n实验室张量积

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单体类别

在最初的意义上张量积是适当类型的表示对象双线性映射和多线性映射。最经典的版本是针对向量空间(模块超过领域)，更一般地说模块超过戒指，甚至更普遍代数超过交换单子。在现代语言中，这发生在多类别.
因此函子 $\注释：C\次C\到C$ 它是任何单体范畴 $C类$ 也称为张量积，因为在许多单体范畴的例子中，它是由上述意义上的张量积导出的（事实上，任何单体范畴以规范的方式构成了多类的基础）。在部分文献中（某些）阿贝尔的单模态类别甚至被称为张量范畴.
给定中的两个对象单体范畴 $（C，\有时）$ 有一个左右行动分别是一些幺半群 $A类$ ，他们的张量积 $A类$ 是其张量积的商 $C类$ 通过此操作。如果 $A类$ 是可交换的，那么这是多范畴中张量积的一个特例。
这概括为单子在双范畴中，包括函子的张量积.
最后，多范畴中的张量积和双范畴中单子上的张量产都是张量积的特例虚拟双重范畴.

定义

在多类别中

定义

对于 $M（M）$ 一多类别和 $A类$ 和 $B类$ 物体在里面 $M（M）$ ，的张量积 $注意事项B$ 定义为具有普遍的多态性 $A、 B\至A\注释B$ 在任何多态中 $A、 B至C$ 因素唯一通过 $A、 B\至A\注释B$ 通过（一元）态射 $注意事项B至C$ .

例子

$M（M）$ 是类别抗体阿贝尔群的一个多类别使用多线性映射作为多态性，我们得到了通常的阿贝尔群的张量积也就是说， $注意事项B$ 配备了来自 $A\乘以B$ （作为一套）至 $C类$ 这样，这个映射在每个参数中都是线性的（组同态）。这个张量积也可以通过

从笛卡尔积开始 $A\乘以B$ 成组地，
生成自由的它的阿贝尔群，然后
关系商 $（a_1，b）+（a_2，b）\sim（a_1+a_2，b）$ 和 $（a，b1）+（a，b2）$ .（0元关系 $（0，b）\sim 0$ 和 $（a，0）\sim 0$ 自动跟踪；如果你概括到阿贝尔幺半群第条）

注意，在这种情况下， $注意事项B$ 不是子对象或一商的笛卡尔积 $A\乘以B$ 然而，在许多其他情况下，多类别中的张量积可以作为其他已有产品的商获得；看见模的张量积如下所示。

多类别张量积的其他示例：

例子

这个格雷张量积属于严格的2类是2类多范畴中的张量积立方函子？s.同样，Sjoerd Crans的Gray范畴张量积也是如此。

例子

特别是，任何封闭类别（即使不是单体）有一个潜在的多类别。这个多范畴中的张量积的特征是伴随关系

\hom（A\otimes B，C）\cong\hom（A，\hom。

这可能是最古老的张量积概念，因为阿贝尔群和向量空间的内部空间的定义与张量积的定义不同，在直觉上是显而易见的。

而上面提到的通用属性（每个双线性映射 $A、 B至C$ 因素唯一通过 $A、 B\至A\注释B$ 通过地图 $注意事项B至C$ )定义张量积就足够了，但不足以证明它是结合的和幺正的。为此，我们需要任何多重线性映射都具有的更强的性质 $D_1、\dots、D_m、A、B、E_1、\dotes、E_n到C$ 因素唯一通过 $A、 B\至A\注释B$ 通过多线性映射 $D_1，\dots，D_m，A\otimes B，E_1，\dots，E_n\到C$ .

就异形而言

另一种方法是通过涉及的范畴间普适性定义张量积异态张量积并不总是通过附加出现的，但我们可以观察到 $hom（a \otimes b，c）\simeq het（语言a，b \rangle，c）$ 一般来说。也就是说，任何来自 $注释b$ 到 $c（c）$ 在某些类别中 $C类$ 对应于来自 $\兰格a、b$ 在里面 $C\倍C$ 到 $c（c）$ 在里面 $C类$ 换句话说，张量积是 $het（语言a，语言b，语言c）$ .

当张量积存在时，我们有一个正则het $\eta{langlea，b\rangle}\colon\langlea、b\range\toa\otimesb$ 从 $id_{a\otimesb}\在hom中（a\otIMesb，a\otemesb）$ .再给一个het $\φ\colon\langle a，b \rangle\to c$ ，我们得到了下面的交换图。

\开始{数组}{cccC}&{语言a，b\rangle}&&\\\eta{langlea，b\rangle}&\向下箭头&\覆盖{\phi}\searrow&&\\&a \otimes b&\underset{f}\dashrightarrow&c&\\end{array}

这代表了一个更通用的方法的例子，用于将多范畴中的普遍性质转化为涉及异态射的性质。

单体范畴中的模

让 $R（右）$ 成为交换环并考虑多类别 $R（右）$ 国防部属于 $R（右）$ -模块和 $R（右）$ -多线性映射。在这种情况下模的张量积 $A\otimes_R B（提示_R B）$ 属于 $R（右）$ -模块 $A类$ 和 $B类$ 可以构造为商的阿贝尔群的张量积 $时间B$ 根据行动属于 $R（右）$ ; 也就是说，

A\otimes_R B=A\otemes B/（A，R\cdot B）\sim（A\cdot R，B）。

从理论上讲，这可以构造为协调剂两张地图中的一张

A\音符R\音符B\；\rightrightarrows \；注意事项B

由……的动作给出 $R（右）$ 在 $A类$ 和上的 $B类$ .

如果 $R（右）$ 是一个领域，然后 $R（右）$ -模是向量空间；这可能是张量积空间最常见的情况，也可能是概念最初构思的情况。

这个张量积可以推广到以下情况 $R（右）$ 不可交换，只要 $A类$ 是一种权利 $R（右）$ -模块和 $B类$ 是左边的 $R（右）$ -模块。更广泛地说，如果 $R（右）$ 是一个幺半群在任何单体范畴（环是中的幺半群抗体利用其张量积），我们可以定义左和右的张量积 $R（右）$ -以类似的方式创建模块。如果 $R（右）$ 是中的交换幺半群对称单体范畴左右两侧 $R（右）$ -模块一致，那么 $A\otimes_R B（提示_R B）$ 还是一个 $R（右）$ -模块，而如果 $R（右）$ 那么是不可交换的 $A\otimes_R B（提示_R B）$ 将不再是 $R（右）$ -任何类型的模块。

并非所有多类别的张量积都是这种构造的实例。特别是抗体不是笛卡尔单体范畴中任何幺半群上模的张量积设置.阿贝尔群可以被认为是“由某物作用的集合”，但某物比幺半群更复杂：它是一种特殊的单子称为交换理论.
相反，如果 $R（右）$ 是一个可交换的在对称幺半群范畴中，有一个 $R（右）$ -张量积与上述协等式一致的模，但如果 $R（右）$ 不可交换这是不可能的。然而，请参阅下面关于虚拟双范畴张量积的部分。

关于双范畴中的模

单体范畴中非交换幺半群上左右模的张量积是单子在一个双类别的.如果 $R： x至x$ 是双类别中的单子 $B类$ ，一个权利 $R（右）$ -模块是1个单元 $A： y到x$ 由执行操作 $R（右）$ ，左边一个 $R（右）$ -模块是1个单元 $B： x到z$ 由执行操作 $R（右）$ ，并且它们的张量积（如果存在）是一个1单元 $y到z$ 由类似的协等式给出。将单体范畴视为一个单对象双范畴，这恢复了上述定义。

例如，考虑双类别 $V形垫$ 属于 $五$ -有价值的矩阵对于某些单体范畴 $五$ .中的monad $V型垫$ 是一个 $五$ -丰富的类别 $A类$ ，一个 $（A、I）$ -双模是函子 $A至V$ ，一个 $（I，A）$ -双模是函子 $^{op}\到V$ ，以及它们的张量乘积 $V型垫$ 是一个称为函子的张量积。它也可以定义为共同（coend）.

在虚拟双重类别中

A类虚拟双重范畴是多类别和双类别（实际上是双重类别). 除其他外，它有对象、1-细胞和“多2-细胞”。我们让读者在这样的上下文中定义1-细胞张量积的概念，类似于多类别中对象的张量积。一个多范畴可以看作是一个单目标虚双范畴，因此这推广了多范畴中张量积的概念。

另一方面，在任何双范畴（实际上，任何双范畴）中，都有一个虚拟的双范畴，其对象是单子，其1-细胞是双模，而这个虚拟双范畴中的张量积是上述定义的双范畴中模的张量乘。因此，虚双重范畴中的张量积包含了上述张量积的所有概念。

示例

	同伦	上同调	同源性
	$[S^n，-]$	$[-，A]$	$（-）\注释A$
范畴理论	协变的高阶模	逆变的高阶模	张量积
同调代数	提取	提取	托尔
丰富范畴理论	结束	结束	共同（coend）
同伦理论	导出hom空间 $\马特布{R} 霍姆（序号，-）$	自行车 $\马特布{R} 霍姆（-，A）$	导出张量积 $（-）\音符^{\mathbb{L}}A$

工具书类

Tensor产品由哈斯勒·惠特尼在里面

哈斯勒·惠特尼,阿贝尔群的张量积《杜克数学杂志》4:3（1938），495-528。国防部.

课堂讲稿：

基思·康拉德,Tensor产品[第一部分：pdf格式,pdf格式; 第二部分：pdf格式,pdf格式]

有关

看那里。

对于范畴论的张量积的形式化参见

单体范畴和张量范畴

张量积的形式化相依线性类型理论:

米切尔·莱利,合成稳定同伦理论的簇同伦类型理论，博士论文（2022）[doi:10.14418/wes01.3.139,爱尔兰：3269,pdf格式]

上次修订时间：2024年1月25日18:41:55。请参阅历史获取所有贡献的列表。