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想法

在一个局部∞连通（∞，1）拓扑具有完全忠实 反像（例如内聚（∞，1）-拓扑)，额外的左伴随 $\Pi公司$到反像 $光盘$的全局节 几何态射 $\伽马射线$诱导高级模态 $\esh\coloneqq光盘\circ\Pi$，它发送一个对象可以被视为等同于其几何实现或其基本∞-广群（请参阅局部∞连通（∞，1）拓扑的基本∞-广群和基于内聚路径的形状∞-广群). 无论哪种情况$\网格X$可能被认为是形状属于$X（X）$因此，人们可以调用$\欧洲标准化组织$这个形状形态。它形成一个伴随情态使用平坦模态 $\flat\coloneqq光盘\circ\Gamma$.

定义

在类型理论中

我们假设依赖型理论用清晰的术语判断$a： ：a$除了通常的（内聚）类型和术语判断之外$A\；\mathrm{type}$和$a： a类$以及上下文判断$\Xi\vert\Gamma\；\数学{ctx}$哪里$\Xi（希）$是一个清晰的术语判断列表，并且$\伽马射线$是一个内聚词判断列表。清晰类型是上下文中的类型$\Xi\vert（）$，其中$()$是衔接词判断的空列表。此外，我们还假设依赖型理论具有典型的平等和判断平等以及以下内容衔接公理:

有一种清脆的类型$\Xi\vert（）\vdash R\；\mathrm{type}$这样，只要有一种清脆的类型$\Xi\vert（）\vdash A\；\mathrm｛类型｝$,$A类$是离散的当且仅当函数$\马特姆{常量}_{A，R}:A\到（R\到A）$是类型的等价。

从这里开始，在类型理论中可以定义两种不同的形状形态概念，即严格形状模态，它使用判断平等在中计算规则和唯一性规则、和弱形状模态，使用典型的平等在中计算规则和唯一性规则。当应用于类型时，它们会导致严格形状类型和弱形状类型分别是。这个自然扣除严格和弱形状类型的规则如下所示：

• 弱形状和严格形状类型的形成规则：

• 弱形状类型和严格形状类型的引入规则：

• 弱形状和严格形状类型的消除规则：

• 弱形状和严格形状类型的计算规则：

…

形状形态是一个示例高电感型其中指出形状形态属于某种类型$A类$ $\网格（A）$是本地化 $L_{R^1}（A）$属于$A类$在函数中$\mathrm{const}:A\到（R\到A）$，相当于$\矩阵{const}'：（1\到A）\到（R\到A）$弱形状模式主要用于内聚客观类型理论，而严格的形状模式通常用于衔接类型理论判断平等，例如内聚马丁·洛夫型理论(内聚同伦型理论或内聚高等观测类型理论.

属性

保存一些$\英菲$-纤维制品

形状操作定义为保存 有限的 同伦积和小型同伦性结肠炎（作为一名左伴随)但它并没有保留一般性同伦极限，甚至不是全部同伦拉回:

然而，形状形态毕竟保留了一些有用的同伦纤维产品类别：

概述

以下参数如下dcct，厚度。3.8.19，随后与迈克·舒尔曼图取自第21春夏，道具。3.38.

更具体的案例

下面的讨论是关于拓扑/平滑形状形态与循环(同伦纤维制品（共个点），共个映射堆栈之间去循环某些堆栈拓扑群这是一个在构建和讨论等变分类空间对于等变主丛–尽管传统上不表示为关于形状形态下的行为。以下观点来自21春夏虽然硬结果本身要么是经典的（本质上Conner&Floyd 1964，引理31.8对于紧凑型$\伽马射线$)或者，一般来说，由于Uribe&Lück 2014年（请注意，以下内容与交易所的注释不同”$G公司$”$\左右箭头$“$\伽马射线$”! 对于我们这里，$G公司$表示等方差组和$\伽马射线$这个结构组.)

对于以下主要结果的公式Uribe&Lück 2014年根据内聚同伦理论，我们使用连续微分学

事实上，它保留了映射空间（参见介绍21春夏).

相对形状和因子分解系统

通常，给定（∞，1）-拓扑 $\矩阵{H}$（或仅为1-地形)配备有幂等单子 $\esh\colon\mathbf{H}\to\mathbf{H}$（a）（高级）模态/闭合算子)哪个可以保存（∞，1）-拉回覆盖其中的对象基本形象，可以调用态射 $f\冒号X\到Y$在里面$\矩阵{H}$ $\欧洲标准化组织$-已关闭如果单元-图表

是一个（∞，1）-回拉图表。这些$\欧洲标准化组织$-闭态射形成正交分解系统，左半部分是发送到的变形等价物在里面$\矩阵{H}$.

如果是同态$f： X到Y$因素纳入$f=克\circ小时$和$小时$是一个$\欧洲标准化组织$-那么等价性$克$是$\欧洲标准化组织$-封闭；这是通过使用$\欧洲标准化组织$是幂等的。

$\圆周率$-闭态射是正交分解系统(在（∞，1）范畴中)因此，如前所述限制,作文,收回并满足左消去属性。

通过内聚路径∞-广群的形状

请参阅基于内聚路径的形状∞-广群.

示例

内部局部常数$\英菲$-烟囱

在一个内聚（∞，1）-拓扑 $\数学函数｛H｝$带有∞-粘性场地根据定义基本∞-广群-函子$\欧洲标准化组织$满足上述假设（本例给出了该条目的名称）。这个$\欧洲标准化组织$-一些封闭态射$X\in\mathbf{H}$被规范地标识为局部常数∞-堆栈结束$X（X）$通信实际上就是所谓的范畴伽罗瓦理论.

形式上的神话形态

如果微分内聚（∞，1）-topos $\马特布夫{高}_{th}$，的德拉姆空间函子$\我$满足上述假设。这个$\我$-闭态射正是形式étale形态.

相关条目

• 形状,（∞，1）-拓扑的形状

• 基于内聚路径的形状∞-广群

• 反射子宇宙

• 微分内聚余切丛

工具书类

概述

原始讨论：

• Urs Schreiber公司,佐兰·什科达:§7.4.2第页，共页：分类对称[arXiv:1004.2472]

• Urs Schreiber公司，第3.4.5节：内聚拓扑中的微分上同调(arXiv:1310.7930)

• 迈克·舒尔曼，第9.7节：实内聚同伦型理论中的Brouwer不动点定理，《计算机科学中的数学结构》第28卷（6）（2018）：856-941(arXiv公司：1509.07584,doi:10.1017/S0960129517000147)

在Smooth∞Grpd中

对于以下情况光滑∞Grpd:

打开基于内聚路径∞-群胚的形状:

• 德米特里·巴甫洛夫,通过一致性的结构化布朗代表性, 2014 (pdf格式,pdf格式)

• 丹尼尔·贝威克·埃文斯,佩德罗·博阿维达·布里托,德米特里·巴甫洛夫,无限重空间的分类(arXiv公司：1912.10544)

讨论球形的,étale群胚一般来说，étale∞-群胚:

• 大卫·卡切迪,关于高阶Orbifold的同伦类型和Haefliger分类空间(arXiv:1504.02394)