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想法

概念加权限额（也称为指数极限或平均协同传感器产品（在旧文本中）从限制如所述可表示函子:

加权限额有意义，并在以下一般情况下考虑$五$-丰富范畴理论，但将注意力限制在$V（V）=$ 设置目前，为了激发这个概念。

让$K$表示小类别哪些索引图表在此基础上，我们要考虑极限和最终的加权极限。请注意，对于

一设置-有价值的函子在$K$，的限制属于$F类$被规范地简单地标识为设置属于椎体用小费单子设置$pt=\{\bullet\}$:

一般来说，这意味着

具有任意值的函子类别 $C类$，的对象-函子的明智极限$F类$在Yoneda嵌入

可以表示为：

（这是图上的极限$C\big（-，F（-）\big）\，\冒号\，K\到集合^{C^{op}}$哪一个，如果可代表的，定义所需的限制$F类$，请参阅这个例子在可表示函子).

这个主意加权限额的：

1. 在公式中允许(1)特殊函子$\增量pt$被任何其他函子替换$W\、\冒号\、K\设置$;

2. 从设置-丰富上下文到任意$五$-丰富的上下文（见下文）。

想法是重量$W冒号K到V$编码一种概括椎体在图表上$F类$（也就是说，某种东西只有一个尖端，从这个尖端，形态就发散到$F类$)到图上更复杂的结构$F类$。例如，在应用程序中同伦极限讨论如下$五$存在SimpSet（简易设置），重量确保1-形态都是从尖端发出的，但由其形成的任何三角形都由一个2单元，每个四面体由3单元等。

定义

让$五$成为关闭 对称单体范畴。以下所有类别为$五$-丰富的类别，所有函子都是$五$-富足函子.

一个加权限额在函子上

关于重量或索引类型函子

是对象（如果存在）$lim ^W F\以C表示$哪一个代表函子（in$c \以c表示$)

即，对于所有对象$c \以c表示$存在同构

自然的在里面$c（c）$.

（此处$【K，V】$表示$五$-富足函子范畴，一如既往。）

特别是，如果$C=伏$然后我们得到直接公式

这是由上面的结束操纵

加权限制$V=设置$

让我们解释一下加权极限在普通范畴理论中是什么样子的，以便直观地了解加权极限和普通极限之间的区别。

给定一个重量$W:K\设置$和一张图表$F:K\至C$，加权极限包括一个对象$L（左）$与投影一起$\pi_{k，w}:L\到F（k）$对于每个$k\单位：k$和$w\单位w（k）$这样，下面的图表将$k、 k\单位：k$,$w\单位w（k）$和$\kappa:k\到k'$:这需要具有通用性，即给定上述每一个域图$C类$，有一个唯一的态射$C\到L$使图表相互转换。

很明显，当$周$是常数函子将所有内容发送到单个集，这恢复了通常的极限概念$F类$.

丰富范畴理论的理据

让$五$成为单分子类.

假设你的任务是写下限制在一个类别中$C类$ 丰富结束$五$你会开始说图表 $F\冒号K\到C$而极限是普遍的 锥体也就是说，它是对象 $c（c）$和箭头一起$f_k\冒号c\到f（k）$对于每个对象$k个$属于$K$.

你停下来问问自己：“箭头”是什么$C类$?$C类$没有家庭成员-它有人-物体-那么什么是“元素”$C（C，F（k））$在里面$五$?

有两种方法可以指定对象的元素$X（X）$在一个单体范畴 $（V、I、\注释）$:

1. 给我一个箭头$I至X$（想想集合，其中的元素$X（X）$确实和箭一样$\{*\}\到X$。这些被称为全局元素属于$X（X）$和通常是元素的错误概念，因为$我$“太大”，无法彻底探测$X（X）$（另一方面，请注意丰富范畴的基本范畴通过获取hom-objects的全局元素来定义）
2. 给予任何箭头进入$X（X）$。这些被称为广义元素，以及Yoneda嵌入向我们保证，他们完全掌握了$五$.

所以你现在说：一个圆锥体$F类$是一个选择广义元素 $f_k（平方公里）$属于$C（C，F（k））$，每$k个$在里面$K$。这意味着指定箭头$W_k\到C（C，F（k））$在里面$五$，每个$k个$。现在很自然地会在$k个$，因此我们最终定义了上的“广义锥”$F类$作为一个元素

因此$周$只是指定圆锥体侧面的统一方法。确认这确实是丰富设置中极限的正确定义来自于锥形完整性（A锥形极限是其中之一$W=\增量I$，因此我们只选择全局元素）是一个不充分的概念，参见中的示例第3.9节凯利的书（得名圆锥极限的不足).

示例

同伦极限

对于$五$一些更高级的结构地方的定义同伦极限在图表上$F:K\至C$取代了锥体结束$F类$由一个更高的锥体填充，其中1-态射的所有三角形都由2-格填充，所有四面体都由3-格填充，等等。

一个人可以说服自己，为了选择SimpSet（简易设置）对于$五$这是根据加权极限实现的$极限^W F$带着重量$周$被认为是

哪里$K/K公司$表示超类别属于$K$结束$k个$和$N（千分之一）$表示其神经.

这导致了同伦极限的经典定义$\简单\设置$-因以下原因而丰富的类别

• A.K.Bousfield和D.M.Kan，同伦极限、补全和局部化

例如，另请参阅

• Jean-Marc Cordier牛仔裤和蒂莫西·波特,同伦相干范畴理论，事务处理。阿默尔。数学。Soc.349（1997）1-54(pdf格式)

• 尼古拉·甘比诺,单形同伦理论中的加权极限(pdf格式或pdf格式)

在一些好的情况下，重量$N（K/-）$可替换为更简单的重量；下面讨论了一个示例Bousfield-Kan地图.

同伦拉回

例如，在这种情况下$K=\{r\至t\左箭头s\}$是的形状拉回我们的图表

和$W（从r到t）：从r到$注入顶点$第页$进入之内$\｛r到t\leftarrow s｝$和类似的$W（s至t）$.

这意味着$F:K\至C$中的拉回图模拟程序集-丰富的类别$C类$，一个$周$-加权锥体结束$F类$用尖端一些物体$c \以c表示$即自然转化

是

• 结束$第页$来自尖端的“同构”$c（c）$到$F（r）$（即Hom单纯形集中的一个顶点$C（C，F（r））$);

• 类似地$秒$;

• 结束$t吨$来自的三个“形态”$c（c）$到$F（吨）$以及它们之间的2个单元格（即a 2-喇叭在Hom-单形集中$C（C，F（t））$)

• 这样两个外部形态就结束了$t吨$被识别为$第页$和$秒$分别与语素后复合$F（r至t）$和$F（s至t）$分别是。

所以总的来说$周$-加权圆锥体看起来像

正如人们所期待的“同伦锥”。

相关页面

• 严格2-限制

• 饱和极限类

• 加权大肠杆菌

工具书类

概述

引入了加权极限的概念（以“平均协同传感器产品“）位于：

• 弗朗西斯·博尔塞克斯，第10页，共页：Une概念$五$-限制，英寸猫科动物学会。亚眠1973。经济研究报告《Cahiers de topologie et géométrie différentielle》142 (1973) 153-223 [编号：CTGDC_1973__14_2_153_0]

• 弗朗西斯·博尔塞克斯,格雷戈里·麦克斯韦-凯利,丰富范畴的极限概念澳大利亚数学学会公报121 (1975) 49-72 [doi:10.1017/S0004972700023637]

和（以“霍姆（福尔梅）“）签署人：

• C.奥德塞特，二类分类，Cahiers de Top。等Géom。差异XV-1（1974），3-20。(编号)

教科书帐户：

• 马克斯·凯利,第3.1节，第37页在：丰富范畴理论的基本概念，伦敦数学。Soc.Lec公司。票据系列64，剑桥大学出版社（1982），《范畴理论与应用的再版》，10（2005）1-136[国际标准图书编号：9780521287029,塔克：tr10,pdf格式]

• 弗朗西斯·博尔塞克斯，§6.6英寸：范畴代数手册，第2卷：类别和结构，数学百科全书及其应用50剑桥大学出版社（1994）[doi:10.1017/CBO9780511525865]

在

• 艾米丽·里尔,加权极限和结肠炎(2008) (pdf格式)

由迈克·舒尔曼关于这个主题。定义显示为定义3.1，第4页（以一种比上面更通用的形式）。

表示同伦极限

关于加权限额同伦极限:

• 菲利普·赫施霍恩,模型类别及其本地化，AMS数学。调查和专著99(2002) [国际标准图书编号：978-0-8218-4917-0,pdf目录,pdf格式,pdf格式]

要与上述讨论进行比较，请注意

• 函子

  $$W \；\冒号\；N（K/-）$$

  在第269页的定义14.7.8中进行了讨论。

• 这个$五$-丰富的hom-category$【K，V】$哪个在上$五$-函子$S、 T型$是结束 $[K，V]（S，T）=\int_{K\inK}V（S（K），T（K））$显示为$hom^K（南、北）$定义18.3.1（见本页底部）。

• 对于$五$设置为SimpSet（简易设置）同伦极限的上述定义出现在示例18.3.6（2）中。

• 艾米丽·里尔，§6.6和第7章：范畴同伦理论，剑桥大学出版社（2014）[文件编号：10.1017/CBO9781107261457,pdf格式]

加权讨论$（\infty，1）$-限制:

• 马蒂娜·罗维利,（∞，1）类中的加权极限(2019) [阿西夫：1902.00805]