拓扑空间

想法

概念拓扑空间旨在公理化空间作为以下内容的集合点结合在一起（“凝聚物“）在连续的方式。大致来说拓扑在上设置“分数”规定了子集将被考虑“社区“包含的点。各种条件或公理必须满足这些邻域系统才能形成拓扑，但最重要的一点是，对于点的任意两个邻域交叉也必须是该点的附近。

许多关于空格用于数学有底层拓扑空间，例如：歧管,计划,概率空间等。

拓扑学的概念在19世纪后半叶和20世纪前20年逐渐完善，它的发展是为了捕捉点集之间映射的抽象含义。”连续的”. 直觉上弯曲,扭转或起皱连续体适用于连续映射，因为它们保留了邻域关系（在适当的意义上），但是撕裂例如，没有。

例如圆环体或甜甜圈在拓扑上等同于杯子的表面：杯子的表面可能会变形连续不断地进入圆环体的表面。抽象地说：连续的凝聚两个曲面的点集合之间是相同的。类似地，a圆圈和a广场从拓扑的角度来看，它们是等效的。

一些具有不同拓扑结构的一维形状：Mercedes-Benz符号、一条线、一个圆、一个包含5个节点的完整图形、一个立方体的骨架和一个星号（如果允许一维近似，也可以是一只海星）。另一方面，圆的拓扑结构与线段相同，其终点有一个虫洞，可以将你传送到起点；或者更平淡：圆圈是同胚的到封闭区间具有已识别终结点.

拓扑空间的概念推广到了区域设置，包括放弃所有邻里由点明确或甚至必要地支持。因此，区域设置理论有时被称为“无意义拓扑”。在这种形式下，定义是非常基本的，可以从纯粹的逻辑–作为框架–以及、和二重的，来自范畴理论其变体为拓扑理论–通过以下概念（0,1）-地形.

拓扑空间是研究的对象拓扑但是拓扑空间的类型如此之多，以至于在实践中，用弱等价性，即弱同伦等价从这个角度来看，拓扑空间也支持同伦理论.

配备额外功能的拓扑空间属性和结构形成了许多几何学例如，拓扑空间局部同构于笛卡尔空间是一个歧管.具有以下概念的拓扑空间光滑函数它是一个差异空间这两个概念的交集是光滑歧管在其中微分几何基于。等等。

定义

我们首先介绍

• 标准定义

然后列出不同的

• 等效定义.

最后我们提到正品

• 概念的变体.

标准定义

拓扑空间与它们之间的连续映射形成一个类别，通常表示顶部.

替代等效定义

定义拓扑空间有许多等效的方法。下面是一个不完整的列表：

• 一套$X（X）$用一个框架开放集（上面给出的标准定义），称为拓扑在$X（X）$.

• 一套$X（X）$带有一个闭集（开集的补集），满足对偶公理：有限并和任意交下的闭包。这有时称为上的共拓扑$X（X）$.

• 一对$（X，整数）$，其中$int \冒号P（X）\到P（X）$是一个左侧精确 余单子上动力装置属于$X（X）$（“内部操作员”）。更确切地说，这意味着所有子集$A、 B类$属于$X（X）$我们有

  $$A\子结构B\右箭头int（A）\子结构int（B），\；\；int（A）\子结构A，\；\；int（A）\subseteq int（int（A）），\；\；int（A\cap B）=int（A）\cap int（B），\；\；\；int（X）=X。$$

  开集正是$整数$。前三个条件表示$整数$是一个共闭算子.

• 一对$（X，cl）$哪里$氯$是一个正确精确 摩尔闭合满足对偶公理的算子$整数$.闭集是$氯$。这种运算符有时称为Kuratowski闭包算子（比较Kuratowski在闭子空间).

• 一套$X（X）$以及，对于每个$x中的x$，一个滤波器 $N_x（N_x）$在$X（X）$，即，居住子集的集合$X（X）$在有限交点下闭合，也向上闭合($U\在N_x中$和$U \ substeq V型$一起暗示$V \ substeq N_x$). 如果$在N_x中$，我们打电话给$U型$一邻里属于$x$这些邻域系统的剩余条件是$x\单位：U$每$在N_x中$每一个$在N_x中$，存在$V\在N_x中$这样的话$V \ substeq U$和$五$是它包含的每个点的邻域。在这个公式中，一个子集$U \ substeq X$是打开如果它是它包含的每个点的邻域。

拓扑空间的下两个定义处于更高的抽象层次，但将它们与邻域系统公式联系起来的基本思想是，我们称之为滤波器$F类$在$X（X）$ 收敛到某一点$x中的x$如果$N_x\子结构F$重点是抽象地刻画收敛性。

• 一个关系β-模; 也就是说，alax代数的莫纳德 $\β$属于超滤上（1,2）-类别 相对集合的二元关系。更明确地说，这意味着一个集合$X（X）$与一个名为“汇聚“在超滤器和满足某些公理的点之间。这表明它是一种特殊的广义多范畴，也是一种特殊的伪拓扑空间然而，这个定义与拓扑空间的传统定义的等价性需要超滤原理这是真的。

• 带有收敛关系之间网络或过滤器（不仅仅是超滤）和点，甚至在超限之间序列和点，满足适当的公理。

以下不是定义，但它们提供了表示拓扑空间的替代方法。

• 一个（拓扑）基础在一个集合上$X（X）$是一个集合$\数学{B}$的子集$X（X）$他们的结合是$X（X）$，并且每当$B、 C\in\mathcal{B}$和$x\在B\cap C中$，存在$D\in\mathcal{B}$这样的话$D \substeq B \cap C$和$x\单位：D$.

如果$\数学{B}$是基于的$X（X）$，则很容易表明$\数学{B}$是上的拓扑$X（X）$.

• 一套$X（X）$具有任何子集集合，可以被视为底基层用于拓扑。

由于任何拓扑集合的交集也是一个拓扑，因此存在一个包含给定子基的最小拓扑$\数学{S}$。它由以下构件的所有可能有限交集的所有可能并集组成$\数学{S}$。这称为拓扑生成者底基层。

变化

历史上，拓扑空间的概念（参见给出的历史参考那里)涉及邻里最初由开发费利克斯·豪斯多夫1914年，在他关于集合论和拓扑,集合论基础(蒙恩勒赫·格伦茨（Grundzüge der Mengenlehre）). Hausdorff的定义最初包含$T_2（T_2）$-分离公理（现在称为Hausdorff空间). 这个公理实际上被删除了卡齐米耶兹·库拉托夫斯基1922年，who根据闭合操作符保持有限工会.和往常一样开式集合布尔巴吉在其1940年的论文中广泛推广了这一提法（没有确定这一概念背后的作者）。

然而，在更现代的治疗中，强调范畴论方法，特别是满足同伦理论，重要的是不仅要考虑类别顶部所有拓扑空间中，但拓扑空间的方便范畴表现更好，尤其是在功能空间和笛卡尔闭合。因此许多文本与好拓扑空间（例如序列拓扑空间)和/或很好-或拓扑空间的方便范畴（例如紧生成空间)，或者直接使用$\英菲$-群胚（例如单纯集合).

另一方面拓扑理论或在构造数学，通常更适合使用区域设置而不是拓扑空间。

一些应用程序分析需要更通用的收敛空间或其他概括。

在相依型理论，也可以有拓扑空间成为将军类型而不是h组对于依赖型理论中的大多数拓扑空间$T_0（T_0）$-分离公理强制类型为h-set。

在相依型理论中

在相依型理论，给定类型$X（X）$，所有类型亚型属于$X（X）$，的动力装置属于$X（X）$，定义为函数类型

哪里$\欧米茄$是所有命题的类型带类型反射器类型系列$P： \欧米茄\vdash\mathrm{埃尔}_\欧米茄（P）\；\mathrm{type}$。在推理规则对于所有命题的类型，一个有手术$（-）_\欧米茄$这需要一个命题$P（P）$并将其转化为所有命题的类型 $P_\欧米茄：\欧米加$.

这个本地成员关系 $x英寸_A B$元素之间$x： A类$和材料亚型$B： \mathcal{P}（A）$定义为

子类型的任意并集和交集可以在相依型理论:

• 给定一种类型$一个$和一种类型$我$，有一个函数$\bigcap：（I\to\mathcal{P}（A））\to\mathcal{P}（A）$调用了$我$-编入索引的交叉，对于所有子类型家族$B： I\ to \ mathcal{P}（A）$,$\bigcap_{i:i}B（i）$定义为

  $$\左（\bigcap_{i:i}B（i）\right）（x）\coloneqq（对于所有i:i.x\in_A B（i））_\Omega$$

  为所有人$x： A类$，其中

  $$\对于所有x:A.B（x）\coloneqq\left[\prod_{x:A}B（x）\right]$$

  是通用量化的类型系列和$【T】$是命题截断$T型$.

• 给定一种类型$一个$和一种类型$我$，有一个函数$\大杯：（I\to\mathcal{P}（A））\to\mathcal{P}（A）$调用了$我$-编入索引的联盟，对于所有子类型家族$B： I\ to \ mathcal{P}（A）$,$\大杯{i:i}B（i）$定义为

  $$\左（\bigcup_{i:i}B（i）\right）（x）\coloneqq（\exists i:i.x\in_A B（i））_\Omega$$

  为所有人$x： A类$，其中

  $$\存在x:A.B（x）\coloneqq\left[\sum_{x:A}B（x）\right]$$

  是存在量词的类型族和$【T】$是命题截断$T型$.

在相依型理论然而，不能对任意类型进行量化，因为只能对类型的元素进行量化。相反，必须使用塔斯基宇宙 $（U，\mathrm{埃尔}_U)$，其中的元素$U型$代表$U型$-小型，然后量化$U型$在拓扑空间的情况下，而不是开放集由于在任意联合下是闭合的，所以开放集只在所有$U型$-小型工会$\大杯{i:\mathrm{埃尔}_U（一） }B（I）$对于$一： U型$.

给定拓扑空间$（X，O（X））$，我们定义成员身份关系元素之间$x： x（x）$和开放集合$五： O（X）$:

通过

通过定义所有命题的类型及其类型反射器，$x\单位V$始终是h-命题为所有人$x： x（x）$和$五： O（X）$.

示例

特殊情况

• 有限拓扑空间

• 离散拓扑空间

• 共离散拓扑空间

• 余有限拓扑

• 顺序拓扑专业化拓扑,斯科特拓扑

• 紧拓扑空间

• 仿紧拓扑空间,sigma-紧拓扑空间,Lindelöf拓扑空间

• 谱拓扑空间

• CW复合体

• 歧管

…

具体示例

• 空的空间

• 点空间

• Sierpinski空间

• 单工

• 圆圈

• 康托空间

• 长线,具有两个原点的线

• K-拓扑

• 射影空间,实射影空间,复射影空间

• 分类空间

…

相关概念

• 分离公理

• 精细拓扑,较粗的拓扑

• 第一可数拓扑空间,第二可数拓扑空间,可分拓扑空间,Hausdorff拓扑空间,拓扑流形

• $\西格玛$-拓扑空间

• 拓扑性质

• 区域设置,地形

• 国际原子能机构

• 邻近空间,均匀空间,同构空间

• 商拓扑,商拓扑空间

• 子空间拓扑,拓扑子空间

• 产品拓扑空间

• 有效拓扑空间,平衡空间

• 拓扑G-空间

• 过滤空间

• 连通拓扑空间,单连通拓扑空间

• 幂零拓扑空间

• 分形

• 拓扑空间上的层