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想法

一结构集合论是一个集合论，它描述了只有结构数学。一结构表示法是试图正式描述当一个特定的集合理论结构的从这个意义上说。矛盾的是，这是通过要求集合的元素具有不内部结构。

半形式定义

下面是对集合论何时是结构化的尝试性形式化定义。这应该被视为极其试探性的。

集合的概念

首先，为了给所有集合论下一个定义，我们需要知道：什么是集合论？也许没有理论可以本质上被称为集合论；只有当我们将其研究对象中的一些视为“集合”，而将其他对象视为“元素”时，我们才会做出这样的区分。因此，我们做出以下定义。

我们将集合和元素的概念分为类型和谓词，以允许通过一种或另一种方法或组合对其建模的理论发生变化。这里有一些例子。

• 采埃孚是一种单型理论；为了清楚起见，我们将一种类型中的对象称为“ZF集合”。ZF-集的类型是潜在集的类型，我们使用谓词$集合（-）$成为$\顶部$（每个势集都是一个集）。对于这样一组$一$，潜在元素的类型$一$必须再次是ZF-集的类型，并且元素谓词只是$in_A（x）等于（x\ in A）$.

• ZF可以通过存在尿元素或原子。表示这一点的一种方法是使用两种类型，即ZF-集的类型和ZF-原子的类型。我们再次将ZF-集的类型作为潜在集的类型，并使用集合谓词$集合（-）$是$\顶部$.潜在元素的类型$一$现在是和类型（ZF-sets+ZF-atoms），成员谓词再次是的普通成员谓词$一$.

• 原子可以通过另一种方式添加到ZF中：我们只维护一种类型，比如“ZF-objects”的类型，但我们添加了一个“sethood”谓词，用于区分集合和原子。现在势集的类型当然是ZF-对象的类型，而谓词$集合（-）$是ZF-方法谓词。

• 在NBG公司或迈克科尔斯集合类理论中，有两种可能的“集合概念”：集合和类。形式化的方法取决于集合类理论的表述方式。例如，声明NBG的一种方法是使用单一类型的类，定义一个类$一$成为NBG集合$A\在B中$为了一些课程$B类$。在这种情况下，集合谓词（对于集合的“NBG-set”概念）将为$集合（A）等于（B中存在B。A）$.

• 在SEAR公司，这是一个依赖类型理论，我们将势集的类型作为SEAR集的类型，并使用集合谓词$套（-）$再次出现$\顶部$.每套$一$当然了$\马特布{E} _A（A）$是的SEAR元素的类型$一$（与ZF相比，这些类型现在在很大程度上依赖于$一$.）元素谓词是$\顶部$，因为的SEAR元素类型中的每个对象$一$是的元素$一$根据定义（即，在SEAR元素中是一个类型断言）。

• 在SEAR的变体中没有原始等式（因此也在SEAR+ε?)，电位集的类型是“配备内解释的SEAR集”（a相依和类型）。刚毛谓词$套（A、R）$然后断言$R（右）$是一个等价的前关系，与普通SEAR中的其他结构相同。

• 自ETCS系统是一阶理论的扩展类别，可以用几种方式来表述。

  • 如果ETCS有两种类型（对象和箭头），则潜在集的类型是对象的类型（即ETCS集），集合谓词是$\顶部$.每组潜在元素的类型$一$是箭头的类型（即ETCS功能），以及$英寸_A（x）$当目标$x个$是$一$它的来源是终端对象.

  • 如果ETCS与一种类型，则势集的类型为该类型，sethood谓词为$集合（A）等于（A=s（A））$，潜在元素的类型当然也是单一类型，而元素谓词与两种类型的版本相同。

  • 如果ETCS用相关类型（类型$hom（A、B）$对于每对对象$一$和$B类$)，则潜在集合的类型为对象的类型，集合谓词为$\顶部$，潜在元素的类型$一$是$hom（1，A）$，元素谓词为$\顶部$.

结构演示

现在我们做出以下定义。

方程式(1)表示任何集合的所有元素$一$用公式完全无法区分$\瓦尔斐$这是为了近似结构集合论的思想：$一$除了作为元素的身份之外，没有独立的结构（因此无法相互区分）$一$当然，如果没有某种方法来区分集合中的元素，我们就无法进行数学运算，但结构集理论的观点是，这只能通过施加外部结构来实现在集合，如函数和关系，而不是通过元素本身的内在属性。这就是对$\瓦尔斐$.

在我们继续之前，首先让我们看看ZF不结构上呈现。让$A=\{\emptyset，\{\emptyset\}\}$是von Nemuann数字$2$，并让$\varphi\equiv（x=\emptyset）$。显然有一些$x\在A中$这样的话$\瓦尔斐$holds和其他使得它失败，所以(1)为false。此外，$\瓦尔斐$满足条件：$一$根本不会发生。出于同样的原因，NBG和MK没有在结构上呈现。

现在，为什么我们不能在结构集理论中做同样的事情？考虑SEAR，并让$一$是包含两个不同元素的集合$一$和$a’$通过类比我们在采埃孚所做的，我们想$\varphi\equiv（x=a）$，但在SEAR中，这违反了要求的条件：$一$还必须是的元素$\马特布{E} _A（A）$，所以$一$出现在其他地方$\瓦尔斐$比$x个$（即，在$一$). 事实上，我们可以显示：

出于类似原因，我们有：

然而，如果ETCS是使用一个类别的两排序或一排序定义编写的，那么它就不会在结构上显示出来。例如，我们可以采用以下公式

对于变量$（f）$和$z（z）$类型为“箭头”。此公式不包含$一$总之，它的真值（对于一个固定的$（f）$和$z（z）$)不独立于$x个$这就是为什么我们定义了“结构呈现”而不是“结构”——呈现很重要。

然而，很容易修改ETCS的两排序或一排序版本，使其在结构上呈现：我们只需要用源集和目标集修饰函数上的等式关系，用组合发生的集修饰函数的组合操作。那是，而不是$f=克$我们写作$等于（f、g、A、B）$（只有在以下情况下才能保持$s（f）=s（g）=A$和$t（f）=t（g）=B$)，而不是$g \圈f$我们写作$g \circ_B f$哪里$t（f）=s（g）=B$现在，与依赖类型版本相同的参数也适用。

最好有一个定义，根据该定义，ETCS的任何“呈现”都是结构化的；直觉上，如果一个理论在某种意义上与结构上呈现的理论“等价”，那么它应该是结构性的。然而，我还没有提出“等价”的概念，包括ETCS的上述修改，但排除了ETCS和BZC（或ZFC和ETCS+R或SEARC）之间的等价。

结构展示的后果

从我们对结构表示的定义中，我们可以推导出结构集理论的一些其他标准性质。第一个是“不同集合的元素不能进行相等比较”

第二个是“集合的元素本身不是集合”

请注意，如果我们想解释“$是_A$“断言给定元素是给定的集合（而不仅仅是以某种方式与一个集合相关）。