n实验室弱同伦等价

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弱同伦等价

上下文

同调理论

平等与对等

弱同态等价

不可逆弱同伦等价

想法

A类弱同伦等价是介于拓扑空间或单纯形集或类似情况，导致同构对所有人同伦群.（中的类似概念同调代数称为准同构.)

这个本地化或单纯定位类别的顶部和sSet（设置）在用作弱等价生成标准同伦范畴 Ho（顶部）和Ho（设置）或（∞，1）-范畴属于∞-群胚/同伦类型分别是。

弱同伦等价物以同伦等价。在替换域由分辨率.中相应的概念同调代数是拟同构和链同伦-等效性。

从另一个角度来看弱同伦等价是“观察性的”，因为当我们通过我们可以使用的观测来观察它时，地图是弱同伦等价同伦群甚至是基本无穷广群，它看起来是等价的。相反，同伦等价更具“建设性”；在那里面 $（f）$ 是同伦等价，如果它存在逆（当然是同伦）。请注意，这两个概念都比单纯的同构拓扑空间（同胚）的弱等价性第条。

这里实际上有两个相关的概念：两个空间是否为弱同伦等价，空间之间的映射是否为弱同伦等价。前者通常用后者来定义。

定义（对于拓扑空间和单纯形集）

定义

对于 $十、 Y\英寸$ 顶部或 $\英寸$ sSet（设置）二拓扑空间或单纯形集，一个连续函数或单纯映射 $f:X\到Y$ 它们之间称为弱同伦等价如果

$（f）$ 诱导同构属于连接的组件（拓扑空间情况下的路径分量）

$\Pi_0（f）\冒号\Pi_0$

在里面设置;
为所有人点 $x中的x$ 以及所有人 $（1）在mathbb{n}中$ $（f）$ 诱导同构同伦群

$\pi_n（f，x）\colon\pi_n$

在里面组.

备注

如果 $X（X）$ 和 $Y（Y）$ 是路径连接的，则（1）是微不足道的，对于单个（任意） $x个$ ，但一般来说，必须至少为一个 $x个$ 在每条路径中连接的组件.

备注

仅仅要求每对同伦群是同构的是不够的。例如，让 $Y=S^1\vee S^2$ ，并让 $X（X）$ 是它的双层外壳，它把两个球体粘在一个圆的南北两极。然后在基本群上有同构 $\pi_1（X）\simeq\mathbb{Z}\simeq \pi_1$ ，尽管地图 $\pi_1（X）到pi_1$ 诱发因素 $（f）$ 不是同构。根据覆盖空间的性质，所有高同伦群都是同构的。但这两个不是弱同伦等价。

备注

弱同伦等价有许多不同的定义。简单的地图 $（f）$ 是单形集的弱等价当且仅当 $示例^\infty f$ 是单形同伦等价当且仅当 $霍姆（f，A）$ 是任意同伦的简单等价坎综合体 $A类$ 当且仅当 $（f）$ 对地图具有正确的相对自主提升属性 $\部分\增量^n\到\增量^n$ 当且仅当 $（f）$ 是非循环共纤维（即，对于所有映射具有左提升特性的映射，对于角包含具有右提升特性）和非循环纤维（即对于包含具有右上升特性的映射 $\部分\Delta ^n到Delta ^n）$ .连续地图 $（f）$ 是拓扑空间的弱等价当且仅当 $|唱（f）|$ 是拓扑空间的同伦等价当且仅当 $霍姆（A，f）$ 是任意同伦等价CW-复杂 $A类$ 当且仅当 $（f）$ 具有关于映射的右相对同构提升性质 $S^{n-1}\到D^n$ 当且仅当 $（f）$ 是一个无环Serre共纤维（一个相对CW复合物的收缩）和一个非环Serre复合物的组合锯齿状纤维.两个函子 $|-|$ 和 $唱歌$ 保留并反映弱等价，因此这两个类中的任何一个都定义了另一个。

定义

这个同伦范畴属于顶部关于弱同伦等价是Ho（顶部） ${}{whe}$ .

备注

因此，弱同伦等价是弱等价在标准中拓扑空间上的Quillen模型结构和单形集上的Quillen模型结构，也在混合模型结构.

属性

等效特征

提议

连续地图 $f:X\到Y$ 是弱同伦等价 $n\in\mathbb{n}$ 以及所有人换向图形式的连续映射

\阵列{S^{n-1}&\到&X\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{f}}\\D^n&\到&Y}\,,

其中，左态射是 $（n-1）$ -球作为边界的 $n个$ -球，存在一个连续映射 $\西格玛：D^n至X$ 这使得生成的上三角通勤，而下三角通勤为同伦

\阵列{S^{n-1}&&\到&&X\\\\\下箭头&&\nearrow&\sw箭头&\downarrow^{\mathrlap{f}}\\\\D^n&&\到&&Y}

这是恒定的 $S^{n-1}\hookrightarrow D^n$ .

在这种形式下，声明及其证据出现在(怡和（Jardine）)（其中它也被推广到简单预升模型结构). 另请参阅周围(Lurie道具。6.5.2.1). 相关参数在(5月，第9.6节). 变量称为HELP引理在(沃格特).

同伦等价的关系

提议

每同伦等价是弱同伦等价。

证明

这需要一点思考来证明，因为 $（f）$ 及其同伦逆 $克$ 无需保留任何选定的基点。但对于任何人 $x中的x$ 以及任何 $第1页$ ，我们有一个交换图

\阵列{\pi_n（X，X）&&到&&\\& \西罗&& \近排&& \西罗\\&& \pi_n（Y，f（x））&& \长向右箭头&& \pi_n\大(Y、 f（g（f（x）））\大）}

其中两个水平形态是同构，因为 $克/平方英尺$ 和 $f克$ 是同伦到身份因此，由双向属性对于同构，对角态射也都是同构。

提议

相反，在m-余纤维空间同伦等价于CW复合物)是一个同伦等价.

同伦类型的关系

我们讨论等价关系由弱同伦等价生成，称为（弱）同伦型。有关此情况的“abelinated”模拟，请参阅准同构该部分与同源型的关系.

提议

弱同伦等价的存在性 $X（X）$ 到 $Y（Y）$ 是一个反射的和传递关系在顶部，但它不是对称关系.

证明

对自反性和及物性进行日常检查。对称的反例就是例子如下所示。

但我们可以考虑真正的等价关系生成通过弱同伦等价：

定义

我们说两个空格 $X（X）$ 和 $Y（Y）$ 有同样的（弱）同伦型如果它们在等价关系生成通过弱同伦等价。

备注

同样地，这意味着 $X（X）$ 和 $Y（Y）$ 如果存在相同（弱）同伦类型之字形的弱同伦等价

X\左箭头\到\左箭头\dots\到Y\,.

这反过来相当于说 $X（X）$ 和 $Y（Y）$ 成为同构的在中同伦范畴 Ho（顶部）/Ho（设置）具有弱同伦等价倒置的.

备注

两个空格 $X（X）$ 和 $Y（Y）$ 可能有同构同伦群，但不存在弱同伦等价：为此，所有同构都必须由实际映射诱导 $f:X\到Y$ ，如上述定义所示。

然而，如果粗略地记得，所有同伦群行为这样就有足够的信息来展示完整的同伦类型。此数据集合称为Postnikov塔同伦类型的分解。

与自由同伦集的关系

对于 $K、 X、\ in、TopSp$ ，写入 $地图（K，X）$ 为他们映射空间即不考虑或尊重任何基点例如， $地图（S^1，Y）$ 是自由循环空间属于 $Y（Y）$ ，与基于循环空间

\欧米茄_x x\xhookrightarrow{\；fib_x（ev_\ast）\；}地图（S^1，X）\重叠｛\；ev_x\；｝｛\towheadlightarrow｝X（X）

对于任何基点 $x\，\英寸\，x$ .

此外，当 $K$ 是一个CW复合体，写入

(1)

{[K，X]}\，\coloneqq\，\tau_0\，映射（K，X）\，

对于自由同伦集的地图 $K$ 到 $X（X）$ ，因此同伦类地图的 $K至X$ ，因此连接的组件映射空间的。

提议

（在自由同伦集上检测到的弱同伦等价）
对于 $f\，\冒号\，X\到Y$ ，一个连续函数之间连通拓扑空间，以下是等效的：

$（f）$ 是一个弱同伦等价

$\下划线{n\in\mathbb{n}}{forall}\;\;\;p_n（X）\过盈不足{\simeq}{f\ast}{\右箭头}\像素_（Y）\,;$
$（f）$ 诱导同构关于所有自由同伦集(1)由于CW-复合体:

$\CWCplx}{forall}中的underset{K\\;\;【K，X】\过盈不足{\simeq}{f\ast}{\右箭头}【K，Y】\,;$

$（f）$ 诱导
1. 一个同构关于所有自由同伦集(1)由于 $K（K）=$ 任何n维球面属于积极的维,
  
  $\低于{n\in\mathbb{无}_+}{\全部}\;\;[S^n，X]\过盈不足{\simeq}{f\ast}{\右箭头}[S^n，Y]\,.$
2. 一灌水关于楔和属于圈子编入索引的按（集合）潜在的)的基本群属于 $Y（Y）$ :
  
  $\大[\底部｛\pi_1（Y）｝｛\vee｝S^1,\,X（X）\大]\重叠｛\；f\ast\；｝｛\towheadlightarrow｝\大[\下置{\pi_1（Y）}{\vee}S^1,\,Y（Y）\大]$

(马图莫托，南弥和苏加瓦拉1984，Thm。2)

证明

含义 $（1） \向右箭头（2）$ 是同伦理论中的一个标准/经典结论，例如，它是以下事实的一个小特例 $地图（K，-）$ 在任何细胞复合体中 $K$ 保持弱同伦等价(本道具。).

含义 $（2） \向右箭头（3）$ 是微不足道的，因为（3）中的条件只是（2）中条件的特例。

因此，声明的重点是（3）已经足以恢复（1）。这是的内容马图莫托，南弥和苏加瓦拉1984，Thm。1和Lem。1.3.

对于其他类型的空间

地图单纯形集等价地称为弱同伦等价，如果几何实现是拓扑空间的弱同伦等价，如上所述。（因为任何简单集的几何实现都是CW复合体，在这种情况下，其几何实现实际上是同伦等价.)

同样，a函子之间小的类别有时被称为弱同伦等价，如果它神经是单形集的弱同伦等价，因此是后拓扑空间的弱同伦等价范畴的几何实现。这些是托马森模型结构类别（不是典型模型结构). 声明奎伦定理A和奎伦定理B在这种情况下。

类似地，可以在具有几何实现，例如立方体集合，一个球状集合，一个n类，一个n折类别等等。

请注意，在其中一些情况下，例如单纯集、对称集，以及可能的立方集，还有一个“同构等价”的概念，需要将这个概念与之区分开来。例如，单纯形同伦等价就是单纯形映射 $f： X到Y$ 带有反转 $g： Y \到X$ 和单形同伦 $X\次\增量^1\到X$ 和 $Y\次\增量^1\到Y$ 有关 $f克$ 和 $克/平方英尺$ 身份。

泛化的另一个方向是拓扑的同伦等价.

示例

不可逆弱同伦等价

根据prop，我们讨论了没有弱同伦等价的弱同伦等效的例子。以上。

例子

让 $S^1\英寸$ 顶部表示普通圆圈和 $\mathbb｛S｝$ 这个伪圆.

有一个连续函数 $S^1\to\mathbb{S}$ 这是一个弱同伦等价，因此特别 $\pi_1（\mathbb{S}）\simeq\mathbb{Z}$ 。但反过来的每个连续映射都必须在 $\pi_1$ .

这是中讨论的一类反例中最简单的一个(麦考德).

工具书类

例如，一般账目见

彼得·梅,代数拓扑简明教程

通过提升到同伦来刻画弱同伦等价似乎是

J.F.贾丁,简单预升《纯粹与应用代数杂志》第47期，1987年，第1期，第35-87页。
雷纳·沃格特,Quillen模型范畴中的HELP-引理及其逆(arXiv:1004.5249)

有关相关和一般性讨论，另请参见第6.5节

雅各布·卢里,高等拓扑理论

弱同位等价关系的非对称性的例子如下

迈克尔·麦考德,有限拓扑空间的奇异同调群和同伦群杜克大学数学系。J.第33卷第3期（1966年），465-474。(欧几里得.dmj/1077376525)

另请参见：

拓扑空间Wiki，拓扑空间的弱同伦等价

根据自由同伦集进行检测：

马图莫托（Takao Matumoto）,Norihiko Minami公司,苏加瓦拉（Masahiro Sugawara）,关于自由同伦类集与Brown的构造广岛数学。J.14（2）：359-369（1984）(doi:10.32917/hmj/1206133043)

上次修订时间：2024年5月8日03:26:14。请参阅历史获取所有贡献的列表。