n实验室通用结构

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范畴理论

米田引理

例如，如果有人被要求提供地图 $\mathbb{R}\to\mathbb}R}\times\mathbb{C}$ ，他们可能会写下如下内容 $x\mapsto（x^2，x+i x）$ 实际上，所做的是一对地图 $\mathbb{R}\到\mathbb}$ 和 $\mathbb{R}\到\mathbb}$ 给出，即 $（x映射到x ^2，x映射到x+i x）$ . The通用属性的产品说给 $A\乘以B$ 与给 $A类$ 和到的地图 $B$ 而且，这种对应在某种确切意义上是自然的。

同样，给定戒指 $R（右）$ 和 $S公司$ ，如果我们想扩展环同态 $R至S$ 从多项式环 $R[x]\至S$ ，我们所要做的就是指定 $S公司$ 我们发送的 $x个$ 到。换句话说，同态 $R[x]\至S$ 与同态相同 $R至S$ 和一个元素 $S公司$ .

对于它是一个普适性质来说，仅仅存在这样一个双射是不够的。我们需要一些条件来确保双射是“自然的”。抽象地说，这表示双射由自然同构确定的仿函数更具体地说，由米田引理，这相当于说双射是由一些“通用映射”“中介”的，这就是通用属性通常的公式。请参见具体示例了解更多详细信息。

回忆一下米田引理，指定如何映射到对象中或映射到对象外，将唯一地确定对象同构。所以我们可以使用这些通用属性作为定义建筑物的数量！这些被称为通用结构当然，这些定义实际上并不是“构造”。我们仍然必须用好的、古老的方法来进行具体的构造，以表明存在满足普适性的对象（或应用一般定理，如伴随函子定理).

例子

具体示例

我们首先看几个通用属性的具体例子。这些都是下面描述的特殊情况。

示例（产品）

这个产品由映射的属性指定两个对象（例如集、组、环等）的 $f： X到A乘以B$ 用成对的地图自然地标出 $（f_1:X\至A，f_2:X\到B）$ .

自然条件是如果 $f： X到A乘以B$ 对应于 $f_1:X到A，f_2:X到B$ 、和 $g： Y到X$ 那么是一张地图 $f\circ克$ 对应于 $f_1\circ克$ 和 $f2 \大约g$ ，以便双射尊重构图。

特别是身份图 $id:A\次B\到A\次B$ 对应于一对投影地图 $\pi_1:A\乘以B\到A$ 和 $\pi_2:A\乘以B\到B$ .那么如果 $f： X到A乘以B$ 是一张地图，那么根据自然性，它对应于 $\pi_1\circ f:X\到A$ 和 $\pi_2\circ f:X\到B$ .

假设我们得到的不是双射，而是一个对象 $P（P）$ 带地图 $\pi_1:P至A$ 和 $\pi_2:P至B$ 然后如上所述，我们从映射中获得一个函数 $X\到P$ 到成对的地图 $X到A，X到B$ 通过成分。这使得 $P（P）$ 成为…的产品 $A类$ 和 $B$ 当这个函数是双射时，即对于任何一对映射 $f_1:X到A，f_2:X到B$ ，有一张独特的地图 $f： X至P$ 其成分与 $\pi_1，\pi_2$ 是 $第一代和第二代$ 分别（自然性很容易检查）。

（经验丰富的读者会注意到，这只是米田引理)

因此，通用属性可以表述如下： $C类$ 是的产品 $A类$ 和 $B$ 如果有地图 $\pi_1:C\到A$ 和 $\pi_2:C\到B$ 这样，给定任意一对地图 $f_1:X\至A$ 和 $f2：X至B$ ，有一张独特的地图 $f： X到C$ 这样，下图可以相互转换：

\阵列{&&X&&\\&^\mathllap{f1}\swarrow&\downarrow^\mathrlap{f}&\searrow^\ mathrlap{f2}\\A&\underset{\pi_1}{\leftarrow}&C&\underset{\pi_2}{\rightarrow{&B}

在这种情况下，我们倾向于写 $A\乘以B$ 对于 $C类$ .

注意，如果我们谈论集合，那么集合的元素 $X$ 相当于一张地图 $1至X$ 从单例集合 $1$ 因此，上述定义特别指出 $A\乘以B$ 与一对元素相同 $（a、b）$ ，其中 $a \在a中$ 和 $b\在b中$ .

示例（自由组）

这个自由的组在 $n个$ 生成器是一个组 $表格（_n）$ 这样的话群同态 $F_n\至G$ （自然地）与 $n个$ 的元素 $G公司$ （不一定不同）。

与上述类似，自然条件表明如果 $f： f_n\至G$ 对应于 $g_1。。。，g中的g_n\$ 、和 $h： G至h$ 那么是一张地图 $小时\圈f$ 对应于元素 $h（g_1）。。。，h（gn）$ 特别是，假设身份图 $标识：F_n\至F_n$ 对应于 $n个$ 元素 $x_1。。。，F_n中的x_n$ 然后是任何同态 $f： f_n\到G$ 对应于元素 $f（x_1）。。。，f（x_n）$ 属于 $G公司$ .

因此，给定指定的元素 $x_1。。。，F_n中的x_n$ 通用属性表示 $n个$ 的元素 $G公司$ ，我们可以找到唯一的同态 $f： f_n\至G$ 发送 $x_1。。。，x个n$ 到 $n个$ 元素。

以图表方式，拾取 $n个$ 集合中的元素 $X$ 与功能（台，共台） $n\至X$ .如果我们写 $U（G）$ 用于组的基础集 $G公司$ （即。 $U型$ 是遗忘函子到 $设置$ )，自由群的普适性表示有一个特定的函数 $\φ：n到U（F_n）$ ，这样对于每个函数 $f： n\到U（G）$ ，我们可以找到一个唯一的群同态 $\波浪线{f}:f_n\到G$ 这样，下图可以相互转换：

\阵列{U（F_n）&\覆盖{U（\波浪线{F}）}{\到}（G）（&U）\\^\mathllap{\phi}\uparrow&\nearrow{\mathrlap{f}}\\n个}

换句话说，每个地图 $f： n\到U（G）$ 通用地图中的因子 $\φ：n到U（F_n）$ 独特地。

示例（张量积）

这个张量积属于向量空间具有通用属性双线性映射 $V\倍W\到U$ 具有线性映射的自然双射 $从W到U的音符$ 自然性条件是由一个泛双线性映射的存在性给出的 $\phi:V\时间W\到V\时间W$ 这样每个双线性映射 $V\倍W\到U$ 因素通过 $\φ$ 独特地。

我们有更多退化的示例，例如终端对象：

示例（终端和初始对象）

在集合的类别，单身汉 $1$ 满足以下属性：从任何对象到 $1$ 所以我们可以说地图 $A\至1$ 用集合（必然自然地）表示 $1$ 更一般地说，在任何类别中，如果对象 $X$ 是这样的，从任何对象到 $X$ ，然后 $X$ 被称为终端对象.

对偶而言，初始对象是一个对象 $0$ 这样就有一张来自 $0$ 到任何对象 $X$ .

示例类

一般来说通用结构在里面范畴理论包括

可以通过要求满足通用属性通用属性是某种构造的属性，它归结为（明显等价于）关联对象是某个（辅助）类别的通用初始对象的属性。

在好的情况下，每一个都是另一个的特例，所以不知何故，一个概念带着许多不同的面孔来到了我们面前。

其中一些或全部具有类似物高等范畴理论尤其是在2类理论和（∞，1）范畴理论:

工具书类

对普遍属性及其与米田引理在中给出

艾米丽·里尔,语境中的范畴理论，第2章。(pdf格式)

更为非正式和直观的解释见

保罗·佩罗内,用基础数学中的例子说明范畴理论，第2章。(arXiv公司)

上次修订时间：2020年1月15日04:42:56。请参阅历史获取所有贡献的列表。