目录

想法

概念表示与……密切相关，甚至相同行动：某些对象$C类$有一个概念作文是代表在某个对象上$D类$它有一个组成的概念。在这种普遍性中表示只是另一个词函子（或可能$\英菲$-函子). 但实际上这个词表示通常用于表象理论，我们试图在那里学习$C类$就其在$D类$，其中$D类$通常比较熟悉。

最具体地说，我们研究了组通过a的线性自同态向量空间; 也就是说，$C类$是（去循环）一组$D类$是Vect公司然而，目前表征理论中的典型工具涉及对群的线性表征概念的广泛推广；例如，一项研究D模块上的作用广群秒$G公司//_｛广告｝G$诸如此类。这可能被认为是研究在∞-向量空间第条。

历史观念（带有教育色彩）

代表群体

a的概念组大约在1832年，Galois和其他人在工作中已经使用了“操作符”的定义，但直到40年后Cayley写道：

一个群体是由其成员的组成规律来定义的。

（请参阅关于抽象群概念圣安德鲁斯数学史档案中。）组以及行为良好的函数集开始被很好地理解和使用，例如在克莱因的几何工作中。凯利证明了每个有限群都可以实现为一组置换。表征理论就是从这一点发展而来的。

可以通过将抽象群映射为一组置换或可逆矩阵来研究它，因为这样可以将数学（线性代数）的一个领域的技术引入另一个领域，即抽象群理论。弗罗贝尼乌斯、伯恩赛德、舒尔和后来的鲍尔充分利用了这一点。

这是一个主题：你拿一个抽象代数的东西，通过把它映射到一个你认为你更了解的类似结构来研究它！

这也使用了从群论开始的另一个基本思想。早期的先驱者认为群体是“操作员”的群体，但这意味着他们必须对某些东西进行操作。为了使事情更明确，让我们$克$如果是有限群，那么我们就知道存在同态$克$进入之内$S_n（_n）$.（我们可以$n个$作为群的阶，并使用Cayley定理，但我们不假设是这种情况。）如果我们看这样一个同态，我们会得到一个行动属于$克$在上$n个$-元素集。

类似地，如果我们从$克$变成一组可逆矩阵$Gl_n（K）$，用于$K（K）$一个场，比方说，然后我们得到$克$在向量空间上，$K^n公司$.

正如你所料，我们可以用几种有用的方式对这个基本概念进行概括和分类。

我们可以考虑$克$作为广群，$\马特布夫{B} G公司$，（去循环属于$克$)，然后线性表示/动作将是$\马特布夫{B} G公司$到$Vect公司$，向量空间的类别$K（K）$.我们可以替换$克$通过一般广群或一般范畴，但其表示形式与中该“形状”的图相同$Vect公司$.我们可以替换$Vect公司$通过另一个更一般的类别或更高的类别，但如果我们将图表视为表示，也许我们不应该完全忘记，术语“表示”确实意味着一个过程，在此过程中，类别中可能抽象的“语法”对象获得了“语义”意义，作为某种类型的“操作”，反过来，它可以有效地用于获取有关固有结构的信息。

一般定义

因此，在相当一般的形式中，我们有一个表示类别的$C类$在一个类别中$D类$只是一个函子 $F\冒号C\至D$。类似地同态表示之间（“扭结子“）只是一个自然转化在函子之间，当它们被认为是表示时。因此，我们有一个表示类别.

当下列一个或多个条件适用时，最常用术语“表示”：

• $D类$是类别$k个$-Vect公司某些向量空间的领域 $k个$; 然后有一个$k个$-线性表示.
• $C类$是去循环的组; 然后有一个群表示法在里面$D类$这样的表示给了我们一个特定的对象$V（V）$属于$D类$; 我们说我们有一个代表$克$在$V（V）$.
• $C类$是自由类别在上颤动; 然后有一个颤动表示.

古典主义表象理论群的表示是关于（拓扑）向量空间上（有限、拓扑、光滑等）群的表示，即当前两个条件适用时。

还有丰富的，$k个$-线性和其他版本，因此可以讨论李代数,顶点算子代数等。另请参阅表象理论.

示例

• 平凡表示

• 线性表示,置换表示

• 正规表示法,交错表

• 伴随表示,伴随表示

• 诱导表示,创造表象

• 李代数表示

• 伽罗瓦表示

• 广群表示

相关概念

• 箭袋品种

• 行动,∞-作用

• 模块,∞-模块

• 表示,∞-表示

  • 忠实代表

  • 实际的代表

  • 2-表示

  • 星光再现

    • C-星代数的表示

  • 表示球

• 性格

• 单粒子表示

• 等变同伦理论,整体等变同伦理论

• 等变稳定同伦理论,全局等变稳定同伦理论

工具书类

另请参阅参考资料表象理论.