n实验室类型理论与范畴理论的关系

上下文

类型理论

判断
假设判断,顺序
- 先行词 $\vdash公司$ 随之而来的,后继的

构造微积分

计算三位一体=
命题作为类型+程序作为证据+关系类型理论/范畴理论

逻辑	集合论(内部逻辑第页，共页）	范畴理论	类型理论
命题	设置	对象	类型
谓语	集合族	显示形态	从属类型
证明	要素	广义元素	学期/程序
切割规则		作文属于对形态进行分类/拉回属于显示地图	替代
引入规则对于含义		科尼特用于hom传感器附加	λ
消除规则对于含义		单元用于hom传感器附加	应用
切割消除对于含义		其中一个锯齿形恒等式用于hom传感器附加	β还原
身份消除含义		其他的锯齿形身份用于hom传感器附加	eta转换
真的	单子	终端对象/（-2）-截断对象	h级0-类型/单元类型
假	空集合	初始对象	空类型
命题,真值	subsingleton公司	次终端对象/（-1）-截断对象	h-命题,纯粹命题
逻辑连接	笛卡尔积	产品	产品类型
分离	不相交联合(支持第页，共页）	副产品(（-1）-截断第页，共页）	总和类型(支架式第页，共页）
含义	功能集（到subsingleton公司)	内部hom（到次终端对象)	函数类型（到h-命题)
否定	功能集进入之内空集合	内部hom进入之内初始对象	函数类型进入之内空类型
通用量化	编入索引的笛卡尔积（属于子角体)	从属产品（属于次终端对象)	依赖产品类型（属于h-命题)
存在量词	编入索引的不相交联合(支持第页，共页）	相依和(（-1）-截断第页，共页）	相依和类型(支架式第页，共页）
逻辑等价	双射集	同构对象	等价类型
	支架组	支持对象/（-1）-截断	命题截断/支架式
		n个图像属于同构进入之内终端对象/n截断	n截断模态
平等	对角线函数/对角线子集/对角线关系	路径空间对象	身份类型/路径类型
完全呈现集	设置	离散对象/0-截断对象	h级2-类型/设置/h组
设置	设置具有等价关系	内部0-广群	Bishop集合/刚毛状的用它伪等效关系实际的等价关系
	等价类/商集	商	商类型
归纳		上极限	感应式,W型,M型
较高的归纳		高等大肠杆菌	高电感型
-		0截断高等大肠杆菌	商归纳型
造币术		限制	共导型
	预设		类型没有身份类型
	设置属于真理值	子对象分类器	命题类型
话语领域	宇宙	对象分类器	类型universe
模式		闭合算子, (幂等元)单子	模态类型理论,monad（计算机科学）
线性逻辑		(对称的,关闭)单体范畴	线性类型理论/量子计算
防护网		字符串图	量子电路
（缺少）收缩规律		（缺少）对角线的	无克隆定理
		综合数学	领域专用嵌入式编程语言

同伦能级

语义学

编辑此侧栏

范畴理论

范畴代数

类型理论和某些种类的范畴理论是密切相关的。由句法-语义二重性人们可以将类型理论视为一种形式句法语言或微积分对于范畴理论，相反，人们可以认为范畴理论提供了语义学类型理论。所使用的范畴理论的风格取决于类型理论的风格；这也延伸到同伦型理论和某些种类的（∞，1）范畴理论.

概述

内部逻辑/类型理论（语法）	上下文类别（语义）
命题逻辑	Lindenbaum-Tarski代数
直觉主义的命题逻辑	海廷代数
古典的命题逻辑	布尔代数
双重直觉主义命题逻辑	co-Heyting代数
一阶逻辑	超学说	见1984年
正则逻辑	正规超学说/常规类别
相干逻辑	相干超学说/相干范畴
直觉主义的谓词逻辑	一阶超理论/Heyting类别
古典的谓词逻辑	布尔超学说/布尔型类别
模态逻辑	模态超理论
线性逻辑	线性超学说
简单型lambda演算	笛卡尔闭范畴	Lambek&Scott 1986，第一部分
伸展的依赖型理论	局部笛卡尔闭范畴	见1984b
聚束逻辑	双闭单体范畴	O'Hearn&Pym 1999年
同伦型理论没有单价（内涵M-L依赖型理论）	局部笛卡尔闭（∞，1）范畴	西辛斯基2012&舒尔曼2012
同伦型理论具有较高感应类型和单价	初等（∞，1）拓扑	看见在这里
乘法直觉线性逻辑	对称的闭单体范畴	68年以来的各种作者
经典线性逻辑	恒星自治范畴	Seely 1989年
相依线性类型理论	指数单体范畴（理解）	莱利2022

计算三位一体=
命题作为类型+程序作为证据+关系类型理论/范畴理论

逻辑	集合论(内部逻辑第页，共页）	范畴理论	类型理论
命题	设置	对象	类型
谓语	集合族	显示形态	从属类型
证明	要素	广义元素	学期/程序
切割规则		作文属于对形态进行分类/拉回属于显示地图	替代
引入规则对于含义		科尼特用于hom传感器附加	λ
消除规则对于含义		单元对于hom张量附加	应用
切割消除对于含义		其中一个锯齿形恒等式用于hom传感器附加	β还原
身份消除含义		其他的锯齿形身份用于hom传感器附加	eta转换
真的	单子	终端对象/（-2）-截断对象	h级0-类型/单元类型
假	空集	初始对象	空类型
命题,真值	subsingleton公司	次终端对象/（-1）-截断对象	h-命题,纯粹命题
逻辑连词	笛卡尔积	产品	产品类型
分离	不相交联合(支持第页，共页）	副产物(（-1）-截断第页，共页）	总和类型(支架式第页，共页）
含义	功能集（到subsingleton公司)	内部hom（进入次终端对象)	函数类型（到h-命题)
否定	功能集进入之内空集合	内部hom进入之内初始对象	函数类型进入之内空类型
通用量化	编入索引的笛卡尔积（属于子角体)	从属产品（属于次终端对象)	依赖产品类型（属于h-命题)
存在量词	编入索引的不相交联合(支持第页，共页）	相依和(（-1）-截断第页，共页）	相依和类型(支架式第页，共页）
逻辑等价	双射集	同构对象	等价类型
	支架组	支持对象/（-1）-截断	命题截断/支架式
		n个图像属于同构进入之内终端对象/n截断	n截断模态
平等	对角线函数/对角线子集/对角线关系	路径空间对象	身份类型/路径类型
完全呈现集	设置	离散对象/0-截断的对象	h级2-类型/设置/h组
设置	设置具有等价关系	内部0-广群	Bishop集合/刚毛状的用它伪等效关系实际的等价关系
	等价类/商集合	商	商类型
归纳		上极限	感应式,W型,M型
较高的归纳		高等大肠杆菌	高电感型
-		0截断高等大肠杆菌	商归纳型
造币术		限制	共导型
	预设		类型没有身份类型
	设置属于真理价值观	子对象分类器	命题类型
话语领域	宇宙	对象分类器	类型universe
模式		闭合算子, (幂等元)单子	模态类型理论,monad（计算机科学）
线性逻辑		(对称的,关闭)单体范畴	线性类型理论/量子计算
防护网		字符串关系图	量子电路
（缺席）收缩规律		（缺少）对角线的	无克隆定理
		综合数学	领域专用嵌入式编程语言

定理

我们在这里讨论了各种类型理论与相应类型的范畴之间的关系/等价性的形式化和证明。

一阶逻辑与超学说

定理

这个仿函数

$Cont（续）$ ，形成一个语境范畴的一阶理论;
$冗长的$ ，形成内部语言的超学说

构成范畴等价

一阶理论\stackrel{\overset{Lang}{\leftarrow}}{\underset{Cont}{\to}}超学说\,.

(西利，1984年)

依赖型理论与局部笛卡尔闭范畴

我们在这里讨论如何依赖型理论是其中的语法局部笛卡尔闭范畴提供语义学。专门讨论这一点（以及微妙的一致性涉及的问题）另请参阅从属类型的范畴模型.

定理

有2-函子

$Cont（续）$ ，形成一个语境范畴的马丁·洛夫依赖型理论;
$冗长的$ 形成内部语言的局部笛卡尔闭范畴

构成两个范畴的等价性

MLDependentType理论\过盈不足{\underset{Cont}{\longrightarrow}}{\覆盖{Lang}{\长左箭头}}{\simeq}本地Cartesian关闭的类别\,.

这最初是作为范畴的等价性(参见定理6.3). 然而，这一论点没有恰当地处理整个主题的核心微妙之处：替代属于条款对于变量构图严谨范畴语义学通过拉回是由非常自然仅定义为最多同构中指出了此问题并给出了解决方法(居里安)和(霍夫曼); 看见从属类型的范畴模型对于后者。然而，直到(克莱拉姆鲍尔特·迪布杰（Clairambault-Dybjer）)通过将语句升级为两个范畴的等价性，另请参见(居里恩·加内尔·霍夫曼). 另一种方法也适用于内涵身份类型因此同伦型理论在中(卢姆斯丹-沃伦13).

我们现在指出一些细节。

类型理论

为了明确性、自制性和以下参考，我们说依赖型理论是，以下是(参见定义1.1).

定义

A类马丁·洛夫依赖型理论 $T型$ 是一个理论和一些签名依赖函数符号的类型和术语值（…）受以下规则约束

类型形成规则
1. $1$ 是一种类型（单元类型)；
2. 如果 $a、 b条$ 是类型术语 $A类$ ，然后 $（a=b）$ 是一种类型（相等类型)；
3. 如果 $A类$ 和 $B【x】$ 是类型， $B类$ 取决于自由变量类型为 $A类$ ，则以下符号为类型
  1. $\产品{a:a}B[a]$ (从属产品)，同时书写 $（A至B）$ 如果 $B【x】$ 事实上并不取决于 $x个$ ;
  2. $\总和$ (相依和)，也写了 $A\乘以B$ 如果 $B【x】$ 事实上并不取决于 $x个$ ;
术语形成规则
1. $*\在1中$ 是的一个术语单元类型;
2. (…)
等式规则
1. (…)

上下文的类别

定义

给定一个依赖型理论 $T型$ ，其语境范畴 $康涅狄格州（T）$ 是其类别

物体是类型属于 $T型$ ;
态射 $f:A\至B$ 是条款 $（f）$ 属于函数类型 $A\至B$ .

组成以明显的方式给出。

提议

$康涅狄格州（T）$ 有有限极限并且是一个笛卡尔闭范畴.

(看，道具。3.1)

证明

结构很简单。我们指出了其中一些。

请注意，所有有限极限（如文中所述）一有拉回和均衡器.A型拉回在里面 $康涅狄格州（T）$

\阵列{P&\到&A\\\向下箭头&&\向下箭头^｛\mathrlap｛f｝｝\\B&\stackrel{g}{\to}&C}

由提供

b}（f（a）=g（b））中的P\simeq\sum{a:a}\sum{b\\,.

这个均衡器

P\ to A\stackrel｛\ overset｛f｝｛\ to｝｝｛\ underset｛g｝｛\ to｝｝B

由提供

P=\sum_{a:a}（f（a）=g（a））\,.

接下来内部hom/指数对象由提供函数类型

[A，B]\simeq（A到B）\,.

提议

$康涅狄格州（T）$ 是一个局部笛卡尔闭范畴.

(Seely，定理3.2)

证明

定义 $康涅狄格州（T）$ -编入索引的超学说 $P（T）$ 通过接受 $空调（T）$ 类别 $P（T）（A）$ 将作为对象 $A类$ -依赖类型作为形态 $（a:a\vdash X（a）：类型）至（a:a \ vdash Y（a）:type）$ 相关函数类型的项 $（a：现金t:（X（a）至Y（a））$ .

这是笛卡尔封闭，与前面的证明中的论点相同。现在已经足够展示兼容范畴的等价性使用切片类别 $连接（T）_{/A}$ .

连接（T）_{/A}\西马克P（T）（A）\,.

在一个方向上，发送变形 $f:X\到A$ 到依赖类型

a:a\vdash f^{-1}（a）\coloneqq\sum_{x:x}（a=f（x））\,.

相反，对于 $a:a灰X（a）$ 依赖类型，将其发送到投影 $\sum_{a:a}X（a）\到a$ .

其中一个表明，这确实给出了与基本变化兼容的类别等价性(看，道具。3.2.4).

定义

对于 $T型$ 依赖型理论和 $C类$ 局部笛卡尔闭范畴解释属于 $T型$ 在里面 $C类$ 是局部笛卡尔闭范畴的一个态射

连接（T）至C\,.

对…的解释 $T型$ 在另一个依赖型理论中 $T’$ 是局部笛卡尔闭范畴的一个态射

Con（T）\到Con（T'）\,.

内部语言

提议

给定一个局部笛卡尔闭范畴 $C类$ ，定义相应的依赖型理论 $郎（C）$ 如下

的非依赖类型 $郎（C）$ 是物体属于 $C类$ ;
这个 $A类$ -从属类型是形态 $B至A$ ;
上下文 $x_1:x_1，x_2:x_2，\cdot，x_n:x_n$ 是一座形态之塔

$\阵列{X（_n）\\\向下箭头\\\光盘\\\向下箭头\\X_2型\\\向下箭头\\X_1型}$
条款 $t[x_A]：B[x_A]$ 是部分 $A\到B$ 在里面 $C_{/A}$
这个相等类型 $（x_A=y_A）$ 是对角线的 $A\到A\乘以A$
…

同伦型理论与局部笛卡尔闭 $（\infty，1）$ -类别

以上都有一个模拟输入（∞，1）范畴理论和同伦型理论.

提议

每可展示的和局部笛卡尔闭（∞，1）范畴由类型理论模型类别。这提供了范畴语义学对于同伦型理论（可能没有单价公理).

这尤其包括所有(∞-堆栈-)（∞，1）-拓扑（此外，还应满足单价). 另请参阅（∞，1）拓扑的内部逻辑.

这种说法的某种形式最初是在(乔亚尔11)，以下是(阿沃迪10). 有关更多详细信息，请参阅局部笛卡尔闭（∞，1）范畴.

单叶同伦型理论与初等 $（\infty，1）$ -地形

有关更多详细信息，请参阅（无穷，1）拓扑中的类型理论模型.

A类(当地体面的)局部笛卡尔闭（∞，1）范畴（作为在上面)它还有一个系统对象分类器是一个(（∞，1）-鞘-)（∞，1）-拓扑.

这是在推测(阿沃迪10)这个对象分类器是单价的类型universe(类型的类型)，因此同伦型理论具有单价在中具有分类语义（∞，1）-拓扑。此语句已为规范 $（\infty，1）$ -地形∞Grpd英寸(Kapulkin-Lumsdaine-Voevodsky卡普尔金-卢姆斯丹-沃沃德斯基12)，更普遍的是（∞，1）-预处理 $（\infty，1）$ -地形优雅的Reedy类别英寸(舒尔曼13). 一般情况在舒尔曼19.

在这些证明中类型论模型类别它们解释同伦类型理论语法，需要提供在pullback下严格表现的类型universe。这与类型理论中常见的语法上方便的宇宙相匹配（la-Russell或la-Tarski），但在范畴语义中更难实现。更灵活地说，可以考虑句法弱a la Tarski型宇宙(罗12,加洛齐14). 这些在语法上更复杂，但应该在(类型理论模型类别呈现）任何（∞，1）-拓扑.讨论单价在这个普遍的灵活意义上(Gepner-Kock 12号机组). 有关一般语法问题，请参阅

（无穷，1）拓扑中的类型理论模型

While期间（∞，1）-鞘（∞，1）-拓扑对于那些目前被理解的人来说，单价宇宙的基本类型理论并没有看到或关心他们局部可呈现性因此（尽管它在其他地方使用，例如较高感应类型). 可以预期，有一个像样的概念初等（∞，1）拓扑这样的话同伦型理论具有单价的类型universes以及一些较高感应类型精确地具有范畴语义初等（∞，1）-拓扑（根据推测阿沃迪10). 但该声明的微调目前仍在调查中。

请注意，这句话一旦实现，就会使单价HoTT+HIT成为同伦理论细化数学基础在里面拓扑理论由提议威廉·劳弗尔可以和他的相比集合范畴的初等理论虽然它是一种类型理论，而不是一阶逻辑中的理论，但它更类似于基本拓扑的内部类型理论。

工具书类

关于哈斯克尔程序设计语言在中

维基图书，哈斯克尔/库里-霍华德同构

这个范畴的等价性之间一阶理论和超学说在中进行了讨论

R.A.G.西利,超学说、自然演绎和贝克条件Zeitschrift für数学。Logik und Grundlagen der Math公司。(1984) (pdf格式)

这个从属类型的范畴模型首字母在

西蒙·卡斯特伦，依赖型理论作为家庭的初始范畴, 2014 (pdf格式)

它在类型理论中形式化，集商为较高感应类型英寸：

托尔斯滕·阿滕柯奇安布罗斯·卡波西，使用商归纳类型的类型理论中的类型理论, (2015) (pdf格式), (Agda中的形式化).

调查包括

汤姆·赫肖维茨,范畴逻辑导论(2010) (pdf格式)

（见关于建立定理的讨论幻灯片96)
罗伊·克罗，从类型理论导出范畴理论，《1993年计算理论与形式方法研讨会》，1993年，第15-26页
玛丽亚·梅耶蒂,从属类型理论和范畴（包括pretopoi和topoi）之间的模对应《计算机科学档案中的数学结构》第15卷第6期，2005年12月第1089-1149页(pdf格式)

这个范畴语义学属于线性逻辑在里面恒星自治范畴是由于

R.A.G.西利,线性逻辑， $\上一次$ -自治范畴与无余余代数，英寸计算机科学和逻辑的范畴，当代数学92（1989年）[pdf格式,邮政总局,国际标准图书编号：978-0-8218-5100-5]

审查/进一步发展正在进行中

G.M.Bierman，什么是直觉线性逻辑的范畴模型？(网状物)
安德鲁·格雷厄姆·巴伯，线性类型理论、语义和动作演算, 1997 (网状物,pdf格式)
保罗·安德烈·梅利埃,线性逻辑的范畴语义，英寸计算和程序行为的交互模型，《全景与综合》272009(pdf格式)

对于相依线性型理论请参见：

马蒂js Vákár,线性相关类型的句法和语义[arXiv公司：1405.0033]
米切尔·莱利,埃里克·芬斯特,丹尼尔·利卡塔,通过单声道和共声道模态合成光谱[arXiv:2102.04099]
米切尔·莱利,用线性型形式推广同伦型理论，在ForML实验室(2021) [网状物,视频]
米切尔·莱利,合成稳定同伦理论的簇同伦类型理论，博士论文（2022）[doi:10.14418/wes01.3.139,爱尔兰：3269,pdf格式]

（使用来自聚束逻辑)
米切尔·莱利,线性同伦类型理论，谈话地点：2022年青年研究人员霍特活动（2022年1月）[幻灯片：pdf格式，视频：年初至今]

之间的关系类型lambda-calculus和笛卡尔闭范畴在第一部分中进行了讨论附加在类别之间类型理论具有产品类型和地形第二章讨论了：

约阿希姆·兰贝克,菲利普·斯科特,高阶范畴逻辑导论剑桥高等数学研究7(1986) [国际标准图书编号：0-521-24665-2,pdf格式]

这个范畴的等价性之间局部笛卡尔闭范畴和依赖型理论最初于年提出索赔

R.A.G.西利,局部笛卡尔闭范畴与类型理论，数学。程序。外倾角。菲尔·索克。95(1984) 33-48 [doi:10.1017/S0305004100061284,pdf格式]

在前面推测的声明之后

根据Martin-Löf,直觉主义类型理论：表语部分《逻辑学术讨论会》（1973年），编辑：H.E.Rose和J.C.Shepherdson（North-Holland，1974年），第73-118页。(网状物)

本文讨论了严格替换与弱回缩相比的问题，并在

皮埃尔·路易斯·库里恩,同构替换《基础信息》，191-2 (1993) 51-86 [doi:10.5555/775469.175471]和：图表23(1990) 43-66 [编号：DIA_1990__23__43_0]
马丁·霍夫曼,局部笛卡尔闭范畴中类型理论的解释，英寸计算机科学逻辑。CSL 1994，计算机科学课堂讲稿933(1994) 427–441 [doi:10.1007/BFb0022273]

但在这个过程中，类别的对等性被丢失了。这一切终于在年得到了纠正

皮埃尔·克莱兰堡,彼得·戴比杰,局部笛卡尔闭范畴与Martin-Löf型理论的双等价性，英寸类型化lambda计算及其应用，计算机课堂讲稿。科学。6690施普林格（2011）[arXiv:1112.3456,doi:10.1007/978-3642-21691-6_10]

和

皮埃尔·路易斯·居里,理查德·加纳,马丁·霍夫曼,重新审视依赖型理论的范畴解释，理论计算机科学54621 (2014) 99-119 [doi:10.1016/j.tcs.2014.03.003,pdf格式]

另一个版本也适用于内涵身份类型因此同伦型理论在中

彼得·勒法努·卢姆斯代恩,迈克尔·沃伦,依赖型理论中被忽视的连贯结构，CT2013(pdf格式)
彼得·勒法努·朗斯丹,迈克尔·沃伦,局部宇宙模型：依赖型理论被忽视的连贯结构(arXiv公司：1411.1736)

相关的类似陈述同伦型理论和局部笛卡尔闭（无穷大，1）范畴被正式推测

安德烈·乔亚尔,关于同伦逻辑的注记，Oberwolfach（2011）(pdf格式)

遵循先前的建议史蒂夫·阿沃迪明确地说，建议单价公理补充道，这是对（∞，1）-拓扑理论出现在周围

史蒂夫·阿沃迪,类型理论与同伦(pdf格式)

关于更高类别语义的详细信息同伦型理论在中

迈克尔·舒尔曼,逆图的唯一性与同伦规范性(从类型理论和同伦理论到单叶数学基础)，计算机科学中的数学结构255 (2015) [arXiv:1203.3253,doi:/10.1017/S0960129514000565]

课堂讲稿在

迈克·舒尔曼,同伦类型理论的范畴模型2012年4月13日(pdf格式)
安德烈·乔亚尔,关于同位逻辑的注记，Oberwolfach（2011）(pdf格式)
安德烈·乔亚尔,范畴同伦类型理论2014年3月17日(pdf格式)

另请参见

克里斯·卡普尔金,类型理论与局部笛卡尔闭拟范畴，牛津2014(视频)
克里斯·卡普尔金,彼得·勒法努·卢姆斯代恩,类型理论的同伦理论，数学进展337(2018) 1-38 (arXiv:1610.00037,doi:10.1016/j.aim.2018年8月18日)
克里斯·卡普尔金,卡罗尔·苏米洛,有限完成的内部语言 $（\infty，1）$ -类别(arXiv：1709.09519年)
瓦列里·伊萨夫,依赖型理论的代数表示(arXiv:1602.08504)
瓦列里·伊萨夫,代数相关型理论之间的Morita等价性(arXiv:1804.05045)

特定于中的模型(建设性的)立方体集合在中进行了讨论

马克·贝泽姆，蒂埃里·科昆西蒙·胡贝尔，立方体集合中的类型理论模型, 2013 (网状物,pdf格式)
安布罗斯·卡波西，托尔斯滕·阿滕柯奇,立方型理论的语法(pdf格式)
西蒙·多尔蒂，具有连接的立方集的类型理论模型, 2014 (pdf格式)

精确定义基本（无穷大，1）-拓扑灵感来源于给予同伦型理论具有单价然后在中提出

迈克·舒尔曼,感应式和更高感应式(2012) (pdf格式)

的分类语义单价的类型universes在中进行了讨论

史蒂夫·阿沃迪,类型理论与同伦(2010) (pdf格式)
克里斯·卡普尔金,彼得·勒法努·朗斯丹,弗拉基米尔·沃沃德斯基,单价基础的简化模型(arXiv:1212.2851)
迈克尔·舒尔曼,优雅Reedy presheaves的单价公理(arXiv:1307.6248)
大卫·格普纳,约阿希姆·科克,局部笛卡尔闭∞范畴中的单叶性(arXiv:1208.1749)
丹尼斯·查尔斯·西辛斯基,优雅同伦模型的单叶宇宙(arXiv:1406.0058号)

的证明阿沃迪猜想，仅此而已∞-堆栈（∞，1）-拓扑有演示文稿通过模型类别解释（提供范畴语义学)的同伦型理论具有单价的类型universes:

迈克尔·舒尔曼,全部 $（\infty，1）$ -拓扑具有严格的单价宇宙(arXiv:1904.07004年).

介绍和回顾：

艾米丽·里尔,在 $\英菲$ -同伦类型理论的拓扑语义，演讲地点逻辑和高级结构CIRM（2022年2月）[pdf格式,pdf格式]

弱Tarskian同伦型宇宙的讨论

罗朝晖,类型论中的宇宙注记, 2012 (pdf格式)
塞萨尔·加洛齐,弱Tarski宇宙的构造集理论，硕士论文（2014）(pdf格式)

关于类型理论与从法范畴到拓扑的各种类别之间的对应关系的讨论，见

玛丽亚·艾米莉亚·马耶蒂，从属类型理论和范畴（包括pretopoi和topoi）之间的模对应，数学。结构。在Comp。《科学》（2005），第15卷，第1089–1149页(gzipped的ps) (国防部)

最后一次修订时间为2024年4月19日06:04:30。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室类型理论与范畴理论的关系

上下文

类型理论

范畴理论

概念

通用结构

定理

扩展

应用

范畴代数

目录

想法

概述

定理

一阶逻辑与超学说

定理

依赖型理论与局部笛卡尔闭范畴

定理

类型理论

定义

上下文的类别

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提议

证明

提议

证明

定义

内部语言

提议

同伦型理论与局部笛卡尔闭 $（\infty，1）$ -类别

提议

单叶同伦型理论与初等 $（\infty，1）$ -地形

相关概念

工具书类

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范畴理论

概念

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同伦型理论与局部笛卡尔闭(∞,1)（\infty，1）-类别

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单叶同伦型理论与初等(∞,1)（\infty，1）-地形

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工具书类

同伦型理论与局部笛卡尔闭 $（\infty，1）$ -类别

单叶同伦型理论与初等 $（\infty，1）$ -地形