子类别

定义

给定类别 $C类$，a子类别 $D类$包含的集合的子集合物体属于$C类$和的集合的子集合态射属于$C类$使得：

• 如果同构$f:x\到y$在中$D类$，那么也是$x个$和$年$.

• 如果$f:x\到y$和$g:y\到z$在中$D类$，那么混合成的 $g f:x\到z$.

• 如果$x个$在中$D类$那么就是同一态射 $1_x（1_x）$.

这些条件确保$D类$是一个类别$D\挂钩箭头C$是一个函子此外，我们说$D类$是…

• A类完整子范畴如果有$x个$和$年$在里面$D类$，每个态射$f:x\到y$在里面$C类$也在$D类$（即包含函子 $D\hook向右箭头C$是满的).

• A类充满子范畴如果有$x个$在里面$D类$和任何同构$f： x\连续$在里面$C类$，两者都是$年$和$（f）$也在$D类$.

• A类宽子范畴如果的每个对象$C类$也是的对象$D类$.

符合等效原则的变体

就像设置 $X（X）$可以用同构类来标识一元论的函数到$X（X）$，类别的子类别$C类$可以用monic的同构类来识别仿函数进入之内$C类$.函子很容易被验证为monic，如果它是忠实的和对象上的内射。这可以推广到严格2类.

然而，这个概念违反了等效原则因为对象上的内射指的是对象的相等性。这就提出了一个问题：什么是好的定义子对象在一个2类符合等效原则? 这一页的作者认为有多种这样的定义。两个明显的例子是：

• 形态$f： A\至B$在2类中$K$是单声道如果是的话充分而忠实，即。$K（X，A）至K（X、B）$对所有人都是完全忠诚的$X（X）$.A型1-子对象属于$B类$是一个等效一类1-单态$B类$、和1-子类别是中的1-子对象$猫$.
• 同样，$（f）$是2声道如果$K（X，A）至K（X、B）$对所有人都忠诚$X（X）$.A型2-子对象属于$B类$是2-单态的等价类$B类$、和2-子类别是中的双子对象$猫$.

显而易见的概括（至少，当你开始思考$k个$-满意感)每个态射都是3元态射，而0元态射是等价的。（注意，此编号与贝兹和舒尔曼.）同样有一个明显的概括$k个$-任何情况下的单态性$n个$-类别.

毫无疑问，如上所述，1-子对象是2-类中子对象的一个好概念。特别是，任何完全忠实函子 $C至D$在里面$猫$是相等的包含完整子范畴 $C'\至D$（此处$C’$是的完整图像$C类$). 此外，在被视为局部离散的2-范畴的1-范畴中，1-单态正是通常的单态.

事实上，任何忠实函子同样等价于包含一个（非完全）子范畴，但在这种情况下，同域和域都必须被修改。2个子类是否都应该被称为“子类”，这一点更具争议性；例如组的“子类别”设置? 还要注意，在离散类别是忠诚的，所以终端类别有一类适当的不等价2-子范畴，类似地，局部离散2-范畴中的每个态射都是2-一元的。然而，2-群之间的态射核是2-子对象，而不是1-子对象，同样，对于组（被视为单对象类别）。这激发了术语“2-子对象”的动机，以明确它与我们习惯于在1-类别中使用的子对象的类型有一些关系，但也有一些显著的泛化。

2范畴中的其他类型的态射有一些被认为是“子对象”的说法，包括伪monic的形态和保守的形态。伪单态变体可能值得一个名称，例如（2,1）-子类别，因为函子是伪monic的，如果它是忠实的（2个子范畴），并且它的诱导函子介于基础广群s是完全忠实的（一个子类）。另请参见材料、结构、财产.

显示的类别

描述子类别的另一种方法是显示的类别满足某些特性。这类似于定义子集通过其特征函数，它允许定义子集，而不需要全局成员身份的概念。

A类子类别类别的$C类$是显示的类别$D类$结束$C类$这样所有$D（c）$和$D_f（A，B）$是命题。我们可以通过使用格罗森迪克建筑属于$D类$。所显示类别中的标识和组成与包含在标识和组成下的子类别完全对应。

我们还可以通过添加更多条件来捕获子类别的上述风味$D类$.我们说$D类$是…

• A类完整子范畴如果有的话$D_f（A、B）$都是真的。
• A类宽子范畴如果有的话$D（c）$都是真的。
• A类充满子范畴如果$D类$是一个异构化.

相关概念

• 范畴的嵌入