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上同调

我们讨论了作为实现扭曲上同调在任何内聚（∞，1）-拓扑 $\矩阵{H}$ 如章节所述内聚（∞，1）-拓扑-扭曲上同调对于以下情况 $\矩阵{H}=$ ETop∞Grpd或 $\矩阵{H}=$ 光滑∞Grpd这重现了传统观念拓扑和光滑的扭曲束，其扭曲相应地是拓扑的或光滑的束gerbe秒/圆n束第条。

安装程序

让 $\矩阵{B}^{n-1}U（1） \in\mathbf{H}$ 成为圆n群.我们将集中精力确定 $\mathbf{B}^2U（1）$ -上同调，因为这再现了文献中常见的扭束概念。但其他所有的选择都会起作用，并产生相应的扭束概念。

一次性修复∞-组 $G\in\mathbf{H}$ 和a自行车

\mathbf{c}:\mathbf{B} G公司\to\mathbf{B}^2 U（1）

表示特征类

[\mathbf{c}]\在H_{Smooth}^2（\mathbf{B} 克，U（1））

请注意，如果 $G公司$ 是一个契约李群，通常用于讨论扭线束，其中 $G=P U（n）$ 是射影幺正群在某种程度上 $n个$ ，然后按这个定理我们有这个

H_{平滑}^2（\mathbf{B} G公司，U（1））\simeq H^3（B G，\mathbb{Z}）\,,

右边哪里有普通的积分上同调的分类空间 $B G\英寸$ 顶部属于 $G公司$ .

抽象定义

让 $G公司$ 和 $\mathbf{c}$ 作为在上面.

定义

写入

\mathbf{B}\hat G\to\mathbf{B} G公司\stackrel{\mathbf{c}}{\to}\mathbf{B}^2U（1）

对于同伦纤维属于 $\mathbf{c}$ .

这表明 $\帽子G$ 作为组扩展属于 $G公司$ 由2-自行车 $\mathbf{c}$ .

注意

同样地，这意味着

\马特布夫{B} U型（1） \to\mathbf{B}\hat G\to\mathbf{B} G公司

是光滑的吗圆形2磅/束gerbe分类依据 $\mathbf{c}$ ; 及其循环空间对象

U（1）从G到G

相应的圆形群主束在 $G公司$ .

让 $X\in\mathbf{H}$ 成为任何对象。发件人扭曲上同调我们有以下概念。

定义

度-1全扭曲上同调 $H_｛tw｝^1（X，\hat G）$ 属于 $X$ 系数为 $\帽子G$ ，定义。，相对于特征类 $[\mathbf{c}]$ 是布景吗

H^1_{tw}（X，\hat G）：=\pi_0\mathbf{高}_{tw}（X，\mathbf{G}\hat H）

的连接组件（∞，1）-回拉

\数组{\马特布夫{高}_{tw}（X，\mathbf{B}\hat G）&\stackrel{tw}{\to}&H_{平滑}^2（X，U（1））\\\向下箭头&&\向下箭头\\\mathbf{H}（X，\mathbf{B} G公司)&\斯塔克雷尔{\mathbf{c}_*}{\到}&\矩阵{H}（X，\mathbf{B}^2U（1））}\,,

其中右垂直态射是任意的部分cocycles到上同调类的截断投影。

上了一节扭曲的课 $H^2_{平滑}（U（1））中的[\alpha]\$ 我们这么说

H_{[\alpha]}^1（X，\hat G）:=H^1_{tw}（X，\hat G）\times_{[\alpha]}*

是 $[\阿尔法]$ -扭曲上同调属于 $X$ 系数为 $\帽子G$ 相对于 $\mathbf{c}$ .

注意

对于 $[\alpha]=0$ 微小的扭曲， $[\阿尔法]$ -扭曲上同调与普通上同调一致：

H^1_｛[\alpha]=0｝（X，\hat G）\西马克H^1_{平滑}（X，\hat G）\,.

通过在主∞束我们可以确定 $H^1_{平滑}（X，\hat G）$ 具有 $\帽子G$ -主∞束秒 $P至X$ 。特别是如果 $\帽子G$ 是一个普通人李群和 $X$ 是一个普通人光滑歧管，那么这些都是普通的 $\帽子G$ -主束s结束 $X$ 。这样就可以等效地调用 $H^1_｛tw｝（X，\hat G）$ 扭曲的主体 $\英菲$ -束; 我们会写

\帽G TwBund（X）：=H^1_{tw}（X，帽G）\,,

在这里我们离开了特色班 $[\mathbf{c}]$ 对扭曲的定义有含蓄的理解。

显式循环

我们解开了抽象定义def。，通过以下公式获得扭束的显式定义Cech双环它们在传统文学中的出现方式（参见一般参考文件以下）。

提议

让 $U（1）从G到G$ 成为组扩展属于拓扑群第条。

让 $X\英寸$ Mfd公司 $\钩右箭头$ ETop∞Grpd $=：\mathbf{H}$ 成为仿紧的拓扑流形具有良好的开盖 $\{U_i\到X\}$ .

相对于这个，每一辆旋转的摩托车 $H^2_{ETop}（X，U（1））中的[\alpha]\$ 是一个切赫上同调由函数集合给定的代表

$\{\alpha_{ijk}:U_i\cap U_j\cap U _k\到U（1）\}$

满足每四个交点的方程

$\alpha{ijk}\alpha{ikl}=\alpha_{jkl}\alfa{ijl}\,.$
我把这个循环数据称为扭曲上同调 $H^1_{[\alpha]}（X，\hat G）$ 由提供等价类第个，共个自行车s包括
1. 函数集合
  
  $\{g_{ij}:U_i\cap U_j\to\hat g\}$
  
  条件是，在每个三元组上
  
  $g{ij}\点g{jk}=g{ik}\cdot\alpha{ijk}$
  
  保持住，我们在右边注射 $\字母{i j k}$ 通过 $U（1）到G$ 进入之内 $\帽子G$
  然后在那里形成产品；
2. 受制于等价关系它标识了两个这样的cocycle数据集合 $\{g{ij}\}$ 和 $\{g'_{ij}\}$ 如果存在函数
  
  $\{h_i:U_i\to\hat G\}$
  
  和
  
  $\{\beta_{ij}:U_i\cap U_j\to\hat U（1）\}$
  
  这样的话
  
  $\β{ij}\β{jk}=\β{ik}$
  
  和
  
  $g'{ij}=hi^{-1}\,.$

证明

我们达到了标准演示属于ETop∞Grpd通过投影局部简单预升模型结构超过网站 CartSp公司然后我们计算定义（∞，1）-回拉由同伦拉回那里。

写入 $\mathbf{B}\hat G_{c}，\mathbf{B}^2 U（1）_c\in[CartSp^{op}，sSet]$ 对于这些名称的抽象对象的标准模型，可以使用简单的预升法。相应地写 $\矩阵{B}（U（1）到G）_c$ 用于的去循环交叉模块与中央扩展关联 $\帽子G到G$ .

就这一点而言特征类 $\mathbf{c}$ 由表示∞-算符

\阵列{\mathbf{B}（U（1）\to\hat G）_c&\stackrel{mathbf{c}}{\to}&\矩阵{B}（U（1）到1）_c=\矩阵{B}^2 U（1）_c\\\向下箭头^{\mathrlap{\simeq}}\\\马特布夫{B} G _ c}\,,

其中顶部水平态射是 $U（1）$ -标签。此外切赫神经良好的开放式封面 $\{U_i\到X\}$ 形成一个搭档分辨率

\emptyset\hookrightarrow C（\｛U_i \｝）\stackrel｛\simeq｝｛\to｝X

等等 $\阿尔法$ 由∞-算符

\阵列{C（{U_i\}）&\stackrel{\alpha}{\to}&\mathbf{B}^2U（1）_C\\\向下箭头^{\mathrlap{\simeq}}\\X}\,.

使用它 $[CartSp^{op}，sSet]_{proj}$ 是一个简单模型范畴这意味着同源回调问题是由普通人给出的拉回属于单纯集合秒

\阵列{\mathbf{H}^1_{[\alpha]}（X，\hat G）&\到&*\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{\alpha}}\\[CartSp^{op}，sSet]（C（\{U_i\}），\mathbf{B}（U（1）\to\hat G）_C）&\斯塔克雷尔{\mathbf{c}_*}{\到}&[CartSp^{op}，sSet]（C（\{U_i\}），\mathbf{B}^2U（1）_C）}\,.

由此产生的单纯形集的对象被视为单纯形映射 $g:C（{U_i\}）\to\mathbf{B}（U（1）\to\ hat g）_C$ 分配

克\;\;:\;\;\阵列{&&（x，j）\\&\nearrow&\Downarrow＆\searrow\\（x，i）&&\至&&（x，k）}\;\;\;\;\地图\;\;\;\;\阵列{&&\项目符号\\&｛｝^｛\mathllap｛g_｛i j｝（x）｝｝\nearrow&\向下箭头^{\alpha_{ijk}（x）}&\searrow^{\mathrlap{g{jk}（x）}}\\\子弹&&\underset{g{ik}（x）}{\to}&&\子弹}

这样的突出 $\mathbf{B}（U（1）\to\hat G）_c\to\mathbf[B}$ 生产 $\阿尔法$ .

形态也是如此。写出这些图表中的内容 $\矩阵{B}（U（1）到G）_c$ 在方程式中，我们可以找到上述公式。

属性

概述

(…)

考虑扩展 $U（1）到U（n）到PU（n）$ 的射影幺正群到酉群为所有人 $n个$ .然后直接和矩阵的求和运算

H^1_{[\alpha]}（X，P U（n_1））\次H^1_{[\alpha]}（X，P U（n_2））\至H^1_{[\alpha]}（X，P U（n_1+n_2））

张量积运算

H^1_{[\alpha_1]}（X，P U（n））\次H^1_{[\alpha_2]}（X，P U（n））\至H^1_{[\alpha_1]+[\alfa_2]}（X，P U（n_1\cdot n_2））

(…)

扭曲K理论

等价类扭曲的 $U（n）$ -固定捆 $\马特布夫{B} 单位(1)$ -扭转 $\阿尔法$ 形成模型拓扑 $\阿尔法$ -扭曲K理论。有关详细信息，请参阅此处。

工具书类

概述

引入了扭曲向量束的概念，作为扭曲K理论（一般而言等变束和orbifold K理论)英寸：

欧内斯托·卢珀西奥,伯纳多·乌里韦，第7.2节：Orbifold上的Gerbes和扭曲K-理论，通信数学。物理学。245(3): 449-489. (arXiv:数学/015039,doi:10.1007/s00220-003-1035-x)

这个切赫摩托车-扭曲矢量束的化身（实际上是由于Lupercio&Uribe 2001年，定义7.2.1)在以下方面进行了考虑：

马可·麦凯,关于扭束中连接的完整性的注记《Cahiers de Topologie et Géométrie Différentiele Cate goriques》，《Tome 44》（2003）第1期，第39-62页。(arXiv:数学/0106019,编号：CTGDC_2003__44_1_39_0)

扭曲向量束的等效特征（在Lupercio&Uribe 2001，（第2版）Prop。7.2.2)以该名称出现束gerbe模英寸：

彼得·布瓦克内特,艾伦·凯里,瓦尔盖塞·马泰,迈克尔·默里,丹尼·史蒂文森，第4节：束gerbes的K-理论和扭曲K-理论《公共数学物理》，228（2002）17-49(arXiv:hep-th/0106194,doi:10.1007/s002200200646)

讨论分裂原理对于扭曲的向量束（用gerbe模块)在中

丰田章男（Atsushi Tomoda）,关于丛gerbe模的分裂原理大阪J.数学。第44卷，第1期（2007年），231-246。(欧几里得，演讲幻灯片pdf格式)

在扭曲K理论中

正如纤维丛模型自行车K理论，扭曲向量束模型循环扭曲K理论.

将这种结构推广到非扭转需要使用向量束而不是普通的纤维丛。根据扭曲矢量束实现了全扭曲K理论

Kiyonori Gomi公司，第7页，共页扭曲K理论与有限维逼近(电话：0803.2327)

然后就有了

马克斯·卡鲁比,扭束和扭K理论《克莱数学学报》第19卷（2011年）(pdf格式)
乌尔里希·彭尼格,系数为的扭曲K理论 $C^\ast（最后一个）$ -代数, (arXiv:1103.4096)

作为2束的2段

扭曲矢量束可以理解为高阶部分属于2-矢量束与关联的圆形2束/丛生gerbes出现在中

Urs Schreiber公司,量子2-态：2-矢量束的截面在以下位置交谈更高类别及其应用，菲尔德研究所（2007）(pdf格式).

与讨论2个连接考虑因素见第4.4.3节

Urs Schreiber公司,康拉德·沃尔多夫,非阿贝尔Gerbes上的联系及其完整性(arXiv:0808.1923号)

在以下背景下的讨论主无穷束（与更高的向量束相反），见“2.3.5扭曲上同调和截面”一节，然后见“3.3.7.2扭曲1-束-扭曲K理论”一节

Urs Schreiber公司,内聚拓扑中的微分上同调.

然后，观察结果在

克里斯·罗杰斯,更高的几何量化，在高层建筑在哥廷根（2011年）(pdf幻灯片)

上次修订时间：2021年7月30日14:29:35。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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特殊概念

变体

额外结构

操作

定理

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