n实验室方案

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想法

A类方案是一个空间那个本地看起来特别简单环形空间：一个仿射格式。这可以在以下类别中正式化局部环空间或在仿射格式的集合预升范畴内Aff公司Aff公司.

计划的概念起源于代数几何它在哪里，因为格罗腾迪克这是一个核心概念。

然而，这种想法

方案是一个局部同构于仿射空间的环空间。

更一般，不必局限于Zarisk拓扑中的局部性和仿射空间的概念形式对偶第个，共个戒指。如果采用另一个次正则Grothendieck拓扑τ\陶在Aff公司Aff公司然后一个人谈论τ\陶-局部仿射空间更一般地说，人们可以选择另一种“本地模型类别”位置位置更换Aff公司Aff公司以及合适的拓扑，并将其上的带轮视为广义意义上的局部仿射空间。类别位置位置有时可以用特殊类型的环空间来表示，而粘合有时可以在环空间范畴内以真正的（经典的，而不是格罗森迪克的）拓扑进行。

例如，平滑歧管是局部同构于“光滑仿射空间”的环空间ℝ n个\矩阵{R}^n，具有标准的光滑结构。

方案的标准概念代数几何因此，可以将其理解为广义方案自然出现的，例如也出现在微分几何，英寸合成微分几何以及许多其他主题。

定义

在本文中，“环”的意思是“带单位的交换环”。

作为局部环形空间

A类方案是一个局部环空间 (X（X）,𝒪 X（X）)（X，\mathcal）{O} X（_X）)这样，对于每一点xx属于X（X）X（X），有一个开放子集U型U型属于X（X）X（X）具有x∈U型x\单位：U这样本地环形空间(U型,𝒪 X（X）|U型)（U，\mathcal）{O}（O）_{十} | U）与仿射格式也就是说，一个可交换的环形谱 规格A类=(|规格A类|,𝒪 规格A类)规格A=（|Spec A|，\mathcal{O}（O）_{规格A}）.

在这里𝒪 X（X）|U型\马查尔{O}（O）_{十} | U表示限制𝒪 X（X）\马查尔{O}（O）_{X}（X）到U型U型也就是说，捆我 *(𝒪 X（X）)i^{*}（\mathcal{O}（O）_{十} ），其中我:U型↪X（X）i： U \钩右箭头X是包含图，并且我 *我^{*}是相应的反像滑轮类函子X（X）X（X）上的滑轮类别U型U型.

A类方案的态射 （f）:(X（X）,𝒪 X（X）)→(Y（Y）,𝒪 Y（Y）)f：（X，\mathcal）{O} X（_X）)\到（Y，\mathcal{O} 是（_Y）)是底层的形态局部环空间s.这意味着它是环形空间这样，对于每个点x∈X（X）x中的x的诱导映射局部环秒

(𝒪 Y（Y）) （f）(x)→(𝒪 X（X）) x（\mathcal{O} 是（_Y）)_{f（x）}到（mathcal{O} X（_X）)_x个

是地方的（因为它将最大理想转化为最大理想）。请参见点函子.

作为滑轮CRing（CRing） 操作CRing^{op}

定义

（k-环，k-函子，仿射k-方案）

对于戒指k个k个这个类别k个k个-环，表示为M（M） k个,M_k，被定义为交换结合的范畴k个k个-单位代数。这相当于类别下 k个↓CRing（CRing）k\向下箭头CRing共对(R（右）,（f）:k个→R（右）)（R，f:k\到R）哪里R（右）R（右）是一个交换环，并且（f）（f）是一个环同态。

这个类别k个k个-函子，表示为有限公司磅/平方英寸(M（M） k个)co Psh（M_k）定义为协变函子的范畴M（M） k个→设置设置（_k）.

健忘函子O（运行） k个:R（右）↦R（右）_k:R\mapsto R（_k）发送k个k个-基础集的环称为仿射线.

对于完全忠实的反变函子

服务提供商 k个:{M（M） k个 → 有限公司磅/平方英寸(M（M） k个) A类 ↦ M（M） k个(A类,−)Sp_k:\开始{cases}M_k&&到&co Psh（M_k）\\A&\mapsto&M_k（A，-）\结束{cases}

服务提供商 k个A类速度A（_k）（和每个同构函子）称为仿射的k个k个-方案.服务提供商 k个设置（_k）限制类别之间的等价性k个k个-环和范畴事务附表 k个事务处理（_k）仿射的k个k个-方案。我们认为这个类别是M（M） k个 操作_k^{op}.函子服务提供商 k个设置（_k）使用限制和标量扩展进行交换（见下文）。因此Aff公司附表 k个事务处理（_k）在限制和基础更改下关闭。

请注意，仿射线O（运行） k个确认（_k）上述定义与M（M） k个(k个[t吨],−)M_k（k[t]，-）等等O（运行） k个确认（_k）是仿射的k个k个-方案。

A类上的函数 k个k个-函子X（X）X（X）被定义为对象（f）∈O（运行）(X（X）):=有限公司磅/平方英寸(M（M） k个)(X（X）,O（运行） k个)f在O（X）中：=co Psh（M_k）（X，O_k）.O（运行）(X（X）)O（X）是一个k个k个-戒指，自然入内X（X）X（X）通过分量加法和乘法。

备注

的类别k个k个-函子有极限。

终端对象是e（电子）:R（右）↦{∅}e： R\mapsto\{\varnothing\}。产品和回调是按组件计算的。

备注

对于ϕ:k个→k个′\φ：k\至k'“基本更改”函子(−)⊗ k个k个′:有限公司磅/平方英寸(M（M） k个)→有限公司磅/平方英寸(M（M） k个′)（-）\otimes_k k'：co Psh（M_k）\到co Psh诱发因素(−)∘ϕ:M（M） k个→M（M） k个′（-）\circ\phi:M_k\到M_{k'}通过后合成给出ϕ\φ被称为标量扩展.

现在我们来定义不一定是仿射k方案

对于k个k个-函子X（X）∈coPsh公司(M（M） k个)X\单位：coPsh（M_k）和E类⊆O（运行）(X（X）)E \子结构O（X）上的一组函数X（X）X（X），我们定义

V（V）(E类)(R（右）):={x∈X（X）(R（右）)|∀（f）∈E类,（f）(x)=0}V（E）（R）：=x（R）|\中的x对于E中的所有f，f（x）=0\}

和

D类(E类)(R（右）):={x∈X（X）(R（右）)|（f）∈E类,这个（f）(x)生成的单位理想R（右）}D（E）（R）：=\{x\ in x（R）|f\ in E，\；\text{the}\；f（x）\；\text{生成}\的单位理想；红色}

对于转换u个:Y（Y）→X（X）u： Y \到X属于k个k个-函子和Z轴⊆X（X）Z\子结构X我们定义的子开发商

u个 −1(Z轴)(R（右）):={年∈Y（Y）(R（右）)|u个(年)∈Z轴(R（右）)}u^{-1}（Z）（R）：=\{y\在y（R）|u（y）\在Z（R）\}中

副主办方Y（Y）⊆X（X）Y\子结构X被称为打开子控件相应的。封闭子担保人如果对于每个转换u个:T型→X（X）u： T \到X我们有u个 −1(Y（Y）)u^{-1}（Y）形式为V（V）(E类)V（E）相应的。D类(E类)D（E）.

定义

A类k个k个-函子X（X）X（X）称为k个k个-方案如果以下两个条件成立：

  1. (X（X）X（X）是一捆Zarisk Grothendieck拓扑在M（M） k个 操作_k^{op})对于所有人k个k个-戒指和所有家族(（f） 我) 我（f）i这样的话R（右）=∑ 我R（右）（f） 我R=\sum_i R f _i我们有：如果所有x 我∈R（右）[（f） 我 −1]R[f_i^{-1}]中的x_i这样x 我x _ i和x j个x _ j与…重合X（X）(R（右）[（f） 我 −1（f） j个 −1])X（R[f_i^{-1}f_j^{-1{]）有一种独特的x∈X（X）(R（右）)x（R）中的x映射到x 我x _ i.

  2. (X（X）X（X）有一个Zariski开放式仿射浸没的封面k个k个-方案）存在一个小家庭(U型 我) 我（U_i）_i开仿射子的X（X）X（X）使得对于所有字段K（K）∈M（M） k个K\单位M_K我们有这个X（X）(K（K）)=⋃ 我U型 我(K（K）)X（K）=\bigcup_i U_i（K）.

备注

的类别k个k个-方案在有限极限下是封闭的，形成开子因子和闭子因子，以及标量扩张。作为Zariski滑轮类别的一个子类别，它也在小副产品下闭合。

两种方法之间的转换

这个关于格式的形态的基本定理?声称有一个完全忠实函子来自类别附表附表的计划磅/平方英寸(Aff公司)≡磅/平方英寸(CRing（CRing） 操作)Psh（Aff）\等于Psh（CRing^{op}），类别预应力关于仿射方案的范畴，或等价于交换环范畴的相反，由

(X（X）,𝒪 X（X）)↦附表((|规格(−)|,𝒪 规格(−)),(X（X）,𝒪 X（X）))（X，\mathcal）{O} X（_X）)\mapsto Sch（（|规范（-）|，\mathcal{O}（O）_{规格（-）}），（X，\mathcal{O} X（_X）))

这就确定了具有这些预升的方案CRing（CRing） 操作{}^{op}那个

  1. 是滑轮关于Zariski格罗森迪克拓扑在CRing（CRing） 操作CRing^{op};
  2. 有一个盖Zarisk-open沉浸仿射格式s属于预升类别Aff公司事务.

方案的点函数方法的标准参考是Demazure-Gabrel公司.

备注

不同的作者对潜在的集合理论问题采取不同的方法。精明的读者会注意到，我们认为全部的仿函数CRing（CRing）→设置CRing\设置–这不是一个本地小类别。现场的滑轮类别也不是CRing（CRing） 操作呼叫^｛op｝其Zarisk拓扑实际上是Grothendieck拓扑。考虑到这些集合理论问题，这种方法在概念上似乎是最简单的。或者，人们可以自由选择：对于一些合适的小类戒指，由自己决定，例如有限呈现环，可以考虑在该类别上局部建模的方案。

Demazure-Gabriel走中间路线宇宙：假设两个宇宙U型U型和V（V）V（V）具有ℕ∈U型∈V（V）\mathbb{N}\以U表示\以V表示，其中一个是“小环”（属于U型U型)和一类集合（属于V（V）V（V）)我们考虑函子M（M）→设置M\设置从小环（称为“模型”）到集（不一定小）。他们指出，使用宇宙的方法实际上只是一种方便，可以省去很多：我们可以在标准的Bernays-Gödel框架内工作，假设模型具有足够的包容性，可以容纳各种标准交换代数结构（例如商、局部化、完备化）但仍然是一个小类别。然而，由于他们希望利用模型类别中的直接限制，因此他们选择与宇宙合作。

属性

该类计划允许小副产物.

它不承认共限定词:https://mathoverflow.net/questions/9961/colimits-of-schemes/23966#23966

该类计划允许有限极限.

它不承认无限乘积:https://mathsoverflow.net/questions/9134/方案的任意乘积不存在，是吗/65534#65534

(…)

概括

在代数几何这是一个基本的研究对象，自从格罗腾迪克。概括如下相关方案（它们只是切片类别 附表/S公司附表/S)，相对非对易方案中的非对易代数几何A.Rosenberg介绍了使用成对伴随函子，的广义方案尼古拉·杜洛夫，的代数堆栈第个，共个Deligne-Mumford公司和Artin，Kapranov的dg计划导出的方案第个，共个雅各布·卢里，越高代数堆栈第个，共个收件人–Vezzosi、几乎方案（Ofer Gabber和Lorenzo Ramero）、正式方案（Cartier–Grothendieck）、，局部仿射空间在fpqc、fppf或étale拓扑（Grothendieck）中，代数空间等。另请参阅广义方案,单纯形方案,超方案,半环格式.

底层拓扑空间与底层语言环境

雅各布·卢里认为底层locale视角优于底层拓扑空间视角，请参见局部仿射结构（∞，1）-拓扑方案.

工具书类

术语：EGA公司prescheme表示我们所称的scheme，scheme表示所称的分离式方案.

概括：单纯形方案,超级方案,半环格式,非对易方案,导出的方案

其他相关条目包括

标准专著

  • 罗宾·哈特肖恩，代数几何，施普林格

  • 刘青，代数几何和算术曲线，592页，牛津大学出版社2002

  • D.Eisenbud、J.Harris、，方案的几何结构斯普林格大学。数学中的文本。

  • 大卫·曼福德,品种和方案红皮书

  • Amnon Neeman，代数和解析几何，伦敦数学。Soc.Lec公司。票据系列345

  • 威廉·富尔顿，交叉理论，斯普林格1984

  • 乌尔里希·戈茨（Ulrich Görtz）、托尔斯滕·威霍恩（Torsten Wedhorn）、，代数几何I.带示例和练习的方案，数学高级讲座。维埃格+特伯纳，威斯巴登，2010年。viii+615页。Springerlink书籍

  • 米歇尔·德马祖,皮埃尔·加布里埃尔,代数群，第1卷（后来的卷从未出现），梅森和西，巴黎，1970年（主要是点函数法）

其他参考文献

数学溢出：方案的任意产物不存在,通用点上的模式-规则模型,模式的类别构造,when-is-an-algebraic-space-a方案,is-an-代数-空间-群-时间-主题,各种广义代数几何之间的连接toen-vaquie-durov

类别：代数几何

上次修订时间：2024年5月30日15:06:32。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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