n实验室可表示函子

上下文

范畴理论

米田引理

由米田引理，任何此类转换 $\θ$ （同构与否）由元素唯一决定 $\F（c）中的xi\$ 如上所述，对象 $c（c）$ 被称为表示对象（或者经常，通用对象)的 $F类$ 、和元素 $\十一$ 被称为通用元件对于 $F类$ 。同样，它来自米田引理那一对 $（c，\xi）$ 是唯一确定的，直到唯一同构。

根据Yoneda引理的证明，可表示性正是指：给定任何对象 $x个$ 属于 $C$ 和任何元素 $\F（x）中的α$ ，存在唯一的态射 $f： x\到c$ 这样，函数 $F（F）$ 带有通用元件 $\F（c）中的xi\$ 到 $\F（x）中的α$ 这样一个干巴巴的公式并没有传达出这一概念的非凡力量，只有通过无数的例子来说明这一点。

抽象地说，是一种预兆 $F类$ 当且仅当它允许相对于的左伴随函子 $1\colon\mathbf 1\设置$ 来自终端类别，选择终端对象在里面设置.表示对象是通过在唯一对象处计算左相对伴随来给出的 $\mathbf 1型$ .

在丰富范畴理论中

上述定义直接概括为丰富范畴理论.

让 $V（V）$ 成为闭单群范畴和 $C$ 一 $V（V）$ -丰富的类别.

然后针对每个对象 $c \以c表示$ 有一个 $V（V）$ -富足函子

C（C，-）：C至V

从 $C$ 到 $V（V）$ 通常被视为 $V（V）$ -丰富的类别.

这是定义的

对象上的 $C（C，-）：d映射到V中的C（C、d）$
关于之间的语态 $d日$ 和 $d’$ 通过

C（C，-）_{d，d'}:C（d，d'）\到[C（C，d），C（C、d'）]\,,

成为辅助合成态射

\circ_{c，d，d'}:c（d，d'）\otimes c（c，d）\ to c（c、d'）\,.

A类 $V（V）$ -富足函子 $F:C\至V$ 是可代表的如果有 $c \以c表示$ 和a $V（V）$ -富集自然转化 $\eta:F\到C（C，-）$ .

如果 $V（V）$ 是对称单体可以形成相反类别 $C^{op}$ 对可表示函子有类似的定义 $F:C^{op}\到V$ .

在高等范畴理论中

可表示函子的概念在高等范畴理论.

对于2范畴理论请参见。
对于（∞，1）范畴理论理论见（∞，1）-预处理

在同伦型理论中

讨论范畴理论同伦型理论:

命题

（可代表性只是一个命题）
如果 $A类$ 是一个单价类别，则类型“F是可表示的”是纯粹命题.

这是中的定理9.5.9HoTT手册.

证明

根据定义，“F是可表示的”只是 $\马特布夫{y} _0（0）$ 结束 $F类$ 。自 $\马特布夫{y} _0（0）$ 是推论9.5.7在HoTT书中的嵌入（参见米田引理)，这种纤维只是一个命题。

示例

关于可表示函子示例的中心点是：

可表示函子无处不在.

在相当程度上，范畴理论都是关于可表示函子和其他函子通用结构:Kan扩展,伴随函子,限制，这些都是可表示函子的特例，而可表示函元是这些函子的特殊情况。

在中列出了可表示函子的示例范畴理论很像列出的示例完整的中的分析：可以而且确实可以用这些来填满书籍。（事实上，这个类比比普通人看到的要多：看共同（coend）更多信息）。

记住这一点，我们确实列出了一些特殊情况和特殊类别的示例，这些示例非常有用。但任何列表都必然是极其不完整的。

限制

如果 $F： J至C$ 是一个图表在里面 $C$ ，我们得到一个图 $\hom_C\big（-，F（-）\big）\，\冒号\，J\到集合^{C^{op}}$ 在中函子范畴(预切类别) $设置^{C^{op}}$ 作为 $F类$ 配咖喱人-叛徒 $C\到\设置^{C^{op}}$ （该Yoneda嵌入). 反对者的态度限制此图的设置也就是函子 $C^{op}\到\设置$ 发送对象 $c \以c表示$ 到作为图表极限的集合 $\hom_C\big（C，F（-）\big）\，\冒号\，J\到\集$ ，在该图中是可表示的 $F类$ 在中有一个限制 $C$ ；事实上，该极限函子的表示对象正好是 $\限制F$ ，然后我们获得自然同构

\低于{\低于{j中的j}{\长左箭头}}{\lim}\; \hom_C\大（-，F（j）\大）\;\刚果\；\hom_C\大(- ,\,\低于{\低于{j中的j}｛\langleftarrow｝｛\langleftarrow｝}{\lim}F（j）\大）

（请参阅hom-functor保持极限).

产品

例如产品，让 $c、 d日$ 成为…的对象 $C$ ，并考虑家庭主妇

\hom_C（-，C）\times\hom_C（-，d）：C^{op}\到集合；

也就是说，接受对象的函子 $x个$ 属于 $C$ 到集合 $\hom_C（x，C）\次\ hom_C（x，d）$ .一种产品 $c\倍d$ 正是这个预设的代表或通用对象，其中通用元素正是一对投影映射

（\pi_c，\pi_d）\in\hom（c\times d，c）\times\hom（c \times d，d）

我们让读者检查一下这里的可表示性是否恰好意味着给定一对地图

（f，g）\in\hom（x，c）\times\hom（x，d）

中存在唯一的元素 $\hom（x，c\乘以d）$ ，表示 $\兰格f，g$ ，因此

\pi_c\langle f，g\rangle=f\qquad\pi_d\langle f，g\rangle=g。

加权限制

上述示例有一个重要的简单概括。

注意函子上的极限 $H:J\设置$ 只是圆锥体s结束 $H（H）$ 谁的小费是重点

lim H=[J，设置]（\Delta pt，H）

上述表达式 $\lim\hom_C（-，F）$ 可以等效地重写为 $[J，集合]（Delta pt，C（-，F（-））$ .替换此表达式中的常量终端函子 $\增量pt:J\到集合$ 由任何其他函子引出加权限额，如上所述。

指数对象

假设 $C$ 是一个允许有限乘积的范畴；给定对象 $c、 d日$ ，考虑一下预处理

\hom_C（-\次C，d）：C^{op}\设置。

此预兆的代表或通用对象是指数对象 $天^c$ ；通用元件

e \ in \ hom_C（d ^C \ times C，d）

是一个名为评价地图 $评估：d^c\次c\到d$ .

分类捆绑包

考虑一个类别 $顶部$ “nice”空间（只是为了解决讨论问题，让我们说仿紧空间，尽管这是一个技术点）和拓扑组 $G公司$ 其中，即 $顶部$ .有预兆

G\Bund:顶部^{op}\设置

分配给每个空间的 $X$ 同构类的集合 $G公司$ -捆束超过 $X$ ，并指定给每个连续映射 $f： X \到Y$ 函数

G\Bund（f）：G\Bunda（Y）到G\Bund（X）

携带（a类） $G公司$ -束 $E到Y$ 回拉束的（类） $f^*E\到X$ 众所周知，拉回结构对于同伦变形是不变的；也就是说，这个前缀下降到同伦范畴,

G\Bund：Ho_{Top}^{op}\到Set。

A类分类空间 $\马查尔{B} G公司$ 正是这个函子的表示对象；通用元素是（同构类）分类 $G公司$ -束 $[\pi:\mathcal公司{E} G公司\到\马塔尔{B} 克]$ .

这些一般性的考虑在代数拓扑学中非常常见，例如在广义上同调理论和谱之间的联系中；参见Brown的可表示性定理。

工具书类

早期账户：

亚历山大·格罗滕迪克，第A.1节：描述和描述存在的技术。二、。模的存在性《塞米纳伊尔·布尔巴吉：1958/59-1995/60年鉴》，《169-204年鉴》、《塞米娜尔·布尔贝吉年鉴》第5期（1960年），第195、22页(编号：SB_1958-1960__5__369_0)

关于可表示函子的讨论丰富范畴理论在第1.6节和第1.10节

马克斯·凯利,丰富范畴理论的基本概念(pdf格式)

对可表示函子和函子表示之间的差异进行了查询讨论在这里.

上次修订时间：2023年12月10日15:15:24。请参阅历史获取所有贡献的列表。