n实验室稳定上同伦

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上同调

上同调

特殊和一般类型

特殊概念

变体

额外结构

操作

定理

球体

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想法

这个广义上同调理论哪个是代表由球形光谱也称为稳定上同伦，因为它是稳定同伦理论的版本上同伦.

等价地，它是上同调的二重的概念到稳定同伦同调理论.

由蓬特里亚金-托姆定理这相当于装框架的 配体上同调理论.

属性

作为代数K-理论𝔽 1\马特布{F} _1个

以下称为Barratt-Pridy-Quillen定理:

提议

(稳定上同伦是K理论FinSet（FinSet）)

让𝒞=\数学｛C｝= FinSet（FinSet）成为骨架属于有限集合，视为置换范畴.然后这个交换范畴的K理论

K（K）(FinSet（FinSet）)≃𝕊K（FinSet）\；\模拟\；\mathbb{S}

由球形光谱，因此是稳定的上同伦。

这是由于Barratt-Polidy巴拉特-普里迪72在Segal 74，提案。3.5。另请参阅骄傲73,格拉斯曼13.

备注

(稳定上同伦作为代数K理论超过包含一个元素的字段)

请注意，对于F类F类一领域，的置换范畴的K-理论第个，共个模块类别 F类国防部F型号是它的吗代数K理论 K（K）F类K F公司（请参见这个例子)

K（K）F类≃K（K）(F类国防部).K F \；\模拟\；K（F型）\,.

现在(指出)有限集合可以被视为“具有一个元素的字段”𝔽 1\马特布{F} _1个（请参见那里):

𝔽 1国防部=FinSet（FinSet） */\马特布{F} _1个国防部\;=\;FinSet ^{\ast/}

如果理解这一点，例如这么说稳定上同伦是的代数K-理论包含一个元素的字段:

𝕊≃K（K）𝔽 1.\mathbb{S}\；\模拟\；K\mathbb公司{F} _1个\,.

以下内容突出显示了这一观点：Deitmar 06，第2页;断头台06;Mahanta马汉塔17;古德威利·邓达斯*麦卡锡13，II 1.2;莫拉瓦,康奈斯和康萨尼16并在中完全明确Chu，Lorscheid&Santhanam第10页，Thm。5.9和Beardsley&Nakamura 2024年，科罗拉多州2.25. (Chu等人。也概括为等变稳定上同伦和等变K理论.)

(等变的)上同调代表
光谱		等变上同调
的指向 *\ast公司		上同调
属于分类空间 B类G公司B G公司
(等变的)
普通上同调		HZ（赫兹）Borel等方差
H（H） G公司 •(*)≃H（H） •(B类G公司,ℤ)H^\bullet_G（\ast）\simeq H^\bullet（B G，\mathbb{Z}）
(等变的)
复K理论		库克大学表示环
库克大学 G公司(*)≃R（右） ℂ(G公司)KU_G（\ast）\simeq R_{\mathbb{C}}（G）		Atiyah-Segal完备定理
R（右）(G公司)≃库克大学 G公司(*)⟶完整。库克大学 G公司(*)^≃库克大学(B类G公司)R（G）\simeq KU_G（\ast）\overset{\text{comple.}}{\longrightarrow}\widehat{KU_G（\sast）}\simeq KU（B G）
(等变的)
复同基上同调		密歇根州立大学密歇根州立大学 G公司(*)MUG（\ast）（_G）复余序上同调的完备定理
密歇根州立大学 G公司(*)⟶完整。密歇根州立大学 G公司(*)^≃密歇根州立大学(B类G公司)MU_G（\ast）\覆盖{\text{comple.}}{\longrightarrow}\widehat{MU_G
(等变的)
代数K理论		K（K）𝔽 第页K\mathbb公司{F} （p）表示环
(K（K）𝔽 第页) G公司(*)≃R（右） 第页(G公司)（K\mathbb{F} （p）)_G（\ast）\simeq R_p（G）		整流器完成定理
R（右） 𝔽 第页(G公司)≃K（K）(𝔽 第页) G公司(*)⟶完整。(K（K）𝔽 第页) G公司(*)^≃整流器73K（K）𝔽 第页(B类G公司)R_{mathbb{F} （p）}（G） \simeq K（\mathbb{F} （p）)_G（\ast）\覆盖{\text{comple.}}{\longrightarrow}\widehat{（K\mathbb{F} （p）)_G（\ast）}\！\！\重叠{\text{<a href=“https://ncatlab.org/nlab/show/Rector+完成+定理“>矩形73{F} （p）（B和G）
(等变的)
稳定上同伦		K（K）𝔽 1≃西格尔74K\mathbb公司{F} _1个\overset{\text{Segal 74{/a>}}{\simeq} S公司燃烧侧环
𝕊 G公司(*)≃A类(G公司)\马特布{S} G（_G）（\ast）\simeq A（G）		Segal-Carlsson完备定理
A类(G公司)≃西格尔71𝕊 G公司(*)⟶完整。𝕊 G公司(*)^≃卡尔森84𝕊(B类G公司)A（G）\重叠{\text{<A href=“https://ncatlab.org/nlab/show/Burnside+环+是+等变+稳定+上同伦+的+点“>Segal 71</a>}}{\simeq}\mathbb{S} G（_G）（\ast）\覆盖{\text{comple.}}{\longrightarrow}\widehat{\mathbb{S} G（_G）（\ast）}\！\！\重叠{\text{<a href=“https://ncatlab.org/nlab/show/Segal-Carlsson+完成+定理“>Carlsson 84</a>}}{\simeq}\！\！\

第三个稳定的框架博德主义集团

这个球面的第三稳定同伦群是循环群属于秩序24:

π 三 秒 ≃ ℤ/24 [小时 ℍ] ↔ [1]\阵列{\pi_3^s&\simeq&\mathbb{Z}/24\\[h_{\mathbb{h}}]&\leftrightarrow&[1]}

其中发电机[1]∈ℤ/24[1] \in\mathbb{Z}/24由表示四元数Hopf纤维 S公司 7⟶小时 ℍS公司 4S^7\覆盖{h_{\mathbb{h}}}{\longrightarrow}S^4.

在Pontrjagin-Thom同构，识别球面的稳定同伦群使用硼环 Ω • 前\欧米茄^{fr}_\子弹属于固定框架歧管（参见制造商)，此生成器由三维球面（其左内变量框架由与李群 SU（2） ≃\模拟当量 Sp（1）)

π 三 秒 ≃ Ω 三 前 [小时 ℍ] ↔ [S公司 三].\阵列{\pi_3^s&\simeq&\Omega_3^{fr}\\[h_{\mathbb{h}}]&\leftrightarrow&[S^3]\,.}

此外，这种关系24[S公司 三]≃02 4[S^3]\，\simeq\，0由补充第页，共24页开口球里面这个 K3公司-歧管(MO:a/44885/381,MO:a/218053/381).

Kahn-Priddy定理

这个Kahn-Priddy定理刻画了稳定上同伦和上同调具有系数在无限中实射影空间 ℝP（P） ∞≃B类ℤ/2\马特布{R} P（P）^\infty\simeq B\mathbb{Z}/2.

Boardman同态

到普通上同调

考虑一下单元同构

𝕊⟶H（H）ℤ\mathbb{S}\右箭头H\mathbb}

来自球形光谱到艾伦伯格-麦克莱恩谱的整数。对于任何拓扑空间/光谱使用此态射诱导的后合成Boardman同态属于上同调群（事实上为交换环)

(1)b条 n个:π n个(X（X）)⟶H（H） n个(X（X）,ℤ)b^n个\;\冒号\；\圆周率（X）\长向右箭头H^n（X，\mathbb{Z}）

来自稳定上同伦属于X（X）X（X）以度为单位n个n个至其普通上同调以度为单位n个n个.

提议

（边界为(钴-)内核属于Boardman同态从稳定上同伦到积分上同调)

如果X（X）X（X）是一个CW光谱哪一个

  1. 是(米−1)（m-1）-（m-1）-连接

  2. 尺寸的d日∈ℕd\in\mathbb{N}

然后

  1. 这个内核的Boardman同态 b条 n个b^n个 (1)对于

    米≤n个≤d日−1m\leq n \leq d-1

    是一个ρ¯ d日−n个\上划线{\rho}{d-n}-扭转群:

    ρ¯ d日−n个克尔(b条 n个)≃0\上划线{\rho}{d-n}ker（b^n）\；\模拟量\；0

  2. 这个辅核的Boardman同态 b条 n个b^n个 (1)对于

    米≤n个≤d日−2m\leq n \leq d-2

    是一个ρ¯ d日−n个−1\上划线｛\rho｝_｛d-n-1｝-扭转群:

    ρ¯ d日−n个−1焦化装置(b条 n个)≃0\上划线{\rho}{d-n-1}焦化器（b^n）；\模拟\；0

哪里

ρ¯ 我≔{1 | 我≤1 ∏j个=1我经验(π j个(𝕊)) | 否则\上划线{\rho}{i}\;\冒号\；\左\{\阵列{1&\转换&i\leq 1\\\欠置{j=1}{i}{\prod}exp\左（\pi_j\左（\mathbb{S}\右）\右侧）&\垂直&\文本{否则}}\对。

是产品的指数的球面的稳定同伦群在里面积极的度≤我\leq i型.

(Arlettaz 04，定理1.2)

拓扑模块形式

写入𝕊\mathbb{S}对于球形光谱和tmf（tmf）对于连接谱属于拓扑模形式.

自tmf公司是一个E-∞环形谱，有一个本质上唯一的同态E-∞环形光谱

𝕊⟶e（电子） tmf（tmf）tmf（tmf）.\mathbb{S}\重叠{e_{tmf}}{\longrightarrow}tmf（tmf）\,.

被视为广义同调-理论，这叫做Hurewicz同态，或者更确切地说Boardman同态对于tmf（tmf）tmf（tmf）

提议

（Boardman同态tmf（tmf）tmf（tmf）是6连接的）

这个tmf中的Boardman同态

𝕊⟶e（电子） tmf（tmf）tmf（tmf）\mathbb｛S｝\重叠{e_{tmf}}{\longrightarrow}tmf（tmf）

诱导同构在稳定同伦群（因此从球面的稳定同伦群到tmf的稳定同伦群），直到6度：

π •≤6(𝕊)⟶≃π •≤6(e（电子） tmf（tmf）)π •≤6(tmf（tmf）).\pi_{\bullet\leq 6}（\mathbb{S}）\欠置{\simeq}{\pi{\bullet\leq6}（e_{tmf}）}{\longrightarrow}\pi{\bullet\leq6}（tmf）\,.

(Hopkins 02，道具。4.6,DFHH 14，第13章)

的味道
上同伦
上同调理论		上同调
(满的或理性的)		等变上同调
(满的或理性的)
非阿贝尔上同调上同伦
（全部或理性的)		等变上同伦
扭曲上同调
(满的或理性的)		扭曲上同伦扭曲等变上同伦
稳定上同调
(满的或理性的)		稳定上同伦等变稳定上同伦
微分上同调微分同伦等变微分上同伦
持久上同调持久同伦持久等变上同伦



口味博尔迪姆同源理论/配体上同调理论，他们的代表 托姆谱和钴基环:

博德主义理论\;M（B，f）(硼中毒):

相关博德主义理论：

等变bordis理论:

全局等变bordis理论:

代数：

工具书类

稳定上同伦的概念如下：

关于稳定余同伦as的讨论装框架的 配体上同调理论:

关于稳定余同伦的讨论李群:

  • C.T.拉伸，阿贝尔群的稳定上同伦和协边，《剑桥哲学学会数学论文集》，第90卷，1981年9月2日，第273-278页(文件编号：10.1017/S0305004100058734)

  • 丸山贤一，e（电子）e（电子）-李群稳定上同伦群的不变量大阪J.数学。第25卷第3期（1988年），581-589(欧几里德：ohm/1200780982)

  • Sławomir Nowak，紧空间的稳定上同伦群《数学基础》180（2003），99-137(doi:10.4064/fm180-2-1)

稳定上同伦的判定置换范畴的K-理论属于有限集合是由于

另请参阅：

稳定上同伦的最终解释为代数K理论超过包含一个元素的字段在以下文本中进行了详述：

另请参见

这个Kahn-Priddy定理是由于

关于稳定余同伦as的讨论装框架的 配体上同调理论:

与的关系β-环在中进行了讨论

  • E.Vallejo，从Burnside环到表示函子的多项式运算J.Pure应用。《代数》，65（1990），第163-190页。

  • E.Vallejo，稳定上同伦上的多项式运算，手稿数学。，67（1990），第345–365页

  • E.Vallejo，一个发电机上的自由β环，J.Pure Appl。《代数》，86（1993），第95-108页。

  • 断头台06

另请参见

讨论Boardman同态从稳定上同伦开始

一次电梯Seiberg-Writed不变量到中的类圆形群-等变稳定上同伦在中进行了讨论

打开(稳定的)有动力的 上同伦属于计划（作为动力同伦类的地图到有动力的 泰特球体):

上次修订时间：2024年4月9日11:06:50。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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