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定义

A类超晶格是一个偏序集那个有连接任意的子集（尤其是连接-半格). 由伴随函子定理对于偏序集，超格必然具有所有满足还有，a也是完整晶格然而超格同态保留连接，但不一定满足。此外，a大的具有所有小的连接不必具有所有满足，但仍可以被视为大型超晶格（即使它甚至可能不是晶格）。

Dually，一个充气是一个偏序集满足、和充气同态是一个保持所有满足的单调函数。

A类框架（对偶到a区域设置)是一个超格，其中有限集合分布在任意连接上。（框架同态保留所有连接和有限满足。）

这个类别 SupLat公司超格和超格同态的张量积代表“双线性映射”，即在每个变量中分别保留联接的函数。在这个张量积下，超格的范畴是恒星自治范畴其中双重化对象超晶格是对象的对偶吗$电视$属于真实值.A型半群在这个单体范畴是一个量子的，包括框架作为量子是幂等和幺正的特例。它们上面的模块是量子数上的模（具有局部模特例的量子模，用于格罗森迪克下降理论的局部模拟Joyal-Tierney乔亚尔·蒂尔尼84).

偏序集上的自由上格

有一个健忘函子

这有一个左伴随

任何偏序集在哪里$P（P）$，超晶格$F（P）$是下降的偏序集$P（P）$，按包含顺序排列。这里有一个下降偏序集的$P（P）$是一个子集$S\子结构P$使得

这组所有落水管$P（P）$，说吧$\帽子{P}$，是按包含排序的，它是一个超格：任何downset的并集都是downset。有一个嵌入$P（P）$在里面$\帽子{P}$发送每个$在p中$至其主要的下降$\{s\在P:\；s\le P\}中$.（给一个落差就是给一个反链因此，自由超晶格有时用反链等价地描述。）

为了理解偏序集上自由超格的这种描述丰富范畴理论是有用的。预订单与$布尔$-丰富的类别，其中$布尔$是单体范畴有两个对象$F类$,$T型$和一个非平凡态射$F表示T$其单体结构为“and”。使用这个想法，偏序集的下行$P（P）$以一对一的方式与$布尔$-富足函子 $f\colon P^{op}\到Bool$，就像预升关于一个范畴$C类$是函子$f\冒号C^｛op｝\设置$.嵌入$y\冒号P\到{P}$发送每个$在p中$它的主要落差是$布尔$-的丰富版本Yoneda嵌入因此，正如预升类别关于一个范畴$C类$是自由共完成类别在$C类$,$\帽子{P}$免费cocomplete吗$布尔$-上的丰富类别$P（P）$.但是一个完整的$布尔$-碰巧是偏序集的富集范畴与超格是一样的。

超格的范畴

超格的范畴是一元的偏序集的范畴和每个代数结构$\xi:\hat{P}\到P$与Yoneda嵌入 $y： 到{P}$这使得超格与总类别在中$布尔$-丰富感觉。注意，代数结构映射是左伴随的，是共连续的，因此是超格态射。这使得monad成为交换单子因此根据一般理论，$SupLat公司$是一个对称单体闭范畴其中内部hom$霍姆（P，Q）$在两个超格之间是余连续映射的超格$P至Q$，与左伴随词相同$P至Q$根据偏序集版本伴随函子定理.

$SupLat公司$也是单子的结束$设置$，其中单子$P： 设置\为设置$是协变的动力装置函子。因此，它是一个完整的Barr-exact类别. The克莱斯利范畴这个单子相当于相对集合和关系的类别。因此$相对$可以被认为是自由超晶格。

如上所述对称单调闭范畴 $SupLat公司$是一个恒星自治范畴星星在哪里-内卷化采用超晶格$P（P）$到相反的偏序集$P^{op}$这部分说明超晶格也是充气这一事实在任何地形（其中我们使用内部协变幂对象函子来形成适当的单子）。因此张量积$注释Q$可以形成超晶格$Hom（P，Q^{op}）^{op{$.等效性的存在

（它接受一个态射$f： P至Q$到$g^{op}:Q^{op{\到P^{opneneneep$，其中$克$是右邻接的$（f）$)也意味着共线可以作为适当的极限来形成，这些极限反过来又通过上的一元性逐点形成$设置$.

工具书类

• 安德烈·乔亚尔,迈尔斯·蒂尔尼,格罗森迪克伽罗瓦理论的推广，内存。阿默尔。数学。Soc.51（1984），第309号，vii+71页(ISBN:978-1-4704-0722-3)