超滤定理

想法

在古典数学，超滤定理是关于超滤的一个定理，被证明是Zorn引理。在基础然而，对于数学来说，考虑它所隐含的或与之等价的结果是很有意思的（除了那些暗示了选择本身的完整公理的结果之外，很少有人在不等价的情况下暗示它）。

声明和证据

尽管这个证明使用了Zorn引理，但语句本身却较弱。特别是，它比选择公理（即使假设排中律).

优势和劣势作为“选择原则”

虽然超滤定理比选择公理弱，但它可以用来证明许多传统上用Zorn引理（或其他与选择公理等价的东西）。例如，它可以用来证明

• 这个Hahn–Banach定理（这反过来意味着存在勒贝格不可测集），

• 这个巴纳赫-塔斯基悖论,

• 这个素理想定理对于钻机,戒指，以及布尔代数,

• 每个形式实数域可以是完全有序,

• 的存在性和唯一性代数闭包（请参见分裂场),

• 非平凡的存在超产品,

• 这个紧性定理和完备性定理一阶逻辑（见下文）

作为部分列表。下面给出了一个启发性的讨论，讨论了使用超滤定理可以证明的事情在密苏里州.

然而，在其他方面，超滤定理作为一个“选择原理”是非常弱的。例如，它太弱了，无法证明可数选择（例如，它不能证明可数集合的可数并集是可数的），这是科恩第一个模型中关于选择公理失败的事实（即使可数选择失败，但超滤定理成立）。因此，它不能证明依赖选择公理两者都可以。

它可以证明一些的传统应用依赖性选择例如，它可以用于线性顺序任何设置。由此可以证明非空有限集的可数并是可数的，进而可以用来建立弱König引理；看见在这里.

在构造数学，超滤原理也意味着德摩根定律，这意味着真理值 $\欧米茄$是一个德摩根-海廷代数.任何地形通过内部超滤原理德摩根拓扑.

其他配方

下面是几个等价的语句（在任意地形)到超滤定理。

前三个是，如果你仔细阅读定义，几乎可以直接改写上述定理：

• 每网具有通用子网。（我们必须正确定义“子网”和“通用网”才能实现这一点，在这一点上，等价性是立竿见影的。）

• 布尔素理想定理：每个真值理想的在一个布尔环包含在首要理想（布尔素理想定理的更强公式也在后面。）

• 这个斯通表示定理：每布尔代数是一些的子代数函数代数 $2^X个$进入最初的布尔代数。（Stone表示定理的更强公式也在后面。）

这些基本结果逻辑等价于超滤定理：

• 一致性：如果集合$\西格玛$命题中的公式经典逻辑是语法一致的（证明没有矛盾），然后是语义一致的（有一个模型）。（相反的是直接的；一致性定理（包括谓词逻辑的一致性定理）的更强的公式也在后面。）

• 紧致性：如果$\西格玛$有一个模型，那么也有$\西格玛$（相反的是直接的；紧致性定理的更强的公式，包括谓词逻辑，也在后面。）

以下各项的各种特征紧凑空间等价于超滤定理：

• 给定一组$S公司$，空间$2分之一秒$（在产品拓扑中）是紧凑的。（这可以看作是下面的Tychonoff定理的一种非常弱的形式。）

• 一般来说，如果收敛空间 $X（X）$是收敛的，那么$X（X）$结构紧凑。（反之亦然。）

• A类均匀空间如果是紧凑的完成和完全有界（即它是主教紧凑型). （反之亦然。）

分析中的这些经典结果等价于布尔拓扑具有自然数对象:

• 这个泰克诺夫定理对于Hausdorff空间：紧Hausdorff空间的任何乘积都是紧的；等价地，紧Hausdorff空间的任何乘积区域设置是空间的。（如果去掉Hausdorff条件，则结果等于选择公理.)

• 石料–可可压实：的紧Hausdorff空间表格a反射子范畴属于顶部（经典结果是它们形成了该类别的反射子类别$T_{3\压裂{1}{2}}$完全正则Hausdorff空间的个数就足够了；反射是稠密嵌入的经典结果$T_｛3\frac｛1｝｛2｝｝$也如下。）

• 巴拿赫-阿拉格鲁定理：双对偶的闭合单位球巴纳赫空间弱*紧凑。（的结果可分离的空间不需要超滤定理。）

失败

当然，由于超滤定理与采埃孚，在某些模型中它会失败。然而，更重要的是，显然存在ZF模型，其中每个超滤器（在每个集上）都是主体。请参阅此MO答案.

工具书类

阐述并证明了与超滤定理的各种等价性（在采埃孚)英寸

• 埃里克·谢赫特（Eric Schechter）；分析手册及其基础.

查看摘要（GIF！）：第1页和第2页.

在决定哪一个使用了排除中间值或自然数对象的存在性时，我可能犯了一些错误。（我非常怀疑他们中是否有人使用替代品。）

对于构造数学中的超滤原理：

• 约翰·贝尔，“构造性地处理布尔代数和分配格”，数学逻辑季刊45, 1999.pdf格式