（普林斯顿，新泽西州，1986年），161-181，数学课堂讲稿。1326柏林施普林格出版社（1988年）。

• （Wi89）E.~ Witten，量子场论与琼斯多项式Commun公司。数学。物理学。121(1989), 351–399.

• （Wi92）E.~Witten，作为弦理论的Chern-Simons规范理论《弗洛尔纪念卷》，637-678，Prog。数学。133，Birkhäuser，巴塞尔（1995年）。(arXiv:hep-th/9207094)

内容提纲

我们现在概述了这本书的内容，强调了各种文章是如何相互关联的，并强调了它们是如何融入我们所描绘的大背景中的在上面.

一、量子场论基础

1.型号$（\infty，n）$-范畴与合作假设

–由朱莉娅·伯格纳(arXiv:1011.0110)

这个薛定谔图片属于扩展拓扑量子场论属于维 $n个$形式化为（∞，n）-函子上协边的（∞，n）-范畴尺寸的$n个$。本文回顾了本声明成分的定义和结构，因为(卢尔09b).

这张图片是在具有结构的坐标系上制定QFT的基础。以下讨论的贡献具有缺陷结构的配体,具有共形结构和具有平坦的黎曼结构.

2.从运算集到树状集

–由伊泰·韦斯(arXiv:1012.4315)

这个高等代数出现在的代数描述中质量功能测试–由局部观测网,因式分解代数或手性代数–通常歌剧演员例如顶点算子代数出现在描述中CFT公司（请参见梁刚的贡献以下）是操作数上的代数全形穿孔球体.

本文回顾了歌剧然后讨论了一个强大的演示树状集合–什么的操作模拟单纯形集是用于（∞，1）-类别。这提供了同伦理论对于（∞，1）-运算与传统模式密切相关拓扑操作数.

3.带缺陷的场论和中心函子

–由阿列克谢·达维多夫,Liang Kong公司和英戈·伦克尔(arXiv公司：1107.0495)

本文详细讨论了配体范畴用于与缺陷/域壁给出了含缺陷二维TQFT晶格模型的显式构造。作者分离出缺陷TQFT在其上诱导的代数结构的一个关键方面状态空间：与普通体态的代数相反，缺陷态的代数通常是非交换的，但某些世界表拓扑可以自然地产生这些代数的中心。

中的下面三维TQFT中的曲面算子带有缺陷的拓扑场理论通过一个全息原理，二维代数模型CFT公司.英寸拓扑模形式和共形网考虑了带缺陷的共形场理论。

二、。场论的量化

1.规范理论的同伦泊松约简

–由Frédéric Paugam煎饼(arXiv:1106.4955)

基本思想量化的拉格朗日语场论很简单：一个形成了协变相空间作为临界轨迹的动作功能，然后形成商通过规范变换并构建规范辛形式最后，一个应用程序形變量子化或几何量化结果辛流形.

然而，为了使这幅天真的画面奏效，必须注意形成两个交叉点(临界轨迹)以及商（通过对称）不是天真，而是同伦在里面衍生几何图形(卢尔09a). 由此导出的协变相空间在物理学中是已知的Batalin-Vilkovisky——Becci-Rouet-Stora-Tyutin（BV-BRST）复合体本文回顾了变分演算的强大描述和BV-BRST复合体依据D-几何(04年12月)–几何学结束de Rham空间–并使用它分析BV构造上的微妙有限性条件。

2.东方风

–由雅克·迪斯特勒,丹尼尔·弗里德、和格雷戈里·穆尔(arXiv:0906.0795)

一致的量化的sigma模型对于(超级的-)一串众所周知，需要目标空间几何图形以满足欧拉-拉格朗日方程有效的超重力关于…的理论目标空间.此外，还有一些微妙的上同调的取消的条件费米 世界概况 异常.

本文讨论了微分上同调的背景字段–即Neveu-Schwarz B油田在里面常微分上同调（或作者所讨论的一个轻微变体）和RR场在里面微分K理论 被…扭曲这个$B类$-字段–特别是如果允许目标空间不仅仅是光滑歧管但更普遍的是球形的甚至更普遍的是定向流形除其他外，结果显示“弦论真空的景观“–大致是模空间一致的扰动字符串背景（参见。Do10公司)–是一个比文献中经常假设的更微妙的对象。

三、 量子二维场论

1.3d TFT和2d Rational CFT中的曲面操作符

–由安东·卡普斯汀和纳塔莉亚·索利纳(arXiv:1012.0911)

从那以后维滕的三维工作Chern-Simons理论据了解全息原理这个理论导出了一个2dCFT公司关于二维边界 曲面本文进一步说明，如果将三维Chern-Simons TQFT视为拓扑有缺陷的QFT然后，由由余维-1缺陷包围的余维-0缺陷形成的结构自然地全息再现了2d CFT的描述Frobenius代数中的对象模张量范畴根据Fröhlich-Runkel-Schweigert（FRS）形式主义.

2.共形场理论和一种新的几何

–由梁刚（Liang Kong）(arXiv:1107.3649)

上一篇文章中显示了TQFT公司连同全息原理自然意味着二维CFT公司由编码幺半群对象在里面模张量范畴，本文回顾了有关此编码细节的一系列有力结果。鉴于这些结果，并且由于每个2d CFT也会诱导有效的目标空间 几何学–如下列贡献–作者强调了以下事实细长的因此，几何图形由分类的的版本熟悉的二元性之间空格和代数：现在用于代数对象内部的到合适的单体范畴.

3.收缩CFT，具有非负Ricci曲率和nc几何的空间

–由Yan Soibelman先生(作者pdf,作者pdf)

摄动的前提弦理论是每个合适的2d（super-）CFT公司描述了量子sigma模型对于在中传播的字符串一些 目标空间几何学，只要我们在一个足够普遍的背景下理解这句话几何学，例如谱非对易几何在本文中，作者分析了量子串在点上诱导的几何-微粒极限（“坍塌极限”），其中只有最低的弦激励是相关的。在该极限下，SCFT的代数数据生成一个光谱三元组，由显示阿兰·孔涅编码广义黎曼几何就光谱而言哈密顿算符。作者用这个来证明密实度关于结果的结果模空间“量子黎曼空间”。

4.超对称场论和广义上同调

–由斯蒂芬·斯托尔茨和彼得·泰克纳(arXiv:1108.0189)

从那以后维滕的派生现在称为Witten属作为配分函数的杂合超弦，有迹象表明超弦物理应该由广义上同调理论打电话拓扑模形式（tmf）类似于超级/纺纱指向粒子与K理论在本文中，作者讨论了他们的开创性项目的最新进展，该项目旨在从系统描述函数2d QFT在坐标系上具有度量结构。

注意到超弦的关键上同调性质只取决于超对称性而不是在保角不变性上，作者简化为配体带平板超级的-黎曼结构，但配有地图进入一些辅助目标空间$X（X）$此类QFT的分类广义上同调理论在$X（X）$描述为：（1,1）维平坦黎曼场理论和K理论和之间（2,1）维平坦黎曼场理论与tmf.

5.拓扑模形式和共形网

–由克里斯托佛·道格拉斯和安德烈·恩里克(arXiv:1103.4187)

在精神上遵循以前的捐款，但使用AQFT公司-相反，本文的作者描述了共形网，因此是2dCFT公司，合并缺陷使用此选项，他们可以获得三类费米子共形网（“自旋弦”）构成高模拟量的二分类属于克利福德代数提供的证据表明分类的 旋量与tmf（tmf）与普通情况相似克利福德代数与相关K理论提供了该原则的具体体现弦物理学是分类的 粒子物理学.