n实验室分层空间

上下文

拓扑结构

几何图形

（退出路径预订单）
给定分解 $（f）$ 的拓扑空间 $X（X）$ 进入之内有联系的子空间（以下用小写字母表示，如 $秒$ )退出路径预订单 $\mathsf{退出}（f）$ 属于 $（f）$ 是预先订购子空间的 $秒$ 在里面 $（f）$ 带有生成箭头 $s\至r$ 每当拓扑闭包属于 $第页$ 相交 $秒$ 非私人的。

定义

A类分层 $（f）$ 在 $X（X）$ 是的分解 $X（X）$ 这样的话 $\mathsf{退出}（f）$ （事务处理。)是实际的偏序集.

分层中的子空间也称为地层. The相反的偏序集 $\mathsf{退出}（f）^{\mathrm{op}}$ 也被称为入口路径偏序集并用表示 $\mathsf{Entr}（f）$ .

备注

（特征图）
给定分层 $（f）$ 在 $X（X）$ ，有一张地图 $X\to\mathrm{退出}（f）$ 映射点 $x\英寸$ 到 $s\in\mathrm{退出}（f）$ ，有时称为特征图属于 $（f）$ ，和（滥用符号）表示为 $f\colon X\to\mathrm{退出}（f）$ .

特征图（Rmk。)不一定是连续的通常（除非分层局部有限，参见Rmk以下）；然而，它在前映像任何有限的满的退出路径偏序集的子集合。通过构造其特征图来构造分层通常很方便。

例子

（CW复合物的分层）
以下是1-和2-球体的分层：

通常，CW复合体的分层 $X（X）$ 通过将地层视为 $n个$ -的单元格 $X（X）$ （针对每个 $n个$ )，但使用 $（n-1）$ -骨架 $X_{n-1}$ 远离的。

例子

（Poset分层）
让 $X（X）$ 成为拓扑空间, $P（P）$ 一偏序集，以及 $f\冒号X\至P$ 一连续映射（换句话说， $（f）$ 是一个 $P（P）$ -分层 $X（X）$ ). 这决定了分层 $\数学{c}（f）$ 属于 $X（X）$ （在Def。上面）谁的地层是连接的组件的前图像 $f^{-1}（x）$ , $x\单位：P$ .地图 $（f）$ 通过特征图唯一的因子 $\mathrm{c}（f）\colon X\to\mathsf{Exit}（\mathrm}（f））$ 由保守的偏序集映射 $\mathsf{Exit}（\mathrm{c}（f））\到P$ （这种（特征的，保守的）因子分解本质上是唯一的。）

该示例表明，任何poset-stracking都决定了一个独特的分层。然而，许多poset-statification可能以这种方式确定相同的分层。

例子

（过滤的空格）任何滤波拓扑空间 $X_0\子集X_1\子集。。。\子集X_n$ 其中每个 $X _ i$ 是一个闭子空间属于 $X_{i+1}$ 定义了连续映射 $X到[n]=（0到1到…到n）$ 映射中的点 $X_{i+1}\设置减去X_{i}$ 到 $我$ 从而通过Exp。作为这个例子的一个具体例子，任何细胞复合体以这种方式定义“细胞分层”。

例子

（琐碎分层）
每拓扑空间 $U型$ 是微不足道的分层（在Def的意义上。)地层是连接的组件属于 $U型$ .

备注

（特征图的连续性）
让 $（X，f）$ 根据Def，是一个分层空间。一种说法是分层 $（f）$ 如果每个地层都是“局部有限的” $秒$ 属于 $（f）$ 有一个开放式社区在里面 $X（X）$ 它只包含有限多个地层。（如果 $（X，f）$ 满足边界条件（Rmk。然后，等效地， $（X，f）$ 是局部有限的，当每个点 $x中的x$ 有一个开放式社区只与有限多个地层相交。）如果 $（f）$ 局部有限，则特征映射 $f\colon X\to\mathsf{退出}（f）$ （定义。)是一个连续映射.

备注

（特征图的开放性）
让 $（X，f）$ 是分层空间（定义。). 一种说法是分层 $（f）$ 满足“前沿条件”（或者，作为形容词，它是“前沿可建造的”），如果，对于任何两个地层 $s、第页$ ，的拓扑闭包 $\上划线r$ 相交 $秒$ 那么就非私人了 $s \子集\上划线r$ .分层 $（f）$ 如果特征映射是边界可构造的 $f\colon X\to\mathsf{退出}（f）$ （定义。)是一个开放地图.

一般来说，假设分层是局部有限的和前沿可构造的是非常合理的。

分层的类别

定义

A类分层地图 $F\冒号（X，F）\到（Y，g）$ 分层空间（定义。)是一个连续映射 $F\冒号X\至Y$ 哪些因素通过特征图 $（f）$ 和 $克$ （定义。)由一个（然后必然是唯一的）映射表示，由 $\mathsf{Exit}（F）\colon\mathsf}退出}（F）\to\mathsf退出}$ .

分层空间及其映射（定义。)形成a类别 $\mathbf{Strat}$ 分层。退出路径偏序集的构造（Trm。)产生a函子 $\mathsf{Exit}:\mathbf{Strat}\to\mathbf{Pos}$ (二重的，使用 $（-）^{\mathrm{op}}:\mathbf{Pos}\to\mathbf{Pos}$ 得到入口路径偏序集函子 $\mathsf{Entr}\colon\mathbf{Strat}\to\mathbf{Pos}$ ). 函子有一个右逆，如下所示。

定义

每一个装腔作势的人 $P（P）$ 有一个分类分层 $\并行P\并行$ （也称为分层实现属于 $P（P）$ )，谁的潜在的拓扑空间是分类空间 $\left|P\右|$ 属于 $P（P）$ （即拓扑实现的单纯神经属于 $P（P）$ )和其特征图（定义。)是地图吗 $\left|P\ right|\到P$ 那张地图 $\left|P^{\leq x}\right|\setminuse\left|P^{\ltx}\right|$ 到 $x个$ （这里是完整的子标题 $P^{\leqx}=\{y\leqX}$ 和 $P^{\ltx}=\{y\ltx\}$ 属于 $P（P）$ 是“较低”的响应。元素的“严格下闭包” $x个$ 在里面 $P（P）$ ). 此外，给定偏序集映射 $F\冒号P\到Q$ ，其神经的实现产生分层图 ${\parallel F\parallel}\冒号{\par平行P\parallelize}\到{\paralel Q\parallallel}$ 。我们获得了函子 ${\parallel-\parallel}\colon\mathbf{Pos}\to\mathbf{Strat}$ .

每个分类分层都是前沿可构造的（Rmk。).

进一步从术语上区分分层图是有意义的，如下所示。

术语

（分层地图的类型）
分层地图 $F\冒号（X，F）\到（Y，g）$ （定义。)称为：

一基质化如果 $F\冒号X\至Y$ 是一个拓扑子空间和 $\mathsf{退出}（F）$ 是保守的; 此外，如果， $X=g^{-1}\circ\mathsf{退出}（F）\circf（X）$ 然后有人说减音是可建造的;
一粗化如果 $F\冒号X\至Y$ 是一个同胚（为了强调相反的过程，还可以调用 $F类$ 一精炼);
一分层同胚（或分层iso)如果 $F\冒号X\至Y$ 是一个同胚属于拓扑空间和 $\mathsf{退出}（F）$ 是一个同构属于偏序集.
一分层束if点 $x\英寸$ 对于 $秒$ 一层 $（年，克）$ 承认开放式街区 $U_x\子集$ 这样，直到分层iso， $F类$ 限制于 $F^{-1}（U_x）$ 投影 $U_x\次f_x\到U_x$ （参见Def。)对于某些“纤维”分层 $（F^{-1}（x），F_x）$ .

备注

（可施工束）。前面对分层束的定义相当薄弱，在实践中，人们经常会发现满足更强条件的束，例如可构造性：可建造的分层束是一种束，在束同构之前，可以根据与基本范畴相关的功能信息进行分类（参见定义。)它的分层基础空间（参见。2015年Ayala Francis Rozenblyum第6.3节).

基本类别

就像空间一样基本的 $\英菲$ -群胚，分层空间也有“基本范畴”. 然而套因为空格现在由播放偏序集：下表说明了此类比。（下表作了进一步说明。）

基本概念	$\英菲$ -概念	演示
套 $\模拟当量$ $(0,0)$ -类别	∞-集 $\模拟当量$ 空格	设置w.e。
偏序集 $\模拟当量$ $(0,1)$ -类别	∞-偏序集 $\模拟当量$ 分层空间	带有w.e的偏序集。
类别 $=$ $(1,1)$ -类别	∞-类别	类别与w.e。

在表格中，“ $\英菲$ -X”直观地理解为（∞，∞）-范畴它可以容纳保守函子到X，其中X可以表示“set”、“poset”或“category”。更一般地说，X可以是（n，r）-类别对于 $n、 r\lt\infty（参考）$ .“弱等价集”是指具有弱等价的偏序集，其中每个箭头都是弱等价的。左栏与中间栏的关系是“ $\英菲$ -化函子”（它简单地包括 $1$ -结构到 $\英菲$ -结构），中间和右侧列由“∞-定位函子“（这在某种意义上应该是一种弱等价）。

为了使上述结果准确，必须使用足够方便的分层方法。我们描述了两种简单的构建/呈现方式基本的 $\英菲$ -偏序集如下所示。

对于锥形分层

定义

给定分层 $（X，f）$ 和 $（年，克）$ 他们的产品是分层 $X\乘以Y$ 带特征图 $f\倍g$ .

定义

给定分层 $（X，f）$ ，的分层（开放）锥 $（\mathrm{cone}（X），\mathrm{cone{（f））$ 将拓扑开锥分层 $\mathrm{cone}（X）=X\次[0,1）/X\次\{0\}$ 按产品分类 $（X，f）\倍（0,1）$ 远离圆锥体点 $\{0\}$ （这里是开放区间 $(0,1)$ 通常分层），并通过设置圆锥体点 $\{0\}$ 成为自己的阶层。

定义

A类圆锥形的分层 $（X，f）$ 是一个分层，其中每个点 $x中的x$ 具有作为分层产品的邻域（即开放子层） $U次（\mathrm{cone}（Z），\mathrm{cone{（l））$ 对于某些“链接”分层 $（Z，l）$ 这样的话 $x\单位为U\次\{0\}$ .

每一个锥形分层都是可边界构造的。

定义

给定锥形分层 $（X，f）$ ，然后卢里构件退出路径 $\英菲$ -类别 $\数学{E}\mathrm{xit}（f）$ 作为一个准范畴： $k个$ -拟范畴的单形 $\数学{E}\mathrm{xit}（f）$ 是精确分层的地图吗 $\平行[k]\平行\到（X，f）$ ，其中 $[k] =（0到1到…到k）$ .

备注

一个双重定义了入口通道 $\英菲$ -类别 $\数学{E}\mathrm{ntr}（f）$ 具有 $k个$ -简单 $\平行于（X，f）$ .

术语

安退出路径在分层空间中 $（X，f）$ 是分层地图 $f:\parallel[1]\平行\到（X，f）$ ; 我们说 $（f）$ 开始 $f（0）$ 和末端在 $f（1）$ （双重地，我们说 $（f）$ 是一个入口通道开始于 $f（1）$ 结束于 $f（0）$ ).

结构从“分层空间”转换为“ $\英菲$ -上表中的偏序集：保守函子 $\mathcal{E}\mathrm{xit}（f）\to\mathsf{Exit}（f）$ 获取对象 $\平行[0]\平行\到X$ 到地层 $s\in\mathsf{退出}（f）$ 他们的形象所在。

对于常规分层

定义

分层 $（X，f）$ 是有规律的如果它允许改进 $\与（X，f）平行$ 通过某些偏序集的分层实现 $P（P）$ .

定义

给定规则分层 $（X，f）$ 和精致 $F:\parallel P\parallel\到（X，F）$ ，可以构建显示的退出路径 $\英菲$ -类别 $\数学{PE}\mathrm{xit}（f）$ 作为与底层偏序集具有弱等价性的偏序集 $P（P）$ 和弱等价 $\mathsf{Exit}（F）^{-1}（\mathrm{id}）$ .

（表明该结构在适当意义上独立于 $P（P）$ 需要更多的工作…）

备注

定义的一个特殊情况是要求用规则细胞复合体（或单纯复合体）来细化，而不是对偏序集的分层进行分类，在这种情况下，人们会提到可制成细胞的（分别为。三角形的)分层。

该结构在上表中的“分层空间”和“弱等价偏序集”之间转换。由于空间是琐碎的分层空间，因此专门用于“空间”和“弱等价集”之间的转换。

工具书类

在中引入了纯拓扑分层集的概念

弗兰克·奎因,同伦分层集，J.Amer。数学。Soc.1（1988），441-499。MR 89g:57050

光滑分层空间的概念由

H.Whitney，分析变量的局部性质《可微和组合拓扑》（S.Cairns编），普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1965年，第205-244页。报告32:5924
R.Thom，系综与形态层次，公牛。阿默尔。数学。Soc.75（1969），240-282。磁共振39:970
J.马瑟，关于拓扑稳定性的注记哈佛大学剑桥分校，（1970年）

局部锥状分层空间在

L.Siebenmann，分层集上同胚的变形，注释。数学。Helv公司。47 (1971), 123–165. 磁共振47:7752

这些都是特殊情况(奎因的定义).

讨论微分算子关于分层空间

R.B.梅尔罗斯，伪微分算子、角点和奇异极限《国际数学家大会论文集》，第一卷，第二卷（京都，1990年），217-234，《数学》。Soc公司。
皮埃尔·阿尔宾（Pierre Albin）、埃里克·莱希特南（Eric Leichtnam）、拉夫·马佐奥（Rafe Mazzeo）、保罗·皮亚扎（Paolo Piazza）、，Witt空间上的签名包，I.索引类(arXiv:0906.1568v2)

另请参阅

布鲁斯·休斯，分层空间的几何拓扑(pdf格式)

讨论基本范畴（Whitney‑）分层空间的

乔纳森·伍尔夫,横截同伦理论[arXiv:0910.3322]
马库斯·巴纳尔,分层空间的拓扑不变量，施普林格数学专著，施普林格（2000）[doi:10.1007/3-540-38587-8]

A类同伦假说对于分层空间，在中进行了讨论

大卫·阿亚拉,约翰·弗兰西斯,尼克·罗森布利姆,分层同伦假说,arXiv公司
彼得·海恩,关于分层空间的同伦理论(arXiv：1811.01119)

前者基于

大卫·阿亚拉（David Ayala）、约翰·弗朗西斯（John Francis）和田中弘（Hiro Lee Tanaka）。分层空间上的局部结构《数学进展》307（2017）：903-1028。

早期关于退出路径的论文是

大卫·特鲁曼,出口通道和可建造的烟囱，合成数学。145 (2009), 1504–1532

正定空间与圆锥度条件，以及基本构造 $\英菲$ -圆锥分层偏序集作为一个拟范畴，最早出现于：

雅各布·卢里,高等代数2012年，特别是附录A(pdf格式)

分层空间用于为以下灰色类别开发图形演算：

本杰明·泰勒·休曼，灰色类别的表面图，博士论文。

分层空间的同伦理论在西尔万·杜托:

西尔万·杜托,分层空间同伦,Arxiv版本.

上次修订时间：2024年2月28日13:00:44。请参阅历史获取所有贡献的列表。